第01章 二次函数 章节测试练习卷-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第01章 二次函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知n为实数，点在二次函数的图象上．若，，则（    ） A． B． C．或 D． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 4．（九年级上·浙江杭州·期末）两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，则这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为 A． B． C． D． 5．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 6．（20-21九年级上·浙江台州·阶段练习）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 7．（21-22九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当 时，，则当 时，的取值范围为 （   ） A． B． C． D．不能确定 8．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象与轴负半轴相交，其顶点为下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2024九年级上·浙江·专题练习）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）二次函数的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为 ． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是 ． 13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）若关于的二次函数的图象过点，，其中是常数，则 ． 14．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是正方形，顶点B在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与y轴的负半轴的夹角为，则a的值是 ． 15．（2024九年级上·浙江·专题练习）直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ． 16．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是 ． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，若该函数图象的顶点坐标为． (1)求b，c的值． (2)当时，求的取值范围． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？ 19．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数的图象过不同的三点，，． (1)若二次函数的最大值为4，求a的值． (2)若，求n的取值范围． 20．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 21．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 22．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标； (2)根据图象回答：当x取何值时，？ (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数．    (1)求函数的顶点及与坐标轴交点，并在方格纸中画该函数的图象； (2)根据图象，完成下列填空： ①当时，的取值范围是______． ②当时，的取值范围______． 24．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______； (2)是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 二次函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）下列函数中，是二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A，是二次函数，故本项符合题意； B，不是二次函数，故本项不符合题意； C，不是二次函数，故本项不符合题意； D，不是二次函数，故本项不符合题意； 故选：A． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知n为实数，点在二次函数的图象上．若，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】依据题意，由二次函数为，又，从而令，则，故或，又二次函数的图象开口向下，故当时，对应的点在函数的图象上的轴上方的部分，进而可以得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，二次函数为， 又， 令，则． 或． 又二次函数的图象开口向下， 当时，对应的点在函数的图象上的轴上方的部分． ． 故选：． 3．（23-24九年级上·浙江温州·期中）将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，理解并掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．根据二次函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可获得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， 所得到抛物线解析式为：； 故选：B 4．（九年级上·浙江杭州·期末）两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为，则这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：∵两个正方形的周长和是10，如果其中一个正方形的边长为， ∴另一个正方形的边长为. ∴这两个正方形的面积的和S关于的函数关系式为. 故选D. 考点：由实际问题列函数关系式(几何问题). 5．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，不等式组的应用，设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令和，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为， ∴， 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小明错误，小亮说法正确． 故选：B． 6．（20-21九年级上·浙江台州·阶段练习）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 7．（21-22九年级上·浙江台州·期末）已知二次函数，当 时，，则当 时，的取值范围为 （   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意求得二次函数与轴的截线长，进而通过平移知识即可求解． 【详解】解：当 时，，二次项系数为 二次函数与轴有2个交点， 设与轴交于点， 令，则 即二次函数图像在轴上方的部分的“宽度”小于2， 当时，的取值范围为. 故选B 【点睛】本题考查了二次函数与轴的截线长，理解题意是解题的关键． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象与轴负半轴相交，其顶点为下列结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：如图． ①抛物线开口向上，则． 