2024年山东省济南市钢城实验学校中考数学三模试卷

2024年山东省济南市钢城实验学校中考数学三模试卷 一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.(4分)实数﹣3的相反数是( ) A.﹣ B. C.3 D.﹣3 2.(4分)下列几何体的主视图是正方形的是( ) A. B. C. D. 3.(4分)2024年巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕,8月11日闭幕.巴黎奥运会设定的参赛名额为10500人.数据10500可用科学记数法表示为( ) A.1.05 103 B.1.05 104 C.1.05 105 D.10.5 104 4.(4分)如图,直线AB∥DE.若∠1=62 ,CE平分∠ACD,则∠CED的度数为( ) A.59 B.62 C.69 D.72 5.(4分)下列计算正确的是( ) A.4a3﹣3a2=a2 B.(a﹣b)2=a2+b2 C.(﹣a)3•a4=a7 D.(﹣2a2b3)3=﹣8a6b9 6.(4分)在庞大的汉字体系中,对称美是汉字的重要外部结体特征,这一点在篆书中表现得较为明显.下列文字中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 7.(4分)计算的结果是( ) A. B. C. D. 8.(4分)一次函数y=kx+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 9.(4分)在学习了尺规作图之后,小明用尺规作出了如图所示的图形.已知Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠BAC=30 ,以点B为圆心,一定长度的长为半径画弧,交AB于点M,交BC于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP并延长,交AC于点D.连接AP,DM,MN.若S BCD=2,BM=,则下列结论中正确的有( ) ①MN=BM;②AD=4;③AP=5;④S ABD=4;⑤DM=. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 10.(4分)已知P(﹣1,3),Q(4,3)为平面直角坐标系内两点,连接PQ.若抛物线y=﹣x2+6x+m与线段PQ只有一个公共点,则m的取值范围是( ) A.﹣5≤m<10或m=﹣6 B.﹣5≤m<9或m=6 C.﹣5<m≤10或m=﹣6 D.﹣5≤m≤10或m=﹣6 二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.直接填写答案. 11.(4分)分解因式:x2﹣16y2= . 12.(4分)在一个不透明的袋子里,装有3个黑球和1个白球,它们除颜色外没有任何其他区别.将它们摇匀后从中摸出2个球,能同时摸出1个黑球和1个白球的概率是 . 13.(4分)已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍,则正多边形的每个内角的度数为 . 14.(4分)已知关于x的方程2x2+5x﹣3=0的两个根分别为x1,x2,则x2+x1的值为 . 15.(4分)如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,OA=4,DE⊥AB,垂足为F,将弓形DBE沿DE折叠,点B恰好过点O,则图中阴影部分的面积是 . 16.(4分)我国有着悠久浑厚的数学文化,在人类文明发展过程中发挥着巨大作用.例如:汉代数学家赵爽为了证明《周醉算经》中的勾股定理,构造了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接AC,当AH平分∠CAD时,S正方形EFGH=4,则S正方形ABCD= . 三、解答题:本题共10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(6分)计算:. 18.(6分)解不等式组:,并写出它的正整数解. 19.(6分)如图,在平行四边形ABCD中,连接AC,在AC上存在两点E,F,且AF=CE,连接DE,BF.求证:DE∥BF. 20.(8分)随着农业现代化的进一步推进,新农村的积极建设,农民伯伯可用无人机进行药物喷洒来消灭虫害.如图,这是一位农民伯伯喷药过程中的实时画面示意图,他在水平地面上点A处测得无人机的位置点D的仰角为53 .当他迎着坡度为8:15的斜坡从点A走到点B时,无人机恰好从点D沿着水平方向飞到点C此时,他在点B处测得点C的仰角∠CBE为45 .已知AB=34米,CD=50米,这位农民伯伯让无人机沿与水平地面平行的方向飞行以便喷洒均匀.点A,B,C,D,E,F在同一竖直平面内,求此时无人机的位置点C距水平地面AF的高度.(测角仪的高度忽略不计.参考数据:sin53 ≈0.8,cos53 ≈0.6,tan53 ≈) 21.(8分)某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析,部分信息如下: a.七年级成绩频数分布直方图如图(每组成绩包含最低分,不包含最高分); b.七年级成绩在70≤x<80这一组的数据如下: 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c.