重难提优4 勾股定理的应用（5大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（苏科版）

专题提优4 勾股定理的应用 题型01 方程思想的应用 1．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　） A．121 B．120 C．90 D．不能确定 2．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道．已知滑道AC与AE的长度相等，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m，则滑道AC的长为（　　） A．7m B．8m C．8.5m D．9m 3．如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为多少？ 题型02 转化思想的应用 1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为 　 　． 2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于点D，M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2＝　 　． 3．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝8，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为 　 　． 题型03 分类讨论思想的应用 1．已知直角三角形的两条边长分别为6和8，那么该直角三角形斜边上的中线长是　 　． 2．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝12，AB＝9，DE⊥AC，CDBC，CEAC，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP的长是　 　． 3．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：CD：AD＝1：3：4． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）已知S△ABC＝30cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）， ①若△DMN的边与BC平行，求t的值； ②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 题型04 构造直角三角形解决问题 1．拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）． 2．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生此时距离超市门口（BD）多少米？ 题型05 运动路径的最值问题 1．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 2．如图，一个圆柱体的底面周长为16cm，AB是下底面的直径，高BC为12cm，S为BC的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点S． （1）画出蚂蚁爬行的最短路线示意图； （2）求出蚂蚁爬行的最短路程． 提优练习 1．如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是（　　） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 2．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm（杯壁厚度不计）． A．14 B．18 C．20 D．25 3．《九章算术》记载：“今有开门去（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸．问门广几何？”题目大意是：如图，推开双门，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），双门间隙CD的距离为2寸，问门的宽度AB是多少？计算得AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 4．如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（　　） A．20 B．18 C．16 D．14 6．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高线为12，则△ABC的面积为 　 　． 7．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，CM⊥MB，经测量得到如下数据：AM＝4m，AB＝4m，∠MAD＝45°，CM：CB＝3：5，则警示牌的高CD为 　 　m． 8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为斜边作等腰直角三角形S1、S2，以AB为边作正方形S．若S1与S2的面积和为9，则正方形S的边长等于　 　． 9．今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A．台风中心O正以每小时40km的速度向北偏西60°的OB方向移动，经监测得知台风中心200km的范围内将会受台风影响．OA＝320km．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由．若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间． 10．将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE＝2公里，B到河岸的距离BF＝3公里，EF＝12公里，求将军最短需要走多远． 11．长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E为边AD上一点，将△ABE沿BE折叠后得到△BEF． （1）如图1，若点E为AD的中点，延长BF交边CD于点G． ①求证：DG＝FG． ②求FG的长度． （2）如图2，若点E为边AD的一动点，连接FD，△DEF能否为直角三角形？