抛物线与轴交于负半轴，则， 所以，． 故①正确； ②根据抛物线与轴的一个交点是，，对称轴知，抛物线与轴的另一个交点是，，则当时，，即．故②正确； ③根据图示知，当时，，即．故③错误； ④根据图示知，对称轴，则，所以．故④正确； ⑤由图示知，抛物线的顶点为，则，所以．故⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②④⑤，共有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定． 9．（2024九年级上·浙江·专题练习）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．利用待定系数法分别求出表达式比较的大小即可． 【详解】解：设过A、B、C三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过A、B、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过A、C、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， 设过B、C、D三点的抛物线表达式为：，则有， ， 解得：， ， 的值最大为：． 故选：B． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴的交点位置可判断①②；由，及a与b的数量关系可判断③，由函数取最小值可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∵抛物线对称轴为直线， ∴ ∴ ∴，②正确 ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ，①错误 由图像得：当时 ③正确 由函数取最小值可得 ，④正确． 故答案为：C． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 11．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）二次函数的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答． 【详解】解：∵二次函数表达式为， ∴该函数的对称轴为直线， ∵图象上任意二点连线不与x轴平行， ∴或， ∵， ∴， 解得：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函数的表达式求出函数的对称轴． 12．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点的对称点为， 又∵，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小． ∴， 故答案为： 13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）若关于的二次函数的图象过点，，其中是常数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图形上点的坐标特征，二次函数的对称性，利用二次函数的对称性得到，进而得到，得到，把代入二次函数解析式计算即可求出，根据二次函数的对称性得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象过点，， ∴，关于直线对称， ∴， ∴， 把点代入得， ， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，四边形是正方形，顶点B在抛物线的图象上，若正方形的边长为，且边与y轴的负半轴的夹角为，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数、特殊三角函数、正方形的性质，正确做出辅助线，利用特殊角，应用特殊三角函数值进行求解是解题的关键．连接，过B作轴于D，则，可得，再由直角三角形的性质可得的长，进而得到点，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过B作轴于D， 则， 由题意得：， ∵， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∴在中， ∴， ∴， ∴点， 代入中，得：， ∴故答案为：． 15．（2024九年级上·浙江·专题练习）直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题，根据直线解析式可得都经过点，分别讨论直线与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线上的点坐标，进而求解，利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由，可得直线与抛物线交于点， ①直线与y轴重合满足题意，则直线与y轴交点为，如图， ， 为等腰直角三角形， ， ∴点B坐标为， 将代入得， 解得； ②直线不与y轴重合时，设直线解析式为， 令， ， 当时满足题意． ， 把代入得， ∴直线与x轴交点D坐标为，即， 作交直线于点E，过点E作轴于点F， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ∴点E坐标为． 将代入直线解析式得， 解得． ， ． 故答案为：或． 16．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程（其中）的两个解分别是和5，关于x的方程（其中）也有两个整数解，这两个整数解分别是 ． 【答案】0和4 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程．解决问题的关键是画出图象，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系． 先确定二次函数与x轴和直线的交点，画出大致图象，然后根据二次函数与的交点位置，判断两个根的大小范围即可求解． 【详解】解：由题意可知二次函数与x轴的交点分别为和， 与的交点分别为和， 设与的交点分别为和， ∵， ∴直线在x轴和直线之间， 如图所示： 由图可知，， 又，q都为整数， ∴，， 故答案为：0和4． 三．解答题：（本大题共8题，17-22题每题6分，23-24题每题8分，满分52分） 17．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数，若该函数图象的顶点坐标为． (1)求b，c的值． (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由题意可设二次函数式为，化简即可得出答案； （2）根据二次函数的性质计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵函数图象的顶点坐标为， ∴设该二次函数式为，化简得， ∴，； （2）解：由题意得，对称轴， ∵， ∴当时，，；，， 即当时，． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； (2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质和分类讨论思想， （1）函数的图象与x轴有交点，即时，可求得与x轴的交点为和，当，方程有两个相等的实数根；当，方程有两个不相等的实数根，即可证明结论； （2）函数的图象与y轴的交点，即时，求得与y轴交点的纵坐标为，当，即可满足条件． 【详解】（1）证明：当时，， 解得：，． 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当时，， ∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为， ∴当， 即时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方． 19．