七、八年级成绩平均数、中位数如下: 年级 平均数 中位数 七年级 76.8 m 八年级 79.2 79.5 根据以上信息,解答下列问题. (1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有 人; (2)表中m的值为 ; (3)在这次测试中,七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分,则甲、乙两位学生在各自年级的排名 更靠前; (4)该校七年级学生有600人,假设全部参加此次测试,请估计七年级学生成绩不低于80分的人数. 22.(8分)如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上不同于A,B的两点,CF是⊙O的切线,连接CD.过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长CE,交AB的延长线于点F. (1)求证:∠ABD=2∠BAC; (2)当BD=6,sin时,求BF的长. 23.(10分)某文具店分两次购进毛笔字书写纸、钢笔字练习纸两种商品进行销售,两次购进同一种商品的进价相同.第一次购进毛笔字书写纸30件,钢笔字练习纸20件,共花费1900元;第二次购进毛笔字书写纸40件、钢笔字练习纸30件、共花前2700元. (1)求毛笔字书写纸、钢笔字练习纸两种商品每件的进价分别是多少元; (2)该文具店决定将毛笔字书写纸以每件45元的价格出售,钢笔字练习纸以每件75元的价格出售.为满足消费者的需求,需购进两种商品共1000件,且毛笔字书写纸的数量不少于钢笔字练习纸数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润. 24.(10分)换一个角度初看 华罗庚先生曾说过,数缺形时少直观,形缺数时难入微.这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分.例如:已知两个函数y1=﹣x+6(x>0),当x取何值时,y1>y2?根据“代数”的思想要解一元二次不等式,比较麻烦.而利用数形结合思想,只要画出图象后观察交点,就很好理解了. (1)如图1,当y1>y2时,x的取值范围是 . 换一个角度二看 我们定义:任意给定一个矩形M,如果存在另一个矩形N,它的周长和面积都是原矩形的2倍,那么我们称N是M的“加倍矩形”,M是N的“双半矩形”.请你研究矩形N是否存在“双半矩形”M.我们利用数形结合思想来解决方程问题.如图2,在同一平面直角坐标系中画出一次函数y=﹣x+7和反比例函数的部分图象,其中x和y分别表示矩形N的“双半矩形”M的两边长. (2)请你结合之前的研究,回答下列问题: ①这个图象所研究的矩形N的面积为 ,周长为 . ②是否存在矩形M的“双半矩形”Q?如果存在,请求出Q的边长;如果不存在,请说明理由. (3)在第(2)问的条件下,坐标平面内是否存在以O,C,D,E为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 25.(12分)抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣3). (1)求该抛物线的函数表达式. (2)如图1,线段BC下方抛物线上是否存在一点E,使若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图2,D是抛物线的顶点,P是抛物线第二象限上的点,连接PB,BD.当∠PBA=2∠CBD时,求点P的坐标. 26.(12分)在平面内,已知∠MCN=45 ,在射线CM,CN上分别取点A,B,同时点D(与点B,C不重合)为射线CB上一动点,连接AD,AD绕点A按逆时针方向旋转90 得到AE,连接CE. (1)如图1,当AB=AC,且点D在线段BC上运动时,试判断线段CE与BD有什么样的位置关系,并证明你的结论. (2)如图2,若AB>AC,且点D在线段BC上运动,则(1)中结论还成立吗?请说明理由. (3)如图3,当AB<AC时,点D在线段BC上运动.在点D运动的过程中,在BC上方作正方形ADFE,直线DF与直线CE相交于点P.若AC=6,BC=5,求线段CP的最大值. 2024年山东省济南市钢城实验学校中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.(4分)实数﹣3的相反数是( ) A.﹣ B. C.3 D.﹣3 【分析】根据相反数的定义判断即可. 【解答】解:﹣3的相反数是3, 故选:C. 【点评】本题考查了相反数:只有符号不同的两个数是互为相反数,掌握其定义是解题的关键. 2.(4分)下列几何体的主视图是正方形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据主视图为正面所看到的图形,找出各选项主视图,然后选择正确选项. 【解答】解:A.主视图为长方形,故本选项不符合题意; B.主视图为正方形,故本选项符合题意; C.主视图为长方形,故本选项不符合题意; D.主视图为等腰三角形,故本选项不符合题意. 故选:B. 【点评】本题考查了简单几何体的三视图,从正面看得到的视图是主视图. 3.(4分)2024年巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕,8月11日闭幕.巴黎奥运会设定的参赛名额为10500人.数据10500可用科学记数法表示为( ) A.1.05 103 B.1.05 104 C.1.05 105 D.10.5 104 【分析】科学记数法的表示形式为a 10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时,n是正整数;当原数的绝对值<1时,n是负整数. 