若能，求出AE的值．若不能，请说明理由． 12．十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题． 问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为8m，8m，4m的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙1m，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙2m，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ [基础研究]如图2，在长、宽、高分别为a，b，c（a＞b＞c）的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点C′处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？ （1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示． 填空：图5是由 　 　面与 　 　面展开得到的平面图形； （填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”） （2）推理验证：如图3，由勾股定理得，．AC′2＝（a+b）2+c2＝a2+b2+c2+2ab， 如图4，由勾股定理得，AC′2＝（b+c）2+a2＝a2+b2+c2+2bc， 如图5，AC′2＝（a+c）2+b2＝a2+b2+c2+2ac． 要使得AC′的值最小， ∵a＞b＞c ……，（请补全推理过程） ∴ab＞ac＞bc ∴选择如图 　 　情况，此时AC′2的值最小，则AC′的值最小，即这种爬行路径是最短的． [简单应用] 如图6，长方体的长，宽，高分别为24cm，12cm，40cm，点P是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点P，则爬行的最短路程长为 　 　cm． [问题回归] 最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是 　 　m． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优4 勾股定理的应用 题型01 方程思想的应用 1．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　） A．121 B．120 C．90 D．不能确定 【分析】连续自然数，两数的差是1，较大的是斜边，根据勾股定理就可解得． 【解答】解：设另一直角边为a，斜边为a+1． 根据勾股定理可得，（a+1）2﹣a2＝92． 解之得a＝40．则a+1＝41，则直角三角形的周长为9+40+41＝90． 故选：C． 【点评】本题综合考查了勾股定理，解这类题的关键是利用直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系． 2．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道．已知滑道AC与AE的长度相等，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m，则滑道AC的长为（　　） A．7m B．8m C．8.5m D．9m 【分析】设AC＝x m，则AE＝AC＝x m，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m，在Rt△ABC中利用勾股定理列出方程，解方程即可求得答案． 【解答】解：设AC＝x m，则AE＝AC＝x m，AB＝AE﹣BE＝（x﹣1）m， 由题意得：∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， 即（x﹣1）2+42＝x2， 解得x＝8.5， ∴AC＝8.5m． 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中抽象出Rt△ABC是解决问题的关键． 3．如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为多少？ 【分析】由面积法可求BF的长，由勾股定理可求AF的长，即可求CF的长，由勾股定理可求DE的长，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AB＝CD＝6cm，BC＝AD， ∵S△ABFAB×BF＝24， ∴BF＝8cm， 在Rt△ABF中，（cm）， ∵沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处， ∴AD＝AF＝10cm，DE＝EF， ∴BC＝10cm， ∴FC＝BC﹣BF＝2cm， 在Rt△EFC中，EF2＝EC2+CF2， ∴DE2＝（6﹣DE）2+4， ∴DE（cm）， ∴S△ADEAD×DE（cm2）， 答：折叠的△ADE的面积为cm2． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形的面积公式，求出CF的长是本题的关键． 题型02 转化思想的应用 1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为 　4　． 【分析】设△ABE的面积为S，则S正方形ABCD＝S+140，S正方形AEFG＝S+124，再根据正方形的面积公式得到S正方形ABCD＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，所以AB2﹣AE2＝16，然后利用勾股定理计算BE的长． 【解答】解：设△ABE的面积为S， ∵S正方形ABCD＝S+S1＝S+140，S正方形AEFG＝S+S2＝S+124， 而S正方形ABCD＝AB2，S正方形AEFG＝AE2， ∴AB2﹣AE2＝140﹣124＝16， 在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2＝16， ∴BE＝4． 故答案为4． 