精品解析：黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题

哈四中2025届高二上学期期末考试 数学试卷 2023.12.27 试卷满分：150分 考试时间：8：00—10：00 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合P，由交集运算即可得结果. 详解】由已知，得，又集合， 则， 故选：D. 2. 设，则是的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解得或，进而可判断. 【详解】由知或，又， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 3. 以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程. 【详解】椭圆的长轴端点为， 椭圆焦点为， 即双曲线的焦点为，顶点为， 所以双曲线方程为. 故选：A. 4. 已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法化简复数再结合共轭复数，最后应用复数对于复平面的点判断即可. 【详解】因为, 所以, 所以对应的点为，,在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. 0或2 B. 4 C. 2 D. 0或4 【答案】A 【解析】 【分析】根据倍角公式和同角三角函数基本关系式可得，进而可得或，可得或. 【详解】因，故， 得，即， 故或， 当时，， 当时，， 故选：A 6. 已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示，列式计算判断即得. 【详解】向量，，由，得， 解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意， 所以. 故选：B 7. 圆和圆的交点为A，B，则有（ ） A. 公共弦AB所在直线方程为 B. 公共弦AB的长为 C. 线段AB中垂线方程 D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据两圆的方程求公共弦所在直线的方程；B选项，利用勾股定理求弦长；C选项，根据圆的性质得到线段中垂线过圆心，然后求直线方程；D选项，利用余弦定理得到，即可得到. 【详解】 联立两圆的方程得到，即，所以公共弦所在的直线方程为，故A错； 由：得，半径，则到直线的距离，所以，故B错； 由直线的方程得线段中垂线的斜率为-2，根据圆的性质得线段中垂线过圆心，所以中垂线方程为：，即，故C错； 圆的方程可整理为，所以， 在三角形中，根据余弦定理得，所以，故D正确. 故选：D. 8. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题得直线的方程为，直线的方程为，联立，解得点坐标再根据为等腰三角形，，可得利用两点之间的距离公式即可得出C的离心率． 【详解】解：由题知，所以直线的方程为， 因为，所以直线的倾斜角为， 所以直线的方程为． 联立，解得，． 因为为等腰三角形，， 所以，即，整理得：． 所以椭圆C的离心率为． 故选：C 二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 焦点到准线的距离为4 C. 若，则的最小值为3 D. 以线段为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，选项B，由抛物线概念即可判断，选项C： P为动点，根据几何关系，当P、A、F三点共线时取最小值；选项D：求出圆的半径与圆心，比较圆心横坐标和半径即可知是否与y轴相切﹒ 【详解】A：抛物线的准线为，故A正确； B：焦点到准线距离为，故B错误； C：当横坐标为2时抛物线上位于第一象限内的点为，此点位于点的上面，故A在抛物线内部， 当直线垂直准线时 取最小值，即为，故C正确； D：根据题意，可得抛物线的焦点为， 设的中点为，可得， 由抛物线的定义，得，则，即点到轴的距离等于以为直径的圆的半径， 因此，以为直径的圆与轴相切，故D正确﹒ 故选：ACD 10. 如图所示，棱长为3的正方体中， E， F分别在，上， 且 则（ ） A. B. C. D. 与是异面直线 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，应用空间向量判断位置关系. 【详解】如图，以为原点所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 对A，，即，A正确； 对B，，B错误； 对C，，则C正确，D错误. 故选：AC 11. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式计算概率判断A，B，根据相互独立事件的定义结合概率判断C，D. 【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为， 则基本事件总数有36种情况， 满足事件的情况有四种情况，故，故A正确； 满足事件的情况有两种情况，故，故B不正确； 事件不能同时发生，故与互斥而不相互独立，故C不正确； 满足的情况有 ，18种情况， 故，满足事件只有一种情况，， ，所以与相互独立，故D正确. 故选：AD 12. 已知曲线，为C上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令替换看方程是否变化可判定A，利用曲线方程结合消元法转化可判定B、C、D. 【详解】对于A，令替换，显然原曲线方程不变，故曲线C关于y轴对称，A正确； 对于B，由原曲线方程可得， 显然，上式恒成立，若，， 综上所述的取值范围为，B正确； 对于C，结合上一选项知， 显然时，故C错误； 对于D，易知时，恒成立， 而时，，显然也成立，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：对于曲线的对称性可利用坐标的对称互换来验证曲线方程是否成立判定，一些量的范围及可根据曲线方程的等量关系消元转化来计算. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知双曲线：的焦距为8，则双曲线的焦点到渐近线的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求焦点和渐近线，再结合点到直线的距离公式分析求解. 【详解】由题意可知：，且焦点在x轴上，则， 不妨设其中一个焦点为，渐近线为，即， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 故答案为：. 14. 已知圆C:，直线，则直线与圆C的位置关系是______ 【答案】相交 【解析】 【分析】由直线的方程可得直线过定点，进而可得点在圆内部，即可得到位置关系. 【详解】直线的方程可化为，令，可得， 所以直线过定点， 又圆的方程可化为， ， 点在圆内，所以直线与圆相交. 故答案为：相交. 15. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，得点为线段的中点，然后利用点差法可求出直线的斜率. 【详解】 因为，则在椭圆内，可知直线与椭圆总有两个交点， 因为，即点为线段的中点， 设，，显然，则，， ，可得， 则，即， 所以，即直线的斜率， 故答案为： 16. 已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，则面积的最小值等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】设方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理得，，由求得，距离公式求得，再求得原点到直线l的距离可得三角形面积，从而得最小值． 【详解】抛物线C的方程为， 由题可知直线l斜率若存在，则斜率不为0，故设l为， 由，得，则，即， ∴，， 则，解得， 直线方程为，恒过定点， ， 到直线的距离为， ∴， ∴时，为最小值， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可； （2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积. 【小问1详解】 由题意，设所求椭圆标准方程为：， 因为焦距为，， 又离心率，， 再由， 所以椭圆标准方程为：. 【小问2详解】 由（1）知：左焦点为，直线的方程为： 则， ， 由弦长公式, 到直线的距离, ． 18. 2023年，我省实行新高考，数学设有4个多选题，在给出的A，B，C，D四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现正在进行数学学科期末考试． （1）根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为，做对第二个多选题的概率为，对第三个多选题的概率为．求小李同学前三个多选题错一个的概率； （2）若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小博同学打算从中随机选择两个选项，求小博得2分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘积公式结合互斥事件和概率公式计算； （2）应用古典概型计算即可. 【小问1详解】 设事件为小李同学前三个多选题错一个题， 则． 【小问2详解】 因为最后一道数学多选题有三个正确的选项，不妨设正确答案为， 而小博打算从中随机选择两个选项，则共有种，其中选中错误答案的有种， 所以小博得2分的概率． 19. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据正弦定理把边化成角，结合和差公式化简可得，根据角的范围可得，继而即可求解. （2）由（1）知，结合题意利用正弦定理把边化成角，即求的取值范围，利用把转化为，利用和差公式及辅助角公式化简，再利用三角函数求值域即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 即， 即， ， ， ， . 【小问2详解】 由（1）知，又， ， ， ， ， ， ， 即的取值范围为. 20. 已知抛物线上点到的距离等于到直线的距离． （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与交于两点，且以为直径的圆过点，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义即可求得抛物线的标准方程； （2）设，联立抛物线与直线的方程，利用设而不求的方法列出关于m的方程，解之即可求得m的值，进而得到直线的方程． 【小问1详解】 由题意抛物线的焦点，准线方程是 则，故抛物线的标准方程为． 【小问2详解】 显然的斜率不为0，设， 联立，得 ， 又，所以， 又， 则， 即， 即，解得， 所以直线的方程为， 即或． 21. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，正三角形所在平面与平面垂直，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得线面垂直坐得线线垂直，在直角梯形中由勾股定理逆定理证明，即可证明线面垂直； （2）建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 证明：因为是正三角形，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，而平面，所以 如图，连接， 在直角梯形中，， 所以， 在平面内过点作，垂足为，则， 所以，所以，即. 又平面，所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接， 在直角梯形中，分别为的中点，则， 又，所以， 由（1）知平面，又平面，则， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 因为平面，所以平面的一个法向量为， ， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以平面的一个法向量为. 