【解答】解:10500=1.05 104. 故选:B. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a 10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 4.(4分)如图,直线AB∥DE.若∠1=62 ,CE平分∠ACD,则∠CED的度数为( ) A.59 B.62 C.69 D.72 【分析】根据平行线的性质得出∠1=∠DCB,∠CED=∠ACE,即可求出∠DCB的度数,根据邻补角互补即可求出∠ACD的度数,根据角平分线的定义求出∠ACE的度数,即可求出∠CED的度数. 【解答】解:∵AB∥DE, ∴∠1=∠DCB,∠CED=∠ACE, ∵∠1=62 , ∴∠DCB=62 , ∴∠ACD=180 ﹣∠DCB=180 ﹣62 =118 , ∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=, ∴∠CED=59 , 故选:A. 【点评】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,邻补角的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键. 5.(4分)下列计算正确的是( ) A.4a3﹣3a2=a2 B.(a﹣b)2=a2+b2 C.(﹣a)3•a4=a7 D.(﹣2a2b3)3=﹣8a6b9 【分析】利用合并同类项法则,完全平方公式,同底数幂乘法法则,幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可. 【解答】解:4a3与3a2不是同类项,无法合并,则A不符合题意; (a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,则B不符合题意; (﹣a)3•a4=﹣a7,则C不符合题意; (﹣2a2b3)3=﹣8a6b9,则D符合题意; 故选:D. 【点评】本题考查合并同类项,完全平方公式,同底数幂乘法,幂的乘方与积的乘方,熟练掌握相关运算法则是解题的关键. 6.(4分)在庞大的汉字体系中,对称美是汉字的重要外部结体特征,这一点在篆书中表现得较为明显.下列文字中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形;中心对称图形的定义:把一个图形绕着某一个点旋转180 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心,进行逐一判断即可. 【解答】解:A.原图既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项符合题意; B.原图是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意; C.原图是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意; D.原图是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不符合题意. 故选:A. 【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别.熟练掌握相关定义是解答本题关键. 7.(4分)计算的结果是( ) A. B. C. D. 【分析】先把分式通分,然后进行加减计算即可. 【解答】解:原式= = = = =, 故选:D. 【点评】本题主要考查了分式的加减运算,解题关键是熟练掌握分式的通分和约分. 8.(4分)一次函数y=kx+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 【分析】由一次函数y=kx+b图象分析可得b的符号,从而判断反比例函数y=的图象是否正确,进而比较可得答案. 【解答】解:A、函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则b>0,所以反比例函数y=的图象经过第一、三象限,故本选项符合题意; B、函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,则b<0,所以所以反比例函数y=的图象经过第二、四象限,故本选项不符合题意; C、函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限,则b>0,所以反比例函数y=的图象经过第一、三象限,故本选项符合题意; D、函函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则b>0,所以反比例函数y=的图象经过第一、三象限,故本选项符合题意; 故选:A. 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的图象.一次函数y=kx+b的图象有四种情况: ①当k>0,b>0,函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限; ②当k>0,b<0,函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限; ③当k<0,b>0时,函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限; ④当k<0,b<0时,函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象. 9.