精品解析：河南省信阳市新县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023--2024学年度下期期末学业质量检测试卷 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若可以合并为一项，则n可以（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 54 3. 《义务教育劳动课程标准（2022年版）》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：，则这组数据的众数、平均数和中位数分别为（ ） A. B. C. D. 4. 奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”．在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示．设甲、乙的平均分依次为，，方差依次为，，在以下四个推断中，正确的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若点P（﹣1，3）在函数y＝kx的图象上，则k的值为（　　） A. ﹣3 B. 3 C. D. - 6. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A B. C. D. 8. “淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，南昌的小邦乘坐高铁从南昌到淄博吃烧烤，在距离铁轨米的处，观察他所乘坐的由南昌经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．当“和谐号”动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向，测得米，秒钟后（这时段动车的平均速度是米/秒），动车车头到达处，测得米．根据所学知识求得此时点位于点的（ ） A. 北偏西方向 B. 北偏西方向 C. 南偏东方向 D. 北偏西方向 9. 根据以下平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 10. 某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ） A. 20kg B. 25kg C. 28kg D. 30kg 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 如图，下列各曲线中表示是的函数的有______（填序号）． 13. 小明在一次“安全你我行”的主题演讲比赛中，演讲内容、演讲技能、语言表达、形象礼仪的各项得分依次是分，分，分，分，若将演讲内容、演讲技能、语言表达和形象礼仪的成绩按的比例进行计算，则他的综合得分是______． 14. 如图，两个正方形面积分别是64和49，则AC的长为_________． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G处，当△ADG为等腰三角形时，______． 三、解答题：本题共8小题，共75分 16. 计算 （1）；（2） 17. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分统计图（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 m n 7 乙 7.9 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________，比较大小：__________（填“>”“=”或“<”）； （2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由； （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可） 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长． 19. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______ （3）证明你的猜想． 20. 如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标． 21. 如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的一点，BE=DF． （1）求证：AE=CF． （2）若，求∠B的度数． 22. 共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）说出图中函数的图象交点表示的实际意义； （2）求关于的函数解析式； （3）如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为那么小明选择______品牌共享电动车更省钱？（填“”或“”） 23. 课题学习：用函数模型解几何题． （1）方法体会：如图①，在正方形和正方形中，点在上，，是与的交点，那么的长是多少？解：以点为坐标原点，以所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图②．由题意可知点的坐标为，点的坐标为，则直线的解析式为______；请同学们根据点是与的交点，求出点的坐标为______；进而求得的长为______． （2）解决问题：如图③，在正方形中，对角线相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，作，且，连接，点为的中点．连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023--2024学年度下期期末学业质量检测试卷 八年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握其运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘法法则即可求解． 【详解】解：， ∴只有A正确，符合题意，B、C、D错误，不符合题意； 故选：A ． 2. 若可以合并为一项，则n可以是（ ） A. 9 B. 18 C. 27 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式进行逐项分析即可． 【详解】解：∵可以合并为一项， ∴与是同类二次根式， 当n=9时，； 当n=18时，； 当n=27时，； 当n=54时，． 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义，解题关键是理解能够合并成一项，即化简后它们的被开方数相同． 3. 《义务教育劳动课程标准（2022年版）》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：，则这组数据的众数、平均数和中位数分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的众数、平均数和中位数，理解这些概念是关键；根据众数的概念：出现次数最多的数为众数，则可求得众数；利用平均数的计算公式即可求得平均数；把7个数据按大小排列后中间第4个数就是中位数，从而求得中位数． 【详解】解：由数据知，3出现的次数最多，故众数为3； 平均数：； 把这组数据按从小到大排列，3，3，3，4，4，5，6，最中间的数是4，即中位数为4． 故选：A． 4. 奥运会的跳水项目是优美的水上运动，中国跳水队被称为“梦之队”．在一次女子单人10米台跳水比赛中，甲、乙两名选手五轮得分的折线统计图如图所示．设甲、乙的平均分依次为，，方差依次为，，在以下四个推断中，正确的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，平均数和方差的意义，灵活运用所学知识是解题的关键．根据甲选手波动小可得；根据统计图可知甲选手的总成绩高，可得，由此即可得到答案． 【详解】解：由统计图可知，甲选手的成绩波动比乙选手的成绩波动小， ∴； 由统计图可知，甲选手在第二轮，第四轮的成绩比乙选手高，在第一轮和第三轮的成绩比乙选手低，在第五轮的成绩和乙选手相同，并且甲选手第二轮和第四轮比乙选手高出的成绩大于第一轮和第三轮比乙小的成绩， ∴甲选手五轮的总成绩大于乙选手五轮的总成绩， ∴甲选手的平均数比乙选手的高， ∴， 故选B． 5. 若点P（﹣1，3）在函数y＝kx的图象上，则k的值为（　　） A. ﹣3 B. 3 C. D. - 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法即可解决问题． 