专题1.5 三角形中常见六种几何模型（专项练习）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.5 三角形中常见六种几何模型（专项练习） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点D是和角平分线的交点，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，点O是、角平分线的交点，点P是、角平分线的交点，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，中，，的角平分线相交于点P， 则（   ）    A． B． C． D． 5．（21-22七年级下·重庆南岸·期末）在中，BD是的角平分线，点E是AB上一点，且．若，则的大小为(   ) A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）如图，的三等分线交于点E、D，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在中，与的角平分线交于点D，且、，则与的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，的角平分线和的外角平分线交于点P；若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，和外角的平分线交于点和的平分线交于点和的平分线交于点,则的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（20-21八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，过A作的平行线交的延长线于点E，，则 ° 12．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，与的平分线交于点与的平分线交于……依次类推，与角平分线交于点，则的度数为 13．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）如图，，分别平分和，若，，则 度． 14．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）在中，的平分线与的平分线相交于点P．的外角平分线与的外角平分线相交于点Q，当，则 °； 15．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，中，，，分别平分，，、分别平分，的外角，则 ． 16．（20-21七年级下·江西景德镇·期末）已知，，和的平分线交于点，过点作的平行线分别交于点．则与的度数和为 ． 17．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是 ．（填序号） 18．（2024七年级下·全国·专题练习）已知中，．在图（1）中的角平分线交于点，则可计算得；在图（2）中，设∠的两条三等分角线分别对应交于、，则∠BO2C＝ ；请你猜想，当同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于，如图（3），则 （用含n和α的代数式表示）． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（22-23八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）已知：如图，在中，D、E分别为、上的点，且的角平分线、交于点F． (1)如果，求的度数； (2)如果，求的度数． 20．（8分）（22-23八年级上·广东汕尾·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，猜想与之间存在怎样的数量关系？并说明你的猜想． (2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？请说明理由． 21．（10分）（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）综合与探究 【问题发现】 在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定的数量关系，下面是不完整的探究过程，请补充完整． ，分别是和的平分线， ，． ， ， …… 【问题探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 22．（10分）（21-22七年级下·广东清远·期末）（1）如图①，在四边形中，，，．直接写出与，，之间的关系． （2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算的度数． （3）如图③，在中，设，和的平分线，交于点O，过B作的平行线交的延长线于点，试用含的代数式表示的度数．    23．（10分）（21-22七年级下·福建宁德·期中）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容——利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整： (1)已知：如图1，三角形ABC，求证：，证明：过点A作． (2)如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出、、、之间的数量关系：______； (3)在图2的条件下，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断与、之间存在的数量关系，并说明理由． 24．（12分）（23-24七年级下·江苏苏州·期中）【数学模型】 如图（1），，交于O点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①；②． 【提出问题】 分别作出和的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），与、之间是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】 为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究，已知的平分线与的平分线交于点E． （1）如图（3），若，，，则_______． （2）如图（4），若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图（2），写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【类比应用】 （4）如图（5），的平分线与的平分线交于点E．已知：、，，求的大小，并说明理由（用、表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A B B A A C C 1．B 【分析】由D点是和角平分线的交点可推出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵D点是和角平分线的交点， ，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】此题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键． 2．A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知识点． 根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 3．A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角形内角和定理，得到，再结合角平分线的定义，得到，进而得出，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 点P是、角平分线的交点， ，， ， ， 平分， ， ， ， 故选：A 4．A 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由是的平分线，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：A． 5．B 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，再根据BD平分∠ABC，求出∠DBC，根据DE∥CB即可证明． 【详解】解：证明：∵∠A=60°，∠C=70°， ∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-60°-70°=50°． ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABC=25°． ∵DE∥BC， ∴∠BDE=∠DBC=25°， 故选：B． 【点拨】本题考查平行线的性质吗，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题关键是能够将各定理有机结合，逐步推理． 6．B 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，设，根据三等分线，得到，利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：设， 由题意，得：在中，①， 在中，②， ：，即：， ∴， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，掌握这两个知识点是关键；由角平分线定义及三角形内角和得．再由、及三角形内角和即可求得与的数量关系． 【详解】解：分别是与的角平分线， ， ， ． 、 ， ； ， ， ， 整理得：． 故选：D． 8．A 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线的相关计算，由角平分线的定义得到，，结合题意可求得的度数，根据外角性质即可得到结果． 【详解】解：如图， 的角平分线和的外角平分线交于点P， ，， ， ，， 是的外角， ， 故选：A． 9．C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．根据题意求出，根据角平分线的定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 和分别平分和， ， ， ． 