(4分)在学习了尺规作图之后,小明用尺规作出了如图所示的图形.已知Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠BAC=30 ,以点B为圆心,一定长度的长为半径画弧,交AB于点M,交BC于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP并延长,交AC于点D.连接AP,DM,MN.若S BCD=2,BM=,则下列结论中正确的有( ) ①MN=BM;②AD=4;③AP=5;④S ABD=4;⑤DM=. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【分析】证明 BNM是等边三角形,可得①正确.设CD=m,BC=m,利用面积法求出CD.BC=AC,AB,AD,BD,可得②④正确,点P的位置不确定,可得③错误.作DH⊥AB于点H,利用勾股定理求出DM,可得⑤正确. 【解答】解:在Rt ABC中,∠ACB=90 ,∠BAC=30 , ∴∠ABC=90 ﹣30 =60 , 由作图可知BM=BN,∴ BMN是等边三角形, ∴MN=BM,故①正确, 由作图可知BD平分∠ABC, ∴∠DBA=∠DBC=30 =∠CAB, ∴DA=DB, 设CD=m,则BC=m, ∵S BCD=2, ∴ m m=2, ∴m=2(负值已经舍去), ∴CD=2,BC=2,AC=6,AD=DB=4,故②正确, 由题意点P的位置不确定,AP的长无法确定,故③错误, ∴S ABD=S ABC﹣S CDB= 2 6﹣2=4,故④正确, 作DH⊥AB于点H. ∵AD=4,∠CAB=30 , ∴DH=AD=2,AH=DH=2, ∴HM=AB﹣AH=BM=4﹣2﹣=, ∴DM===,故⑤正确. 故选:C. 【点评】本题考查作图﹣复杂作图,角平分线的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题. 10.(4分)已知P(﹣1,3),Q(4,3)为平面直角坐标系内两点,连接PQ.若抛物线y=﹣x2+6x+m与线段PQ只有一个公共点,则m的取值范围是( ) A.﹣5≤m<10或m=﹣6 B.﹣5≤m<9或m=6 C.﹣5<m≤10或m=﹣6 D.﹣5≤m≤10或m=﹣6 【分析】分类讨论抛物线顶点落在PQ上,点P和点Q落在抛物线上的临界值,通过数形结合求解. 【解答】解:∵y=﹣x2+6x+m=﹣(x﹣3)2+m+9 ∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=3,抛物线顶点坐标为(3,m+9), 当抛物线顶点落在PQ上时,m+9=3, 解得m=﹣6,满足题意. 把Q(4,3)代入y=﹣x2+6x+m得3=﹣16+24+m, 解得m=﹣5, 把P(﹣1,3)代入y=﹣x2+6x+m得3=﹣1﹣6+m, 解得m=10, ∴﹣5<m≤10满足题意, 综上所述,m=﹣6或﹣5<m≤10. 故选:C. 【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,通过数形结合的方法求解是解题的关键. 二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.直接填写答案. 11.(4分)分解因式:x2﹣16y2= (x+4y)(x﹣4y) . 【分析】先把x2和16y2分别写成完全平方的形式,再利用平方差公式进行因式分解即可. 【解答】解:x2﹣16y2 =x2﹣(4y)2 =(x+4y)(x﹣4y). 故答案为:(x+4y)(x﹣4y). 【点评】此题主要考查了用平方差公式进行因式分解,把x2和16y2分别写成完全平方的形式再用平方差公式分解是解决问题的关键. 12.(4分)在一个不透明的袋子里,装有3个黑球和1个白球,它们除颜色外没有任何其他区别.将它们摇匀后从中摸出2个球,能同时摸出1个黑球和1个白球的概率是 . 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及能同时摸出1个黑球和1个白球的结果数,再利用概率公式可得出答案. 【解答】解:列表如下: 黑 黑 黑 白 黑 (黑,黑) (黑,黑) (黑,白) 黑 (黑,黑) (黑,黑) (黑,白) 黑 (黑,黑) (黑,黑) (黑,白) 白 (白,黑) (白,黑) (白,黑) 共有12种等可能的结果,其中能同时摸出1个黑球和1个白球的结果有:(黑,白),(黑,白),(黑,白),(白,黑),(白,黑),(白,黑),共6种, ∴能同时摸出1个黑球和1个白球的概率是=. 故答案为:. 【点评】本题考查列表法与树状图法,熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键. 13.(4分)已知一个正多边形的内角和是外角和的2倍,则正多边形的每个内角的度数为 120 . 【分析】设这个多边形的边数为n,根据题意列得方程,然后利用多边形的内角和列式计算即可. 【解答】解:设这个多边形的边数为n, 则(n﹣2)•180 =360 2, 解得:n=6, 则(6﹣2) 180 6=120 , 即正多边形的每个内角的度数为120 , 故答案为:120. 【点评】本题考查多边形的内角和与外角和,结合已知条件求得这个多边形的边数是解题的关键. 14.(4分)已知关于x的方程2x2+5x﹣3=0的两个根分别为x1,x2,则x2+x1的值为 . 