（2024九年级上·浙江·专题练习）已知二次函数的图象过不同的三点，，． (1)若二次函数的最大值为4，求a的值． (2)若，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数最值，分类讨论是解决本题的关键． （1）将解析式，根据条件函数有最大值4，则，当时，，则； （2）将解析式转化为，先判断不满足再分析时的情况，当时，顶点，即为顶点，则为最小值，再分析、两个点所在不同位置时的情况，最后得到的取值范围即可． 【详解】（1）解：据题得， 函数有最大值4，则， 当时，， ， （2）， ①当时，顶点，则为顶点， 为最大值，不满足， ②当时，顶点，即为顶点， 为最小值， 又， 当、都在对称轴右侧，则， 当、都在对称轴左侧，则无解， 当、在异侧时，左右，则 ， 解得； 当在左侧时，则，无解， 综上所述． 20．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中， (1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标； (2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点； (3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)见解析 (3) 【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标； （2）依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解； （3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得 ，再分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：二次函数图象经过， ， ， 抛物线为， ， 顶点坐标为； （2）证明： ∴二次函数图象与轴总有两个公共点； （3）解：对称轴直线， ∴即． ∵， ∴， ∵抛物线过， ∴，即， ∵， ∴， 解得，即 ∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． ∵， ∴， 当，解得（不合题意舍去）； 当，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 21．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）设二次函数，（，，是实数，）． (1)若，函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求，的值． (2)设函数的最大值为，函数的最小值为，若，求证：． (3)若函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，求证：． 【答案】(1)为2，为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据，对称轴，求出的值，再把点代入函数即可求出的值； （2）根据顶点坐标公式得出和，再利用得出； （3）分情况根据对称轴的位置推出结论即可． 【详解】（1）解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵函数的图象经过点， ∴， ∴； （2）∵函数的最大值为， ∴，， ∵函数的最小值为， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵函数的图象与函数的图象的两个交点分别在二、四象限，且， ①若，， 则， 即， ∵，， ∴， ②若，， 则， 即， ∵，， ∴， 综上可知，． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标公式等知识是解题的关键． 22．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为． (1)求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标； (2)根据图象回答：当x取何值时，？ (3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求的值最小时的点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把，代入，利用待定系数法求解，，再求解点的坐标即可得到答案； （2）由，可得抛物线的图像在轴的下方，结合图象可得的取值范围，从而可得答案； （3）由，关于抛物线的对称轴对称，可得与对称轴的交点满足最小，从而可得答案． 【详解】（1）把，代入， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 由， ， ∴； （2） 抛物线与轴交于，，， 抛物线的图象在轴的下方， 结合图象可得：； （3）∵，， ∴对称轴是直线， 如图，当A、B、P三点共线时，的值最小， 此时点P是对称轴与x轴的交点，即． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用轴对称的性质求解两条线段和的最小值，利用抛物线的图象解一元二次不等式，掌握以上知识是解题的关键． 23．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数．    (1)求函数的顶点及与坐标轴交点，并在方格纸中画该函数的图象； (2)根据图象，完成下列填空： ①当时，的取值范围是______． ②当时，的取值范围______． 【答案】(1)顶点坐标为，函数图像与轴的交点为，函数图像与轴的交点为，； (2)①；②． 【分析】（1）将该函数一般式化为顶点式即得出其顶点坐标，令可求得与轴的交点坐标，令，可以求得与轴的交点坐标，再用描点法画出其图象即可； （2）①求函数值为正数时的自变量的取值范围，即求图象位于的下方时，的取值范围，再结合图象即可求解；②根据图象可直接得出当时，函数值的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴函数图象的顶点坐标为． 当时，， ∴函数图像与轴的交点为， 令，则，解得或， ∴函数图像与轴的交点为，， 画出这个函数的图象如下，    （2）解：①由图象可知当时，即图象位于的下方时，的取值范围为是， 故答案为； ②由图象可知当时，函数值的取值范围是， 故答案为． 【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标，画二次函数图象，图象法解一元二次不等式．利用数形结合的思想是解题关键． 24．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空：点A的坐标为______，点 D的坐标为______，抛物线的解析式为______； (2)是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线， 点的坐标为，得，用待定系数法可求得抛物线的解析式为即可得顶点； （2）设， 可得 根据是以为斜边的直角三角形，有 即可解得或； （3）由抛物线对称轴为直线分三种情况： ①当 即 时， 随的增大而减小，可得 ②当 即 时， 时最小值为这种情况不存在最小值为；③当 时，随的增大而增大，有 ，分别解方程可得答案. 【详解】（1）解：∵对称轴为直线 ， 点的坐标为， ∴， 将代入得： ，解得 ∴抛物线的解析式为， 当 时， ， ， 故答案为：； （2）解：存在点， 使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 设， 在中，令 得 ， ∴， ∵， ，， ， 是以AC为斜边的直角三角形， ， ， 解得或 ∴或； （3）解：由抛物线对称轴为直线分三种情况： ①当 即 时，随的增大而减小， 时，取得最小值， ， 解得 (舍去)或 ， ∴此时 ； ②当 即时， 时最小值为 ， ∴这种情况不存在最小值为； ③当时， 随的增大而增大， 时， 取最小值， ， 解得(舍去)或 ； ∴此时 ， 综上所述， 或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用. 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