【详解】∵点P（﹣1，3）在函数y＝kx的图象上， ∴3＝﹣k， ∴k＝﹣3， 故选：A． 【点睛】本题考查正比例函数图象上的点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 6. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案. 【详解】由作法过程可知，OA=2，AB=3， ∵∠OAB=90°， ∴OB=， ∴P点所表示的数就是， ∵， ∴， 即点P所表示的数介于3和4之间， 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键. 7. 如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D．∵，， ∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意； 故选：D． 8. “淄博烧烤”火了，许多游客纷纷从外地来到淄博吃烧烤．如图，南昌的小邦乘坐高铁从南昌到淄博吃烧烤，在距离铁轨米的处，观察他所乘坐的由南昌经过淄博开往青岛的“和谐号”动车．当“和谐号”动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向，测得米，秒钟后（这时段动车的平均速度是米/秒），动车车头到达处，测得米．根据所学知识求得此时点位于点的（ ） A. 北偏西方向 B. 北偏西方向 C. 南偏东方向 D. 北偏西方向 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方位角，含30度角的直角三角形的性质，根据题意，延长交于点，可得，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∴，米， ∵米， ∴在中，， ∴， ∴， ∴点位于点北偏西方向， 故选：D ． 9. 根据以下平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定解答即可． 【详解】解：A．平行四边形的一个角为，则另一个相邻角为，不是菱形，该选项不符合题意； B．平行四边形的一条边为6，对角线为12，其一半为6，故不是菱形，不符合题意； C．平行四边形一条边为10，对角线为16和12，其一半分别分为8，6，满足勾股定理的逆定理：，所以对角线相互垂直，故是菱形，符合题意； D．由图可知，故对角线不垂直，所以不是菱形，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据菱形的判定方法解答． 10. 某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ） A. 20kg B. 25kg C. 28kg D. 30kg 【答案】A 【解析】 【分析】根据图中数据，用待定系数法求出直线解析式，然后求y=0时，x对应的值即可． 【详解】设y与x的函数关系式为y=kx+b， 由题意可知，所以k=30，b=﹣600，所以函数关系式为y=30x﹣600， 当y=0时，即30x﹣600=0，所以x=20．故选A． 【点睛】本题考查的是与一次函数图象结合用一次函数解决实际问题，本题关键是理解一次函数图象的意义以及与实际问题的结合． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 11. 要使有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 12. 如图，下列各曲线中表示是的函数的有______（填序号）． 【答案】（1） 【解析】 【分析】本题考查了函数的概念，根据“在某个变化过程中，如果两个变量和之间存在这样的关系，即对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么就称是的函数，称为自变量”即可求解． 【详解】解：根据函数的定义，自变量任意取一个值，函数都有唯一值对应， ∴是的函数的是（1）， 故答案为：（1） ． 13. 小明在一次“安全你我行”的主题演讲比赛中，演讲内容、演讲技能、语言表达、形象礼仪的各项得分依次是分，分，分，分，若将演讲内容、演讲技能、语言表达和形象礼仪的成绩按的比例进行计算，则他的综合得分是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算方法，根据加权平均数的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，， 故答案为： ． 14. 如图，两个正方形的面积分别是64和49，则AC的长为_________． 【答案】17 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出AB、BD、DC的长，再根据勾股定理求出AC的长． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别是64和49， ∴AB＝BD＝8，DC＝7， 根据勾股定理得：AC＝． 故答案为:17. 【点睛】本题主要考查正方形的性质和勾股定理,解决本题的关键是要熟练掌握正方形的性质和勾股定理. 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，，点E、F分别是AB和CD的中点，H为BC上的一点，现将△ABH沿AH折叠，使点B落在直线EF上的点G处，当△ADG为等腰三角形时，______． 【答案】3或或 【解析】 【分析】如图（见解析），分类考虑为等腰三角形：①当时，利用矩形性质可得，根据折叠性质可得，结合勾股定理可求，再利用等腰三角形的三线合一即可得；②当时，利用折叠性质可得，由此即可得；③当时； 由勾股定理可得，设，则，在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 在矩形中，，点分别是的中点， 四边形为矩形，，， ，， 四边形为矩形， ， 由折叠的性质得：， ， 由题意，分以下三种情况： ①当时，为等腰三角形， （等腰三角形三线合一）； ②当时，为等腰三角形， ； ③当时，为等腰三角形， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； 综上，或或， 故答案为：3或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形、矩形与折叠问题，勾股定理等知识点，熟练掌握矩形与折叠的性质，并正确分三种情况讨论是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分 16. 计算 （1）；（2） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类二次根式解题即可． 【详解】（1）； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化、平方差公式、完全平方公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 17. 快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分10分）： 甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9． ②服务质量得分统计图（满分10分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.9 m n 7 乙 7.9 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________，比较大小：__________（填“>”“=”或“<”）； （2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由； （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可） 【答案】（1）8，9，＜ （2）小刘应选择甲公司，理由见解析 （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数和方差的概念即可解答； （2）综合分析表中的统计量，即可解答； （3）根据已有的数据，合理提出建议即可，答案不唯一． 