【分析】由题意x1+x2=﹣,x1x2=﹣,再利用整体代入思想求解. 【解答】解:∵2x2+5x﹣3=0的两个根分别为x1,x2, ∴x1+x2=﹣,x1x2=﹣, ∴x2+x1=x1x2(x1+x2)=﹣ (﹣)=. 故答案为:. 【点评】本题考查根与系数关系,解题的关键是掌握x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=. 15.(4分)如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,OA=4,DE⊥AB,垂足为F,将弓形DBE沿DE折叠,点B恰好过点O,则图中阴影部分的面积是 ﹣8 . 【分析】连接OD、OE,先根据题意得出OF=OD=2,利用勾股定理和垂径定理,得出DF=EF,DF=2,利用直角三角函数求得∠ODE=30 ,根据OD=OE,利用等腰三角形的性质求得∠DOE=120 ,根据图形得出S阴影=2(S扇形DBE﹣S DOE),即可得出答案. 【解答】解:连接OD、OE, 由题意可知OF=OD=2, ∵DE⊥AB,垂足为F, ∴∠ODE=30 ,DF=EF, ∴DF==2, ∴DE=4, ∵OD=OE, ∴∠OED=∠ODE=30 , ∴∠DOE=120 , ∴S阴影=2(S扇形DBE﹣S DOE)=2 (﹣)=﹣8. 故答案为:﹣8. 【点评】本题主要考查了垂径定理,勾股定理,翻折变换,直角三角函数,扇形面积的计算,解题的关键是根据图形得出S阴影=2(S扇形DBE﹣S DOE). 16.(4分)我国有着悠久浑厚的数学文化,在人类文明发展过程中发挥着巨大作用.例如:汉代数学家赵爽为了证明《周醉算经》中的勾股定理,构造了一副“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”.如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接AC,当AH平分∠CAD时,S正方形EFGH=4,则S正方形ABCD= 8+4 . 【分析】依据题意,由∠CQG=∠AQH,∠CGQ=∠AHQ=90 ,可得 CGQ∽ AHQ,从而=,再证 AQH≌ ADH,故QH=DH,AQ=AD,结合AC是正方形ABCD的对角线,可得AC=AD,故CQ=AC﹣AQ=AD﹣AD=(﹣1)AD,进而可得=,从而可得QH,又在Rt DGC中,CD2=DG2+CG2,即CD2=(2+)2+()2=8+4,最后计算可以得解. 【解答】解:如图, 由题意,∠CQG=∠AQH,∠CGQ=∠AHQ=90 , ∴ CGQ∽ AHQ. ∴=. 又∵AH平分∠CAD, ∴∠QAH=∠DAH. 又∵∠AHQ=∠AHD=90 ,AH=AH, ∴ AQH≌ ADH(ASA). ∴QH=DH,AQ=AD. ∵AC是正方形ABCD的对角线, ∴AC=AD. ∴CQ=AC﹣AQ=AD﹣AD=(﹣1)AD. ∵S正方形EFGH=4, ∴GH=2. ∴=. ∴QH=. ∴DH=QH=CG=. ∴在Rt DGC中,CD2=DG2+CG2,即CD2=(2+)2+()2=8+4. ∴S正方形ABCD=8+4. 故答案为:8+4. 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用,解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键. 三、解答题:本题共10小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(6分)计算:. 【分析】根据实数的运算法则,负整数指数幂的定义和特殊角的三角函数值的定义,绝对值和算术平方根的定义是关键. 【解答】解:原式=2+2 +﹣1+2 =2+1+﹣1+2 =3+2. 【点评】本题考查了实数的运算,负整数指数幂和特殊角的三角函数值,绝对值和算术平方根,掌握实数的运算法则,负整数指数幂的定义和特殊角的三角函数值的定义,绝对值和算术平方根的定义是关键. 18.(6分)解不等式组:,并写出它的正整数解. 【分析】根据解一元一次不等式的步骤分别求出不等式组中两个不等式的解集,再求出解集的公共部分即可解决问题. 【解答】解:解不等式得, x≤3. 解不等式2(x﹣2)<3x得, x>﹣4, 所以不等式组的解集为:﹣4<x≤3. 正整数解为:1,2,3. 【点评】本题考查解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解,熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键. 19.(6分)如图,在平行四边形ABCD中,连接AC,在AC上存在两点E,F,且AF=CE,连接DE,BF.求证:DE∥BF. 【分析】根据平行四边形的对边相等可得AB=CD,对边平行可得AB∥CD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠BAF=∠DCE,然后利用“边角边”证明 ABF≌ CDE,根据全等三角形对应角相等可得∠BFA=∠DEC,进而得到DE∥BF. 【解答】证明:在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD, ∴∠BAF=∠DCE, 在 ABF和 CDE中, , ∴ ABF≌ CDE(SAS), ∴∠BFA=∠DEC, ∴DE∥BF. 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质,解题的关键是得出 ABF≌ CDE,再由全等三角形的性质得出结论. 