【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角． 2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于点D，M为AD上任意一点，则MC2﹣MB2＝　45　． 【分析】由AB＝6，AC＝9，AD⊥BC，即可得MC2﹣MB2＝MD2+CD2﹣（MD2+DB2）＝CD2﹣DB2＝CA2﹣AB2＝92﹣62＝45． 【解答】解：由AB＝6，AC＝9，AD⊥BC， 得MC2﹣MB2＝MD2+CD2﹣（MD2+DB2）＝CD2﹣DB2＝CD2+AD2﹣（DB2+AD2）＝CA2﹣AB2＝92﹣62＝45． 故答案为：45． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题关键是正确变形． 3．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝8，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为 　16　． 【分析】由折叠的性质可得∠ADC＝∠ADE＝90°，DE＝CDCE，可得DE＝3，BD＝5，根据勾股定理可求AB2﹣AC2的值． 【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°，DE＝CDCE， ∵BC＝8，BE＝2 ∴CE＝6， ∴CD＝DE＝3，BD＝5， 在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2， ∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 题型03 分类讨论思想的应用 1．已知直角三角形的两条边长分别为6和8，那么该直角三角形斜边上的中线长是　4或5　． 【分析】根据题意得出两种情况，求出斜边，即可得出答案． 【解答】解：分为两种情况：当6和8都是直角边时，斜边10， 则该直角三角形斜边上的中线长为（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）； 当6为直角边，8为斜边时， 则此时该直角三角形斜边上的中线长是4（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）； 故答案为：4或5． 【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的应用，能求出符合条件的所以情况是解此题的关键． 2．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝12，AB＝9，DE⊥AC，CDBC，CEAC，P是直线AC上一点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后，点C落在直线DE上的点H处，CP的长是　10或　． 【分析】分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质和勾股定理解答便可． 【解答】解：当P点在E点左边时，如图1， 由折叠性质得PC＝PH，DC＝DH， ∵∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝9， ∴BC＝15， ∵CDBC，CEAC， ∴CD＝5，CE＝4， ∵DE⊥AC， ∴， ∴DH＝CD＝5， ∴EH＝ED+DH＝8， 设PC＝x，则PH＝x，PE＝x﹣4， ∵PH2﹣PE2＝EH2， ∴x2﹣（x﹣4）2＝64， 解得，x＝10， 即CP＝10； 当P点在E点右边时，如图2， 由折叠知，DH＝DC＝5， ∴EH＝DH﹣DE＝5﹣3＝2， 设PC＝x，则PE＝CE﹣PC＝4﹣x，PH＝x， ∵PH2﹣PE2＝EH2， ∴x2﹣（4﹣x）2＝4， 解得，x， 即PC； 综上，PC＝10或． 故答案为：10或． 【点评】本题主要考查了折叠性质，勾股定理，方程思想，分类思想，关键是分类讨论． 3．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：CD：AD＝1：3：4． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）已知S△ABC＝30cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒）， ①若△DMN的边与BC平行，求t的值； ②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设BD＝x，AD＝4x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论； （2）①当MN∥BC时，当DN∥BC时，根据等腰三角形的性质得出方程，解方程即可； ②若△MDE为等腰三角形，有3种可能：如果DE＝DM；如果ED＝EM；如果MD＝ME＝t﹣2；分别得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设BD＝x，AD＝4x，CD＝3x（x＞0）， 在Rt△ACD，∵AC2＝CD2+AD2， ∴AC2＝（3x）2+（4x）2， ∴AC＝5x， ∵AB＝BD+AD＝5x， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； （2）S△ABC5x×3x＝30cm2，而x＞0， ∴x＝2cm， 则BD＝2cm，AD＝8cm，CD＝6cm，AC＝10cm． ①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t， ∴t＝5， 当DN∥BC时，AD＝AN，有t＝8， 故若△DMN的边与BC平行时，t的值为5或8． ②当点M在BD上，即0≤t＜2时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE， 当t＝2时，点M运动到点D，不构成三角形， 当点M在DA上，即2＜t≤10时，△MDE为等腰三角形，有3种可能． 