本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10， 从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为，即， 其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即， 从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于， 从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定， 即； 故答案为：8，9，． 【小问2详解】 解：小刘应选择甲公司，理由如下： 配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好， 服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司． 【小问3详解】 解：∵根据题干可知，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势， ∴除了配送速度和服务质量，还应该收集两家公司的收费情况和投递范围（答案不唯一）． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据网格的特点，作图的性质可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 19. 小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：______（填写运算结果）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______ （3）证明你的猜想． 【答案】（1） （2） （3）证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查数的变化规律，二次根式的性质，掌握二次根式的性质化简是解题的关键． （1）根据材料提示的二次根式的计算方法进行计算即可求解； （2）根据（1）中计算的结果进行推测即可； （3）运用二次根式的性质进行化简计算即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据上述计算可得，， 故答案为：（为正整数）； 【小问3详解】 证明： 左边， ∵为正整数， ∴左边右边， ∴． 20. 如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标． 【答案】（1）直线AB的解析式为y=2x﹣2； （2）点C的坐标是（2，2）． 【解析】 【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式； （2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标． 【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b， ∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2）， ∴， 解得． ∴直线AB的解析式为y=2x﹣2． （2）设点C的坐标为（x，y）， ∵S△BOC=2， ∴•2•x=2， 解得x=2． ∴y=2×2﹣2=2． ∴点C的坐标是（2，2）． 21. 如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的一点，BE=DF． （1）求证：AE=CF． （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB=CD，∠B=∠D，根据全等三角形的判定推出即可； （2）根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质∠B+∠BCD=180°，代入求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF， ∴AE=CF； 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠BCD=180°， 又∵∠BCD=2∠B， ∴∠B=60°． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定，平行四边形的性质的应用，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角相等． 22. 共享电动车是一种新理念下的交通工具；主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的对应关系，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）说出图中函数的图象交点表示的实际意义； （2）求关于的函数解析式； （3）如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为那么小明选择______品牌共享电动车更省钱？（填“”或“”） 【答案】（1）点表示的意义是：当时间为时，两种品牌的共享电动车的收费一样 （2），， （3）B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质与运用，理解图象，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据图示信息，一次函数交点的意义即可求解； （2）根据题意，可得点，，运用待定系数法即可求解； （3）先计算出所需的时间，把时间代入（2）中的解析式即可求解． 【小问1详解】 解：根据图示，点表示的意义是：当时间为时，两种品牌的共享电动车的收费一样； 【小问2详解】 解：根据题意，，， 设， ∴， 解得，， ∴， 设， 当时，， 当时，， 解得，，则， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴， 当选择A品牌时，（元）； 当选择B品牌时， ∵， ∴（元）； ∵， ∴选择B品牌共享电动车更省钱， 故答案为：B． 23 课题学习：用函数模型解几何题． （1）方法体会：如图①，在正方形和正方形中，点在上，，是与的交点，那么的长是多少？解：以点为坐标原点，以所在直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，如图②．由题意可知点的坐标为，点的坐标为，则直线的解析式为______；请同学们根据点是与的交点，求出点的坐标为______；进而求得的长为______． （2）解决问题：如图③，在正方形中，对角线相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，作，且，连接，点为的中点．连接，求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，平面直角坐标系特点可得点的坐标为，点的坐标为，运用待定系数法可求出解析式，当时，可得，在中，运用勾股定理可得的值； （2）如图所示，以点为坐标原点，以过点，平行于的直线为轴，以平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，过点作于点，过点作延长线于点，设正方形的边长为，可得，运用待定系数法可求出直线的解析式，当时，求出点的坐标，根据两点之间距离公式可得，根据题意可证，可得点的坐标，由此可得，求出的值，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形，四边形都是正方形， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为, ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， 在中，， 故答案：，，； 【小问2详解】 解：如图所示，以点为坐标原点，以过点，平行于的直线为轴，以平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，过点作于点，过点作延长线于点，设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点是OD的中点， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，且， ∵点为的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，平面直角坐标系的特点，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，两点之间距离公式的计算，中点坐标的计算方法等知识的综合，掌握正方形的性质，平面直角坐标系的特点，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$