20.(8分)随着农业现代化的进一步推进,新农村的积极建设,农民伯伯可用无人机进行药物喷洒来消灭虫害.如图,这是一位农民伯伯喷药过程中的实时画面示意图,他在水平地面上点A处测得无人机的位置点D的仰角为53 .当他迎着坡度为8:15的斜坡从点A走到点B时,无人机恰好从点D沿着水平方向飞到点C此时,他在点B处测得点C的仰角∠CBE为45 .已知AB=34米,CD=50米,这位农民伯伯让无人机沿与水平地面平行的方向飞行以便喷洒均匀.点A,B,C,D,E,F在同一竖直平面内,求此时无人机的位置点C距水平地面AF的高度.(测角仪的高度忽略不计.参考数据:sin53 ≈0.8,cos53 ≈0.6,tan53 ≈) 【分析】过点B作BH⊥AF,垂足为H,过点D作DG⊥AF,垂足为G,过点C作CN⊥AF,垂足为N,交BE于点M,根据题意可得:BH=MN,DG=CN,BM=HN,CD=GN=50米,再根据已知可设BH=8x米,则AH=15x米,从而在Rt ABH中,利用勾股定理进行计算可求出BH和AH的长,然后设HG=y米,则BM=HN=(x+50)米,AG=(30+x)米,分别在Rt ADG和Rt BMC中,利用锐角三角函数的定义求出DG和CM的长,从而利用线段的和差关系列出关于y的方程,进行计算即可解答. 【解答】解:过点B作BH⊥AF,垂足为H,过点D作DG⊥AF,垂足为G,过点C作CN⊥AF,垂足为N,交BE于点M, 由题意得:BH=MN,DG=CN,BM=HN,CD=GN=50米, ∵斜坡AB的坡度为8:15, ∴=, ∴设BH=8x米,则AH=15x米, 在Rt ABH中,AB===17x(米), ∵AB=34米, ∴17x=34, 解得:x=2, ∴BH=MN=16米,AH=30米, 设HG=y米, ∴BM=HN=HG+GN=(x+50)米,AG=AH+HG=(30+x)米, 在Rt ADG中,∠DAG=53 , ∴DG=AG•tan53 ≈(x+30)米, 在Rt BMC中,∠CBM=45 , ∴CM=BM•tan45 =(x+50)米, ∵DG=CN, ∴DG=CM+MN, ∴(x+30)=x+50+16, 解得:x=78, ∴CN=x+50+16=144(米), ∴此时无人机的位置点C距水平地面AF的高度约为144米. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,坡度坡角问题,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 21.(8分)某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况从七、八年级各随机抽出50名学生进行测试并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析,部分信息如下: a.七年级成绩频数分布直方图如图(每组成绩包含最低分,不包含最高分); b.七年级成绩在70≤x<80这一组的数据如下: 70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c.七、八年级成绩平均数、中位数如下: 年级 平均数 中位数 七年级 76.8 m 八年级 79.2 79.5 根据以上信息,解答下列问题. (1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有 23 人; (2)表中m的值为 77.5 ; (3)在这次测试中,七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是78分,则甲、乙两位学生在各自年级的排名 甲 更靠前; (4)该校七年级学生有600人,假设全部参加此次测试,请估计七年级学生成绩不低于80分的人数. 【分析】(1)根据频数分布直方图可得七年级在80分以上(含80分)的人数; (2)根据中位数的定义求解可得; (3)将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案; (4)用总人数乘以样本中七年级绩不低于80分的人数所占比例可得. 【解答】解:(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的人数有15+8=23(人); 故答案为:23; (2)七年级学生成绩的中位数m==77.5(分); 故答案为:77.5; (3)七年级学生甲的成绩更靠前,因为七年级学生甲的成绩大于其中位数; 故答案为:甲; (4)600 =276(人), 答:估计七年级学生成绩不低于80分的人数为276人. 【点评】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体,解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用. 22.(8分)如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上不同于A,B的两点,CF是⊙O的切线,连接CD.过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长CE,交AB的延长线于点F. (1)求证:∠ABD=2∠BAC; (2)当BD=6,sin时,求BF的长. 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质,等腰三角形的性质,平行线的判定和性质定理即可得到结论; (2)连接AD,由已知条件易求AB的长,进而可求出BF,BE的长,再由勾股定理即可求出EF的长. 【解答】(1)证明:如图,连接OC. ∵CF是⊙O的切线, ∴OC⊥CF, ∵CE⊥DE, ∴OC∥DE, ∴∠3=∠4, ∵OA=OC, ∴∠1=∠2, ∴∠3=∠1+∠2=2∠1, ∴∠4=2∠1, 即∠ABD=2∠BAC; (2)解:连接AD, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90 , ∵DE⊥CF, ∴CF∥AD, ∴∠BAD=∠F, ∴sin∠BAD=sinF==, ∴AB=BD=10, ∵OC=AB=5, ∵OC⊥CF,OC=5,sin∠F=, ∴sinF===, 解得BF=, ∴sinF==, ∴BE=BF=2, 在Rt BEF中,由勾股定理看得:EF==. 【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质等知识点.解题的关键是正确地作出辅助线. 23.(10分)某文具店分两次购进毛笔字书写纸、钢笔字练习纸两种商品进行销售,两次购进同一种商品的进价相同.第一次购进毛笔字书写纸30件,钢笔字练习纸20件,共花费1900元;第二次购进毛笔字书写纸40件、钢笔字练习纸30件、共花前2700元. (1)求毛笔字书写纸、钢笔字练习纸两种商品每件的进价分别是多少元; (2)该文具店决定将毛笔字书写纸以每件45元的价格出售,钢笔字练习纸以每件75元的价格出售.为满足消费者的需求,需购进两种商品共1000件,且毛笔字书写纸的数量不少于钢笔字练习纸数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润. 【分析】(1)设毛笔字书写纸每件的进价为x元,钢笔字练习纸每件的进价为y元,根据题意列出二元一次方程组,解方程组即可; (2)设购进毛笔字书写纸a件,钢笔字练习纸(1000﹣a)件,总利润为W元,根据总利润=单件利润 销售数量(购进数量),即可得出W关于a的函数关系式,由毛笔字书写纸的数量不少于钢笔字练习纸数量的4倍,得出关于a的一元一次不等式,解不等式得出a的取值范围,再利用一次函数的性质即可解决最值问题. 【解答】解:(1)设毛笔字书写纸每件的进价为x元,钢笔字练习纸每件的进价为y元, 根据题意,得, 解得:, 答:毛笔字书写纸每件的进价为30元,钢笔字练习纸每件的进价为50元. (2)设购进毛笔字书写纸a件,钢笔字练习纸(1000﹣a)件,总利润为W元, 根据题意,得W=(45﹣30)a+(75﹣50)(1000﹣a) =﹣10a+25000, ∵a≥4(1000﹣a), ∴a≥800. ∵﹣10<0, ∴W随a的增大而减小, ∴当a=800时,W取最大值,最大值为:﹣10 800+25000=﹣8000+25000=17000(元), 此时1000﹣a=1000﹣800=200. 答:当购进毛笔字书写纸800件,钢笔字练习纸200件时,获利最大,最大利润是17000元. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,一次函数的应用,解题的关键是找准等量关系,正确列出二元一次方程组和不等式组,找出W关于a的函数解析式. 24.(10分)换一个角度初看 华罗庚先生曾说过,数缺形时少直观,形缺数时难入微.这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分.例如:已知两个函数y1=﹣x+6(x>0),当x取何值时,y1>y2?根据“代数”的思想要解一元二次不等式,比较麻烦.而利用数形结合思想,只要画出图象后观察交点,就很好理解了. (1)如图1,当y1>y2时,x的取值范围是 1<x<5 . 换一个角度二看 我们定义:任意给定一个矩形M,如果存在另一个矩形N,它的周长和面积都是原矩形的2倍,那么我们称N是M的“加倍矩形”,M是N的“双半矩形”.请你研究矩形N是否存在“双半矩形”M.我们利用数形结合思想来解决方程问题.如图2,在同一平面直角坐标系中画出一次函数y=﹣x+7和反比例函数的部分图象,其中x和y分别表示矩形N的“双半矩形”M的两边长. (2)请你结合之前的研究,回答下列问题: ①这个图象所研究的矩形N的面积为 20 ,周长为 28 . ②是否存在矩形M的“双半矩形”Q?如果存在,请求出Q的边长;如果不存在,请说明理由. (3)在第(2)问的条件下,坐标平面内是否存在以O,C,D,E为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)观察函数图象,即可求解; (2)①由题意得:x+y=(m+n)且yx=mn,即可求解; ②假设存在矩形Q,其边长为s,t,同理可得:s+t=(x+y)=,st=xy=,则存在方程:2x2﹣7x+10=0,而方程无解,即可求解; (3)当CO为对角线时,由中点坐标公式列出方程组即可求解;当OD或OE为对角线时,同理可解. 【解答】解:(1)联立y1=﹣x+6(x>0)和得:﹣x+6=, 解得:x=1或5, 观察函数图象知,当y1>y2时,x的取值范围是1<x<5, 故答案为:1<x<5; (2)①设矩形N的边长分别为:m,n, 由题意得:x+y=(m+n)且yx=mn, 而x+y=7,xy=10, 则m+n=14,mn=20, 故周长为28,面积为20, 故答案为:20,28; ②假设存在矩形Q,其边长为s,t, 同理可得:s+t=(x+y)=,st=xy=, 则存在方程:2x2﹣7x+10=0, ∵ =49﹣80<0, 方程无解, 故不存在矩形Q; (3)存在,理由: 联立两个函数表达式得:=﹣x+7, 解得:x=2或5, 即点C、D的坐标分别为:(2,5)、(5,2); 设点E(x,y), 当CO为对角线时, 由中点坐标公式得: ,解得:,即点E(﹣3,3); 当OD或OE为对角线时, 同理可得:或, 解得:或, 即点E(3,﹣3)或(7,7); 综上,E(﹣3,3)或(3,﹣3)或(7,7). 