故选C． 10．C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解决本题的关键． 利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先求出与的关系、与的关系，与的关系，并找出规律，再利用规律得到结论． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴ ． 同理可得：， ．．． ∴． 故选：C． 11．60 【分析】根据，，可得，根据是的角平分线，可得，根据三角形的内角和可得，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 【点拨】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 12． 【分析】根据题目信息，利用角平分线的性质得出，，以此类推 ，，的度数，依次类推即可求得的度数了．本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 【详解】解：，， ， 平分，平分， ，， 平分，平分， ，， 同理可得，， ，， ， 故答案为． 13．34 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，由角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理可得：，，从而得出，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，分别平分和， ∴，， 根据三角形内角和定理可得：，， ∴由得：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．115 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 由三角形内角和定理得，根据角平分线定义得，则，再根据三角形外角性质得，则，由此得，则，然后根据的平分线与的平分线相交于点．得，据此可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， 由三角形外角性质得：， ， ， ， ∵的平分线与的平分线相交于点， ， ， ， 故答案为：115． 15． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角性质，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 根据角平分线的定义、平角的定义得到，，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， 即， 同理可得：， ． 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质，平行的性质，由可得，，再根据角平分线的性质可得，，进而得， ，由平行线的性质可得，，两角相加即可求解，掌握三角形角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 17．①④ 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 由平分，平分，可得，由是的外角，可得，即，可判断①的正误；由分别平分，可得，则，由，可得，可判断②、③、④的正误． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵是的外角， ∴，即，①正确，故符合要求； ∵分别平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②③错误,不符合要求，④正确，故符合要求． 故答案为：①④． 18． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，n等分线的定义．根据三角形的内角和等于得出，再由、的两条三等分角线分别对应交于得出的度数，进而可得出结论；根据n等分的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：在中，， ， 和分别是的三等分线， ； ； ∵和分别是的n等分线， ； ． 故答案为：；． 19．(1) (2) 【分析】本题考查有关三角形内角平分线求角的度数．解题关键是运用三角形的内角和等于，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想． （1）利用三角形的内角和等于，先求出，再利用角平分线的定义，求出，然后再利用三角形内角和等于，求出即可． （2）利用三角形的内角和等于，先求出，再利用角平分线的定义，求出，然后再利用三角形内角和等于，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵的角平分线、交于点F， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵的角平分线、交于点F， ∴，， ∴， ∴； ∴； 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）首先根据角平分线的定义，可得，，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线得出，再由三角形的外角的性质得出，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）首先根据三角形的外角性质，得，再根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和分别是与的角平分线 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ = ； （2）解：，理由如下： ∵和分别是与外角的角平分线， ∴， 又∵是的一外角， ∴， ∴， ∵是的一外角， ∴； （3）解：结论． 根据三角形的外角性质，得， ∵O是外角与外角的平分线和的交点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴在中， 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． 21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①，②或 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，， ，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】[问题发现] （1），分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； [问题探究] （2），分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ， [问题拓展] （3）①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即，， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为 或 ． 22．（1）；（2）（3） 【分析】（1） 延长交于点D，利用外角的性质可得，，从而得到； （2）连接，利用（1）中得出的结论可知：，，两式相加即可得解； （3）利用角平分线得到，再根据，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 延长交于点D，如图①：    ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴， 即与之间的关系为； （2）连接，如图②：    根据图②中的条件，利用（1）中得出的结论可知： ， ， ∴， 即； （3）在中，， ∵和的平分线、交于点O， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ 即用含的代数式表示的度数为 【点拨】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 23．(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）过点A作，即可得出，，即可得出：，根据平角的定义和等量代换即可得出：； （2）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论； （3）将和相加，即可得出：，再根据平分线的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点A作， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）， ∵E、A、F三点共线（已知）， ∴（平角定义）． ∴（等量代换）． （2）在中，， 在中，， （对顶角相等）， ∴． 故答案为：． （3）数量关系：． 理由：如图3，由（2），得： ①， ②， ①＋②，得： ． ∵和的平分线AP和CP相交于点P， ∴，． ∴． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练利用“8字形”模型是解决本题的关键． 24．（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】（1）根据两个三角形的有一对对顶角相等得：，，两式相加后，再根据角平分线的定义可得结论； （2）同（1）列两式相加可得结论； （3）根据（1）和（2）可得结论； （4）首先延长交于点，由三角形的外角的性质，可得，又由角平分线的性质，即可求得答案． 【详解】解：（1）如图3， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）如图4，∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）如图5，延长交于点， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、平行线的性质以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的性质和等量代换是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$