设二面角的平面角为， 所以， 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 22. 已知双曲线C：的右顶点为，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线垂直. （1）求双曲线C的方程 （2）若直线：与双曲线C的右支交于A，B两点，点F为双曲线C的右焦点，点D在双曲线C上，且轴.求证：直线过点F. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义和渐近线的方程求出即可； （2）画出图像，设，，直曲联立，得到用纵坐标表示的韦达定理，再用坐标写出向量，，利用向量共线的充分必要条件证明三点共线即可. 【小问1详解】 由右顶点为，得， 由双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直， 得，即，∴， ∴双曲线C的方程为. 【小问2详解】 由（）可知，右焦点F的坐标为（2，0）， 由题意可知直线的斜率存在且不为0，∴， 设，，则， 由（）可知，双曲线的渐近线方程为， 又直线与双曲线的右支交于A，B两点，则，即，且直线过定点作出图像如上， 联立消去得， 则，得， ，，则， 又，∴，， ∴， ∴，又，有公共点F， ∴B，F，D三点共线，∴直线过点F 【点睛】第一问由双曲线的性质和渐近线的定义直接得到；第二问先根据直线过定点且与双曲线有两个交点确定直线的大致位置，在设出，，坐标，直曲联立得到关于的韦达定理，然后再由向量共线的充分必要条件证明点在直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈四中2025届高二上学期期末考试 数学试卷 2023.12.27 试卷满分：150分 考试时间：8：00—10：00 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 设，则是的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知，则（ ） A. 0或2 B. 4 C. 2 D. 0或4 6. 已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 或 7. 圆和圆的交点为A，B，则有（ ） A. 公共弦AB所在直线方程为 B. 公共弦AB的长为 C. 线段AB中垂线方程为 D. 8. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，A是椭圆C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分． 9. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程是 B. 焦点到准线距离为4 C. 若，则的最小值为3 D. 以线段为直径的圆与轴相切 10. 如图所示，棱长为3的正方体中， E， F分别在，上， 且 则（ ） A B. C. D. 与是异面直线 11. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 12. 已知曲线，为C上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. 的取值范围为 C. 取值范围为 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知双曲线：的焦距为8，则双曲线的焦点到渐近线的距离为________. 14. 已知圆C:，直线，则直线与圆C的位置关系是______ 15. 已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，且满足，则直线的斜率为______． 16. 已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，则面积的最小值等于______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积． 18. 2023年，我省实行新高考，数学设有4个多选题，在给出的A，B，C，D四个选项中，有两项或三项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．现正在进行数学学科期末考试． （1）根据以往经验，小李同学做对第一个多选的概率为，做对第二个多选题的概率为，对第三个多选题的概率为．求小李同学前三个多选题错一个的概率； （2）若最后一道数学多选题有三个正确的选项，而小博同学完全不会做，只能对这道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的，若小博同学打算从中随机选择两个选项，求小博得2分的概率． 19. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 20. 已知抛物线上的点到的距离等于到直线的距离． （1）求抛物线的标准方程； （2）过点的直线与交于两点，且以为直径的圆过点，求直线的方程． 21. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，正三角形所在平面与平面垂直，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角平面角的余弦值. 22. 已知双曲线C：的右顶点为，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线垂直. （1）求双曲线C的方程 （2）若直线：与双曲线C右支交于A，B两点，点F为双曲线C的右焦点，点D在双曲线C上，且轴.求证：直线过点F. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $