专题1.4 三角形中常见六种几何模型（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.4 三角形中常见六种几何模型（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【模型归纳】 【模型一】燕尾模型 如图：这样的图形称之为“燕尾模型” 结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C 【模型二】8字模型 如图：这样的图形称之为“8字模型” 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 【模型三】三角形角平分线（内分分模型） 如图：这样的图形称之为“三角形双内角平分线模型” 条件：BI、CI为角平分线 结论： 【模型四】三角形角平分线（内外分模型） 如图：这样的图形称之为“三角形内外角平分线模型” 条件：BP、CP为角平分线 结论： 【模型五】三角形角平分线（外外分模型） 如图：这样的图形称之为“三角形双外角平分线模型” 条件：BP、CP为角平分线 结论： 【模型六】角平分线+平行线模型 条件：CP平分∠ACB, DE平行于BC 结论：ED=EC 【特别提示】在书写解题过程中不能直接运用几何模型，但它是解题思维过程中一个重要思维工具。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】燕尾模型 【例1】（23-24八年级上·河南许昌·期中）（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小； （3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 【变式1】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，分别是、上一点，、相交于点，若，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【题型2】8字模型 【例2】．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，点D在的边延长线上，点E在边上，连结交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1】（22-23八年级上·河南三门峡·期中）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，与交于点M，与交于点N，试说明之间的数量关系． 【题型3】三角形的角平分线（内内分模型） 【例3】（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中 (1)如图①，，、的平分线交于点，求的度数； (2)如图②，，、的三等分线交于点，，求的度数； (3)如图③，，、的等分线交于点，求的度数．（用含的式子表示） 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点是、角平分线的交点，点是、角平分线的交点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级上·湖南娄底·期中）如图，在中，、分别为、的角平分线，两线交于点D，．则 ． 【题型4】三角形的角平分线（内外分模型） 【例4】在中，的平分线与外角的平分线相交于点D． (1)若，，求和的度数． (2)求证： ． 【变式1】（23-24八年级下·江西·单元测试）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，…，若，则 ； ． 【题型5】三角形的角平分线（外外分模型） 【例5】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，点分别在射线上移动（不与点重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点． (1)如图，若，试猜想的度数，并直接写出结果； (2)如图，若，问：当点在射线上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，分别是的两个外角、的平分线，则与之间的数量关系为 ． 【变式2】如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 【题型6】角平分线+平行线模型 【例6】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，是的平分线，，，，求和的度数． 【变式1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，平分，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·山东·期末）如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【例2】（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．80° 【例3】（2020·北京·中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5 2、拓展延伸 【例1】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【例2】如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．    （1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 三角形中常见六种几何模型（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【模型归纳】 【模型一】燕尾模型 如图：这样的图形称之为“燕尾模型” 结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C 【模型二】8字模型 如图：这样的图形称之为“8字模型” 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 【模型三】三角形角平分线（内分分模型） 如图：这样的图形称之为“三角形双内角平分线模型” 条件：BI、CI为角平分线 结论： 【模型四】三角形角平分线（内外分模型） 如图：这样的图形称之为“三角形内外角平分线模型” 条件：BP、CP为角平分线 结论： 【模型五】三角形角平分线（外外分模型） 如图：这样的图形称之为“三角形双外角平分线模型” 条件：BP、CP为角平分线 结论： 【模型六】角平分线+平行线模型 条件：CP平分∠ACB, DE平行于BC 结论：ED=EC 【特别提示】在书写解题过程中不能直接运用几何模型，但它是解题思维过程中一个重要思维工具。 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】燕尾模型 【例1】（23-24八年级上·河南许昌·期中）（1）如图1，有一块直角三角板放置在上，恰好三角板的两条直角边，分别经过点B、C．若， 度； （2）如图2，改变（1）中直角三角板的位置，使三角尺的两条直角边，仍然分别经过点B．C．，那么的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出的大小； （3）如果（1）中的其它条件不变，把“”改成“”，则＝ . 【答案】（1）50；（2）不变化，；（3） 【基本模型】燕尾模型 【分析】本题主要考查了三角形中的燕尾模型： （2）利用（1）的方法即可作答; （3）利用（1）的方法即可作答． 解：（1）∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． （2）不发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． （3）∵， ∴， ∵在直角三角板中，， ∴， ∴， 即． 【变式1】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，分别是、上一点，、相交于点，若，，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、对顶角相等，由三角形外角的定义及性质得出，由三角形内角和定理计算出，最后再由对顶角相等即可得出答案． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系， 根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案． 解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2】8字模型 【例2】．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，点D在的边延长线上，点E在边上，连结交于点F，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和、三角形外角的性质，掌握这两个基本模型是关键． （1）由三角形内角和即可求证； （2）由互补求得度数，由可求得度数；再由求得的度数；再由及对顶角相等即可求得结果． 解：（1）证明：， ； （2）解：， ， ； ， ， ． 【变式1】（22-23八年级上·河南三门峡·期中）如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题综合考查了三角形的内角和定理和对顶角相等的性质．熟练掌握定理与性质是解决问题的关键 根据对顶角相等和三角形的内角和定理知，． 解：如图，设与交于点O， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，与交于点M，与交于点N，试说明之间的数量关系． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理等基本模型，理解8字模型成为解题的关键． ，再结合可得，进而得到结论． 解：，理由如下： 由与为对顶角三角形可得：，① 由与为对顶角三角形可得：，② ①＋②可得：． ∵， ∴，即． 【题型3】三角形的角平分线（内内分模型） 【例3】（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中 (1)如图①，，、的平分线交于点，求的度数； (2)如图②，，、的三等分线交于点，，求的度数； (3)如图③，，、的等分线交于点，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了三角形内角和定理与角平分线的性质．解此题的关键是要注意数形结合思想的应用． （1）首先根据、的平分线交于点与的内角和为，求得的和，又由的内角和为，求得的度数； （2）首先根据、的三等分线分线交于点，可得：，，又由的内角和为，求得的和，又由的内角和为，求得的度数； （3）首先根据、的三等分线分线交于点，可得：，，又由的内角和为，求得的和，又由的内角和为，求得的度数． （1）解：、的平分线交于点， ，， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， ， ， ， ， ； （3）解：、的等分线交于点， ，， ， ， ， ， ． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点是、角平分线的交点，点是、角平分线的交点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识；设，，由，推出，推出，推出，可得，由此即可解决问题． 