专题1.16 全等三角形几何模型（角平分线四种模型）（题型梳理与方法分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.16 全等三角形几何模型（角平分线四种模型）（题型梳理与方法分类讲解） 第一部分【模型归纳】 【模型1】角平分线+两边垂线=全等三角形 【基本条件】OP平分AOB，PMOA，PNOB，垂足分别为M、N，如图1. 【模型结论】Rt∆POM≅Rt∆PON 图1 【模型2】角平分线+垂线=全等三角形（等腰三角形） 【基本条件】OP平分AOB，CDOP，垂足为P，如图2. 【模型结论】Rt∆POC≅Rt∆POD. 图2 【模型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形 【基本条件】OP平分COD，PC=PD. 【模型结论】∆POC≅∆POD. 图3 【模型4】角平分线+平行线=等腰三角形 【基本条件】OP平分MON，AB//ON. 【模型结论】∆AOB为等腰三角形. 图4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】角平分线+两边垂线=全等三角形 【例1】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长． 【变式1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图， 在中，，的平分线交于点E，于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则为 （　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2】如图，已知，，且，那么是的 ．（填“中线”或“角平分线”）    【题型2】角平分线+垂线=全等三角形 【例2】（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，是边上一点，点在的延长线上，于，且平分，．求证： (1)； (2)是的角平分线． 【变式1】（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·山东泰安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为 ． 【题型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形 【例3】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，为的角平分线，点E在边上，，已知，，． (1)求证： (2)求的周长． 【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是的中点 D．点在点的北偏东方向上 【变式2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，若，，则 ．    【题型4】角平分线+平行线=等腰三角形 【例4】（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）如图，已知线段与直线平行．    (1)作的角平分线交直线于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的中点为F，请用等式表示线段之间的数量关系　 　． 【变式1】（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图， ，，平分，，则 度． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：    （1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点； （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； （3）作射线交直线于点；若，则 度． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． (1)求证：平分 (2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证： 【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现： 思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D、E，测量、并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程． （1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：． 【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接． ①证明：平分； ②若，则________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.16 全等三角形几何模型（角平分线四种模型）（题型梳理与方法分类讲解） 第一部分【模型归纳】 【模型1】角平分线+两边垂线=全等三角形 【基本条件】OP平分AOB，PMOA，PNOB，垂足分别为M、N，如图1. 【模型结论】Rt∆POM≅Rt∆PON 图1 【模型2】角平分线+垂线=全等三角形（等腰三角形） 【基本条件】OP平分AOB，CDOP，垂足为P，如图2. 【模型结论】Rt∆POC≅Rt∆POD. 图2 【模型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形 【基本条件】OP平分COD，PC=PD. 【模型结论】∆POC≅∆POD. 图3 【模型4】角平分线+平行线=等腰三角形 【基本条件】OP平分MON，AB//ON. 【模型结论】∆AOB为等腰三角形. 图4 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】角平分线+两边垂线=全等三角形 【例1】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，平分，，，垂足分别为点D、E． (1)求证：； (2)在图1的条件下，如图2，点M、N分别在、上，且，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，（1）根据角平分线性质得到，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据线段的和差求解即可． 解：（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（2024·四川绵阳·模拟预测）如图， 在中，，的平分线交于点E，于点 D， 若 的周长为12，则 的周长为 4 ，则为 （　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的性质与判定，根据角平分线的性质可得，，证得，可得，再根据三角形周长可得，即可求解． 解：∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵ 的周长为 4 ， 的周长为12， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，已知，，且，那么是的 ．（填“中线”或“角平分线”）    【答案】中线 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、根据三角形中线求长度 【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中线的概念判断即可． 解：，， ， 在和中， ， ∴， ， 是的中线， 故答案为：中线． 【点拨】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了全等三角形的判定与性质． 【题型2】角平分线+垂线=全等三角形 【例2】（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图，是边上一点，点在的延长线上，于，且平分，．求证： (1)； (2)是的角平分线． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线的定义、垂直得的定义得出，，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质及三角形外角性质推出，据此即可得解． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，利用证明是解题的关键． 【变式1】（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，的面积是，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，过点C作于点D，连接，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了基本作图方法，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积的关系，熟知基本作图，角平分线、中线定义，熟练掌握全等三角形判定、性质定理是解题的关键． 