如果DE＝DM，则t﹣2＝5， ∴t＝7； 如果ED＝EM，则点M运动到点A， ∴t＝10； 如果MD＝ME＝t﹣2，如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵DE＝AE，EF⊥AD， ∴AF＝DF＝4， 在Rt△AEF中，∵EF2＝AE2﹣AF2， ∴， ∵BM＝t，BF＝6， ∴MF＝t﹣6， 在Rt△EMF中，∵EF2+MF2＝EM2， ∴32+（t﹣6）2＝（t﹣2）2， ∴t． 综上所述，符合要求的t值为7或10或． 【点评】本题是三角形综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识，熟练掌握分类讨论思想和方程的思想方法是解题的关键． 题型04 构造直角三角形解决问题 1．拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）． 【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长． 【解答】解：如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，则∠AFC＝90°， 设A'F＝x，则AF＝55+x， 由题可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65， ∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2， Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2， ∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2， 解得x＝25， ∴A'F＝25， ∴（cm）， 又∵EF＝AD＝3（cm）， ∴CE＝60+3＝63（cm）， ∴拉杆把手C离地面的距离为63cm． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 2．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生此时距离超市门口（BD）多少米？ 【分析】过C作CE⊥AB于E，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E， 由题意可知．BE＝CD＝1.5m，AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m），AC＝5m， 由勾股定理得：（m）， 即离门4米远的地方，门铃恰好自动响起， 答：该学生此时距离超市门口（BD）4米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用．理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键． 题型05 运动路径的最值问题 1．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【分析】根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：①在长方形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝20， ∴BC＝AD＝20， 当p与B重合时，BA′＝BA＝12， CA′＝BC﹣BA′＝20﹣12＝8， ②当Q与D重合时， 由折叠得A′D＝AD＝20， 由勾股定理，得 ， CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16﹣8＝8， 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键． 2．如图，一个圆柱体的底面周长为16cm，AB是下底面的直径，高BC为12cm，S为BC的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点S． （1）画出蚂蚁爬行的最短路线示意图； （2）求出蚂蚁爬行的最短路程． 【分析】（1）根据画出圆柱体半个侧面的展开图，连接AS即可求解； （2）在Rt△ABS中，由勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）如图，蚂蚁爬行的圆柱的半个侧面的展开图为矩形ABCD，爬行的最短路程即线段AS的长． （2）由题意，得（cm），（cm），∠B＝90°， 在Rt△ABS中，由勾股定理，得（cm）． 答：蚂蚁爬行的最短路程为10cm． 【点评】本题考查了勾股定理求最短距离，画圆柱体的侧面展开图，掌握勾股定理是解题的关键． 提优练习 1．如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是（　　） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【分析】设BC＝x，则OC＝25﹣x，再利用在Rt△OBC中 OC2+BO2＝BC2，列出方程解答即可． 【解答】解：设BC＝x m，则OC＝（25﹣x）m， 依题意知BC＝AC＝x m， 在Rt△OBC中，OC2+BO2＝BC2， 即（25﹣x）2+52＝x2， 解得x＝13， ∴BC＝13米． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是能利用勾股定理正确列出方程． 2．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（　　）cm（杯壁厚度不计）． A．14 B．18 C．20 D．25 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′F，此时点A’、F、B在同一条直线上， 则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度， ∵（cm）． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm， 故选：C． 【点评】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 3．《九章算术》记载：“今有开门去（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸．问门广几何？”题目大意是：如图，推开双门，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），双门间隙CD的距离为2寸，问门的宽度AB是多少？计算得AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OECD＝1寸， ∴AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中， AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101， ∴AB＝101寸， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 4．如图是一个长方体盒子，其长，宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【分析】把长方体沿AB边剪开，再根据勾股定理进行解答即可． 【解答】解：如图所示： 连接AB′，则AB′即为所用的最短细线长， AA′＝4+2+4+2＝12，A′B′＝AB＝9， 由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝122+92＝225， 则AB′＝15， 故选：B． 【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4等于（　　） A．20 B．18 C．16 D．14 【分析】把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积，通过三角形全等即可转化为3S△ABC，即可求出总面积． 【解答】解：连接PF，过点F作FD⊥AK于点D， ∵AB＝EB，∠ACB＝∠ENB＝90°， 而∠CBA+∠CBE＝∠EBN+∠CBE＝90°， ∴∠CBA＝∠EBN， ∴△CBA≌△NBE（AAS）， 故S4＝S△ABC； 又∵FA＝AB，∠FDA＝∠ACB＝90°， 而∠FAD+∠CAB＝∠CAB+∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠ABC， ∴△FAD≌△ABC（AAS）， 同理可证△ACT≌△FDK， ∴S2＝S△FDA＝S△ABC， 同理可证△TPF≌△KME，△AQF≌△ABC， ∴S1+S3＝S△ADF＝S△ABC， 综上所证：S1+S2+S3+S4＝3S△ABC＝318． 故A、C、D错误， 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理以及全等三角形，利用已知条件通过三角形全等进行转化是解题关键． 6．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高线为12，则△ABC的面积为 　42或150　． 【分析】已知三角形两边的长和第三边的高，未明确这个三角形为钝角还是锐角三角形，所以需分情况讨论，即∠ABC是钝角还是锐角，然后利用勾股定理求解． 【解答】解：如图（1），△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12， 在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12， 由勾股定理得，， 在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12， 由勾股定理得，， 则BC的长为BD+DC＝9+16＝25， △ABC的面积为：150； 如图（2）， 同（1）的作法相同，BC＝7， △ABC的面积为：42， 故答案为：42或150． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解决问题的关键是在直角三角形中用勾股定理求得线段的长．当已知条件中没有明确角的大小时，要注意讨论． 7．如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，CM⊥MB，经测量得到如下数据：AM＝4m，AB＝4m，∠MAD＝45°，CM：CB＝3：5，则警示牌的高CD为 　2　m． 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM＝AM＝4m，再根据勾股定理即可求得答案． 【解答】解：由题意可得：∵CM⊥MB，AM＝4m，∠MAD＝45°， ∴∠ADM＝45°＝∠MAD， ∴DM＝AM＝4m， ∴BM＝AM+AB＝4+4＝8（m）， ∵CM：CB＝3：5， ∴设CM＝3x，CB＝5x， 在RtBCM中，CM2+BM2＝BC2， ∴（3m）2+82＝（5m）2， 解得m＝2， ∴CM＝6m， 则DC＝6﹣4＝2（m）， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理的应用，属于中考常考题型． 8．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为斜边作等腰直角三角形S1、S2，以AB为边作正方形S．若S1与S2的面积和为9，则正方形S的边长等于　6　． 【分析】分别以AC，BC为边向△ABC的外部作正方形，则AC2＝4S1，BC2＝4S2，由勾股定理可得S＝4（S1+S2），进而可求解AB的长． 【解答】解：分别以AC，BC为边向△ABC的外部作正方形， 则AC2＝4S1，BC2＝4S2， 在Rt△ABC中AC2+BC2＝AB2， ∵AB2＝S， ∴S＝4S1+4S2＝4（S1+S2）， ∵S1+S2＝9， ∴S＝4×9＝36， ∴AB＝6． 故答案为6． 【点评】本题主要考查勾股定理，分别以AC，BC为边向△ABC的外部作正方形，利用勾股定理列算式时解题的关键． 9．今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A．台风中心O正以每小时40km的速度向北偏西60°的OB方向移动，经监测得知台风中心200km的范围内将会受台风影响．OA＝320km．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由．若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间． 