解：设，， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（22-23八年级上·湖南娄底·期中）如图，在中，、分别为、的角平分线，两线交于点D，．则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，，进而可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 解：∵， ∴， ∵、分别为、的角平分线， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【题型4】三角形的角平分线（内外分模型） 【例4】在中，的平分线与外角的平分线相交于点D． (1)若，，求和的度数． (2)求证： ． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】此题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键在于根据角平分线定义和外角的性质即可求得度数． （1）根据三角形内角和定理，已知，，易求，根据角平分线定义和外角的性质即可求得度数； （2）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出的等式，再与比较即可解答． （1）解：在中，，， ∴， ∵为，为的角平分线， ∴， ， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，， 又∵为，为的角平分线， ∴，， ∵， 又∵， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·江西·单元测试）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角定理，利用角平分线的定义、三角形外角的性质，易证，试着用含的代数式表示出、；通过分析可得出，，⋯以此类推可知，接下来结合，即可求出的度数 解：∵平分，平分， ∴，， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴ 同理可得，，，⋯⋯，， ∴，， ∴ 故选：B 【变式2】（23-24七年级下·安徽阜阳·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，…，若，则 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 解：和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， 则， ， ， 故答案为：，． 【题型5】三角形的角平分线（外外分模型） 【例5】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，点分别在射线上移动（不与点重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点． (1)如图，若，试猜想的度数，并直接写出结果； (2)如图，若，问：当点在射线上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握以上基本模型并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，，求出，再求出，即可得出答案； （2）由角平分线的定义得出，，求出，再求出，即可得解． （1）解：平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：的度数不改变． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，分别是的两个外角、的平分线，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和、三角形外角的性质及角平分线的定义；由角平分线的定义得；由三角形外角的性质得，，再由三角形内角和即可求解． 解：分别是的两个外角、的平分线， ， ； ，， ； ， ． 故答案为：． 【变式2】如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 【答案】 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系． 解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G， 在中， ∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB） =180°-（180°-m°+180°-n°）； = 【点拨】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出． 【题型6】角平分线+平行线模型 【例6】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在中，是的平分线，，，，求和的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形的外角的性质可得，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的内角和定理即可求解． 解：， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【变式1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，平分，交于点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识．求出，，再利用三角形内角和定理即可解决问题． 解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·山东·期末）如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数． 解：，，， ．， 是的角平分线， ． 在中，，， ， 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 【例2】（2019·辽宁铁岭·中考真题）如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．80° 【答案】B 【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出． 解：连接AC并延长交EF于点M． ， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型． 【例3】（2020·北京·中考真题）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5 【答案】A 【分析】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案． 解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确； 由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知 B选项为∠2＞∠3， C选项为∠1=∠4+∠5， D选项为∠2＞∠5． 故选：A． 【点拨】本题考查了三角形的外角性质，对顶角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质进行判断． 2、拓展延伸 【例1】如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： （1）观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； （2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求的度数； ③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出； （2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数． 解：（1）解：，理由如下： 如图，连接并延长． 根据外角的性质，可得，， 又∵，， ∴， 故答案为：； （2）①由（1）可得， ∵，， ∴； ②由（1）可得， ∴， ∴， ∴； ③设，， 则，， 则，， 解得， 所以， 即的度数为． 【点拨】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【例2】如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．    （1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数； （2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． （3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 【答案】(1) (2) (3)∠A的度数是或或或 【分析】（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可 解：（1）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， ∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝55°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°； （2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A， ∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点， ∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB， ∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A， ∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A； （3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， ∴∠ACF＝2∠BCF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠BC+2∠E， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E， 即∠E＝A， ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ ＝∠ABC+MBC ＝（∠ABC+∠A+∠ACB） ＝90°， 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况： ①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°； ②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°； ③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°； ④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°， 综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°． 【点拨】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$