【点评】本题是反比例函数的综合题,考查了反比例函数的应用,解题的关键是会灵活的运用函数图象交点的意义,以及图象的特点,试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想,请注意体会. 25.(12分)抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C(0,﹣3). (1)求该抛物线的函数表达式. (2)如图1,线段BC下方抛物线上是否存在一点E,使若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图2,D是抛物线的顶点,P是抛物线第二象限上的点,连接PB,BD.当∠PBA=2∠CBD时,求点P的坐标. 【分析】(1)由待定系数法即可求解; (2)由S BCE=S四边形ACEB=(S ABC+S BCE),得到S ABC=S BCE,即可求解; (3)求出sin∠HBD==,则tan∠HBD==tan∠PBA,即可求解. 【解答】解:(1)由题意得: ,解得:, 则抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3; (2)存在,理由: ∵S BCE=S四边形ACEB=(S ABC+S BCE), 则S ABC=S BCE, 分别过点A、E作BC的平行线AG、EH,分别交y轴于点G、H, 则AG的表达式为:y=x+1,则点G(0,1), 则CG=4, ∵S ABC=S BCE, 则CH=CG=2, 则点H(0,﹣5), 则直线HE的表达式为:y=x﹣5, 联立上式和抛物线的表达式得:x﹣5=x2﹣2x﹣3, 解得:x=1或2, 即点E(1,﹣4)或(2,﹣3); (3)由抛物线的表达式知,点D(1,﹣4), 则CD=,且CD和y轴负半轴的夹角为45 , 而∠OCB=45 ,故CD⊥BC,延长DC到M使CM=CD,连接BM,则 BMD为等腰三角形, 则∠CBD=∠CBM, 则∠MBD=2∠CBD=∠PBA, 过点D作DH⊥BM于点H, 则S BDM= MD BC= MB DH, 由点C、D、B的坐标得:MD=2CD=2,BC=3,BD==BM, 即23= HD, 则HD=, 则sin∠HBD==, 则tan∠HBD==tan∠PBA, 故直线BP的表达式为:y=﹣(x﹣3), 联立y=x2﹣2x﹣3和上式得:x2﹣2x﹣3=﹣(x﹣3), 解得:x=﹣, 即点P的坐标为:(﹣,). 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系. 26.(12分)在平面内,已知∠MCN=45 ,在射线CM,CN上分别取点A,B,同时点D(与点B,C不重合)为射线CB上一动点,连接AD,AD绕点A按逆时针方向旋转90 得到AE,连接CE. (1)如图1,当AB=AC,且点D在线段BC上运动时,试判断线段CE与BD有什么样的位置关系,并证明你的结论. (2)如图2,若AB>AC,且点D在线段BC上运动,则(1)中结论还成立吗?请说明理由. (3)如图3,当AB<AC时,点D在线段BC上运动.在点D运动的过程中,在BC上方作正方形ADFE,直线DF与直线CE相交于点P.若AC=6,BC=5,求线段CP的最大值. 【分析】(1)证 BAD≌ CAE(SAS)得到∠ABC=∠ACE=45 ,即可得证; (2)利用第(1)问的思路构造全等三角形,A作AF⊥AC交BC于点F,证 AFD≌ ACE(SAS),即可得证; (3)由前述思路可得构造手拉手旋转全等, AGD≌ ACE,再利用 AMD∽ DCP得到CP关于CD的二次函数表达式即可求出最大值. 【解答】解:(1)CE⊥BD,理由如下: ∵∠MCN=45 ,AB=AC, ∴∠BAC=90 ,∠ABC=45 , ∵∠DAE=∠BAC=90 , ∴∠BAD=∠CAE=90 ﹣∠DAC, ∵AD=AE, ∴ BAD≌ CAE(SAS), ∴∠ABC=∠ACE, ∴∠BCE=90 , ∴CE⊥BD; (2)CE⊥BD依然成立,理由如下: 过如图,A作AF⊥AC交BC于点F, ∵∠MCN=45 , ∴∠AFC=45 , ∴AF=AC, ∵AD=AE,∠FAD=∠CAE90 ﹣∠DAC, ∴ AFD≌ ACE(SAS), ∴∠ACE=∠AFD=45 , ∴∠BCE=90 ,即CE⊥BD; (3)如图,过A作AG⊥AC交CN于点G,作AM⊥CG交CG于点M, 由(1)中方法可得 AGD≌ ACE(SAS), ∴∠ACE=∠AGC=45 , ∴∠ECN=90 ,即CE⊥CN, 在Rt ACM中,AC=6,∠ACM=45 , ∴AM=CM=AC•sin45 =6, ∵四边形ADFE是正方形, ∴∠ADF=90 , ∴∠ADM=∠DPC=90 ﹣∠PDC, ∵∠AMD=∠DCP=90 , ∴ AMD∽ DCP, ∴,即, ∴CP=﹣CD2+CD=﹣(CD﹣3)2+, ∵﹣<0, ∴当CD=3时,CP=最大. 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、相似的性质和判定等知识点,熟练掌握相关知识是解题的关键. 学科网(北京)股份有限公司 $$