【分析】过A作AC⊥OB于C，在Rt△AOC中，求出AC与200比较即可判断，故该城市是否会受到台风影响；以A为圆心，200km为半径画弧，交OB于D，E，由等腰三角形的性质得到CD＝CE，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出CD，进而求出DE，再根据时间＝路程÷速度即可求出结果． 【解答】解：过A作AC⊥OB于C， 在Rt△AOC中， 由题意得∠COA＝90°﹣60°＝30°，OA＝320， 则ACAO320＝160＜200， 故该城市会受到台风影响； 以A为圆心，200km为半径画弧，交OB于D，E，则AD＝AE＝200km， ∵AC⊥OB， ∴CD＝CE， 在Rt△ACD中， （km）， ∴CE＝120km， ∴DE＝240km， ∴遭受这次台风影响的时间为：240÷40＝6（小时）． 【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确作出辅助线AC，并求出AC是解决问题的关键． 10．将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE＝2公里，B到河岸的距离BF＝3公里，EF＝12公里，求将军最短需要走多远． 【分析】将此题转化为轴对称问题，作出A点关于河岸的对称点A′，根据两点之间线段最短得出BA′的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可． 【解答】解：作A点关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸与P，连接A′B′，则BB′＝2+3＝5， 则PB+PA＝PB+PA′＝BA′最短，故将军应将马赶到河边的P地点． 作FB′＝EA′，且FB′⊥CD， ∵FB′＝EA′，FB′⊥CD，BB′∥A′A， ∴四边形A′B′BA是矩形， ∴B'A'＝EF， 在Rt△BB′A′中， ， 答：将军最短需要走13公里． 【点评】此题考查了轴对称﹣﹣最短路径问题在生活中的应用，要将轴对称的性质和勾股定理灵活应用，体现了数学在解决简单生活问题时的作用． 11．长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E为边AD上一点，将△ABE沿BE折叠后得到△BEF． （1）如图1，若点E为AD的中点，延长BF交边CD于点G． ①求证：DG＝FG． ②求FG的长度． （2）如图2，若点E为边AD的一动点，连接FD，△DEF能否为直角三角形？若能，求出AE的值．若不能，请说明理由． 【分析】（1）①证明Rt△EGD≌Rt△EGF（HL）即可解决问题． ②如图1中，设DG＝GF＝x则GC＝6﹣x，在Rt△BCG中，根据BG2＝BC2+CG2，构建方程即可解决问题． （2）存在．分两种情形：①如图2中，当∠EFD＝90°时．②如图3中，当∠FED＝90°时，分别求解． 【解答】（1）①证明：如图1中，连接EG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠EDG＝90°， ∵EA＝EF＝ED，∠A＝∠EFB＝90°， ∴∠EFG＝∠EDG＝90°， ∵EG＝EG，EF＝ED， ∴Rt△EGD≌Rt△EGF（HL）， ∴GD＝GF． ②解：如图1中，设DG＝GF＝x则GC＝6﹣x， 在Rt△BCG中，∵BG2＝BC2+CG2， ∴（6+x）2＝（6﹣x）2+82， ∴x， ∴GF． （2）解：存在．如图2中，当∠EFD＝90°时，B，F，D共线，设AE＝EF＝x， 在Rt△ABD中，BD＝10， ∵BF＝BA＝6， ∴DF＝10﹣6＝4 在Rt△EFD中，∵DE2＝EF2+DF2， ∴（8﹣x）2＝x2+42， ∴x＝3， ∴AE＝3． 如图3中，当∠FED＝90°时，AE＝AB＝6． 综上所述，满足条件的AE的值为3或6． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 12．十九世纪英国赫赫有名的谜题创作者在1903年的英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题． 问题是：如图1，在一个长、宽、高分别为8m，8m，4m的长方体房间内，一只蚂蚁在右面墙的高度一半位置（即M点处），并且距离前面墙1m，苍蝇正好在左面墙高度一半的位置（即N点处），并且距离后面墙2m，蚂蚁爬到苍蝇处应该怎样爬行所走路程最短，最短路程是多少m？这只蚂蚁在长方体表面爬行的问题，引起了当时很多数学爱好者的研究与讨论，今天我们也一起来研究一下这个当时非常热门的数学问题！ [基础研究]如图2，在长、宽、高分别为a，b，c（a＞b＞c）的长方体一个顶点A处有一只蚂蚁，欲从长方体表面爬行去另一个顶点C′处吃食物，探究哪种爬行路径是最短的？ （1）观察发现：蚂蚁从A点出发，为了走出最短路线，根据两点之间线段最短的知识，并结合展开与折叠原理，一共有3种不同的爬行路线，即图3、图4、图5所示． 填空：图5是由 　左　面与 　上　面展开得到的平面图形； （填“前”、“后”、“左”、“右”、“上”、“下”） （2）推理验证：如图3，由勾股定理得，．AC′2＝（a+b）2+c2＝a2+b2+c2+2ab， 如图4，由勾股定理得，AC′2＝（b+c）2+a2＝a2+b2+c2+2bc， 如图5，AC′2＝（a+c）2+b2＝a2+b2+c2+2ac． 要使得AC′的值最小， ∵a＞b＞c ……，（请补全推理过程） ∴ab＞ac＞bc ∴选择如图 　4　情况，此时AC′2的值最小，则AC′的值最小，即这种爬行路径是最短的． [问题回归] 最后让我们再回到那道十九世纪英国报纸上发表的“蚂蚁爬行”的问题（如图1），那只蚂蚁所走的最短路程是 　13　m． 【分析】（1）将图5上面与左面展开即可得到图5． （2）根据不等式的性质进行推理，可补全过程，利用结论可完成[简单应用]，根据（2）提供的原理可解答[问题回归]． 【解答】解：（1）将图5上面与左面展开即可得到图5，故答案为：左，上． （2）推理验证 ∵a＞b＞c＞0， ∵a＞b， ∴ac＞bc， ∵b＞c， ∴ab＞ac， ∴ab＞ac＞bc． 故选图4． [问题回归] 把M、N所在点作为顶点，从房间中切出如图长方体，只能将左、上、右三面展开，得到下面展开图， ． 故答案为：13． 【点评】本题考查了平面展开—最短路径问题，良好的空间思维能力和勾股定理的灵活运用以及分类讨论思想的指导是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$