延长交于，依据，即可得到，进可得到，据此可得． 解：如图所示，延长交于， 由作图可得，平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2】（22-23七年级上·山东泰安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F．若，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，利用三角形内角和定理求出，利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型3】角平分线+两边截取相等线段=全等三角形 【例3】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，为的角平分线，点E在边上，，已知，，． (1)求证： (2)求的周长． 【答案】(1)证明见解析；(2)7． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段的和与差、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线的定义，得到，再利用“”即可证明全等； （2）由全等三角形的性质，得到，进而得出，，即可求出的周长． 解：（1）证明：∵平分， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴的周长． 【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是的中点 D．点在点的北偏东方向上 【答案】C 【知识点】作角平分线(尺规作图)、与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了尺规作图中的作角的平分线，根据尺规作图的画法可知：是的角平分线，，，进而求得，即可得出结论，掌握角尺规作角平分线的方法是解题的关键． 解：根据尺规作图的画法可知：是的角平分线，，， 故、正确，不符合题意； 、无法证明是的中点， 故不正确，符合题意； 、由题意知， ∴， ∴点在点的北偏东方向上， 故正确，不符合题意． 故选：． 【变式2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，、的角平分线交于点，若，，则 ．    【答案】/度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】在上取，连接，，首先利用证明，得，，再证明，进而可得． 解：在上取，连接，，    平分， ， 又， ， ，， ， ， ， 、的平分线相交于点， 平分， ． ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型4】角平分线+平行线=等腰三角形 【例4】（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）如图，已知线段与直线平行．    (1)作的角平分线交直线于点E（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若的中点为F，请用等式表示线段之间的数量关系　 　． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）利用尺规作图作出角的平分线； （2）利用等腰三角形的判定和性质先说明，再利用“”说明，最后利用线段的和差及全等三角形的性质得结论． 解：（1）就是的角平分线；    （2）如图，    ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵的中点为F， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故答案为： 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，掌握等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． 【变式1】（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，分别是和的平分线，过点作交于，交于，若，，则周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了平行线和角平分线的性质，先根据已知条件，证明，、，从而证明，，从而求出的周长即可． 解：分别是和的平分线 ， ， 的周长 ， 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西咸阳·期中）如图， ，，平分，，则 度． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的性质定理 【分析】本题综合考查了平行线的性质及角平分线的定义．掌握平行线的性质及角平分线的定义是解本题的关键． 要求的度数，由，根据两直线平行，内错角相等，可知，故只需求出的度数即可．由已知，得出，则，又平分，根据角平分线的定义，得出，从而求出的度数． 解：， ， ． 又平分， ， ． ， ． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 【例2】（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：    （1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点； （2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； （3）作射线交直线于点；若，则 度． 【答案】58 【分析】由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案． 解：由作图得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，由作图得到平分是解题关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． (1)求证：平分 (2)如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证： 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． （1）根据是的角平分线和，为边上的高，可得，由得，即可证明； （2）过点E作于点M，于点N，由角平分线性质可以得，由与的面积相等可得，证明，得出，， 即可得出，再根据垂直模型证明，即可得出结论． （1）证明：∵为边上的高，即， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：平分． （2）过点E作于点M，于点N， 平分，且，， ． ， ， 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 为边上的高， ， ， ． 在和中， ． . 【例2】（23-24八年级上·江西宜春·期末）课本再现： 思考如图12.3-3，任意作一个角，作出的平分线．在上任取一点P，过点P画出，的垂线，分别记垂足为D、E，测量、并作比较，你得到什么结论？在上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？ 【实验猜想】针对以上问题，同学们进行了小组实验探究，并猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【推理证明】为了证明该定理，小明同学根据书上的图形（如图12.3-3）写出了“已知”和“求证”，请你利用全等的知识完成证明过程． （1）已知：点P是的平分线上一点，过点P作于点D，于点E．求证：． 【知识应用】（2）如图2，的平分线与的外角的平分线相交于点O，过点O作于点D，于点E，连接． ①证明：平分； ②若，则________． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；② 【分析】（1）根据条件证明，从而． （2）①过点O作于点F， 由（1）的结论易证，根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得到平分； ②根据三角形的内角和，再利用角平分线的定义和“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和”，推导出，从而求解． （1）证明：平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）①证明：过点O作于点F， 是的平分线，，， ， 是的平分线，，， ， ， ，， 平分， ②平分，平分， ，， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、角平分线的性质和判定以及三角形的内角和定理、三角形外角的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$