第1章 二次函数（单元测试·培优卷）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第1章 二次函数（单元测试·培优卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 2．已知二次函数的解析式为，下列关于函数图象的说法正确的是（   ） A．对称轴是直线 B．图象经过原点 C．开口向上 D．图象有最低点 3．已知二次函数，当时，；当时，．若点，在该二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，其顶点在轴上，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．函数的最大值和最小值分别为（   ） A．4和 B．5和 C．5和 D．和4 6．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应取值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 15 5 … 点，点均在函数图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，且．若将此抛物线先向左平移5个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为4，则 n的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形恰有三个公共点时，则b的值是（　　） A．-1或-3 B．1或 C．1或3 D．3或 9．如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 10．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为 ． 12．在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为 ． 13．如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为 ． 15．如图，二次函数的图象与轴交于点，点是点关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数的图象经过该二次函数图象上点及点，则关于的方程的解是 ． 16．某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点E）到的距离为0.5米，米，米，则点C到的距离为 米． 17．如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，点P在抛物线对称轴上，且在点B下方，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，直线与抛物线交于点C，则点C的坐标为 ． 18．如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接并延长交y轴于点B，过点P作轴，垂足为H．则的最大值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）19．已知函数与的交点为，（在的右边）． (1)求点、点的坐标． (2)求的面积． 20．（8分）已知抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点、点两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式 (2)M是抛物线上的点且在第二象限，连接，，，求面积的最大值． 21．（10分）小莹妈妈的花卉超市以元盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近，，，，五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元盆） 日销售量（盆） 模型建立：（1）请将以上调查数据在草稿纸上按照一定顺序重新整理，分析数据的变化规律，请求出日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系； 模型应用：（2）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，每盆售价不低于成本，每盆利润率不高于，当每盆售价定为多少时，每天能够获得最大利润，最大利润是多少元？ 22．（10分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，连接、．点P为抛物线上的一个动点（与点A、B、C不重合），设点P的横坐标为m，的面积为S． (1)求此二次函数的表达式； (2)当点P在第一象限内时，求S关于m的函数表达式； (3)若点P在x轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由． 23．（10分）如图，抛物线过x轴上点、点，过y轴上点，点是抛物线上的一个动点． (1)求该二次函数的表达式； (2)求四边形面积的最大值； (3)当点P的横坐标m满足时，过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，求使为等腰直角三角形的点P的坐标． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． (3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D C D B B C D 1．D 【分析】本题考查二次函数的定义，求参数，根据二次函数的定义得出关于m的不等式和方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，函数图象有最高点，当时，，即图象过原点． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据对称轴判断，再进一步解答即可． 【详解】解：∵二次函数，当时，；当时，．点在该二次函数的图象上， ∴， ∴， 而，， ∴，， ∴， ∵点，在该二次函数的图象上， ∴； 故选B 4．D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由对称轴为直线，从而可得，，即可得出，把的坐标代入即可求得的值，表示出的值是解题的关键． 【详解】解：∵点和点均在二次函数图象上， ∴对称轴是直线． ∴． ∵二次函数的顶点在轴上， ∴． ∴． ∴． ∴． 把的坐标代入得，． 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据函数求出对称轴，根据二次函数的性质进行计算即可． 【详解】解：中， 对称轴， 故在对称轴处求出最小值，当时，， 当时，， 时，， 故选C． 6．D 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，求出二次函数解析式和对称轴是解题的关键． 先用待定系数法求出二次函数解析式为，从而求得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，开口上，再根据抛物线的性质求解即可． 【详解】解：把，，分别代入，得 ，解得：， ∴ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵ ∴抛物线的开口向上， ∴当时，y随x增大而增大， ∵，点，且， ∴，即． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了抛物线与x轴交点问题及抛物线的平移、一元二次方程根于系数的关系，熟练掌握相关性质是解题关键． 设两根为，根据得到，由题意得出当时，抛物线上两点之间距离为4，得，解方程求出即可． 【详解】解：抛物线，当时， 设两根为， 则， ， ， ， ， 此抛物线先向左平移5个单位，再向下平移n个单位，所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为4， 即当时，抛物线上两点之间距离为4， 设两根为， 则， ， ， ， ， ， 解得：． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查二次函数的综合应用，根据题意，得到当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点，当直线与抛物线的翻折的部分只有一个交点时，满足题意，进行求解即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴， ∵翻折， ∴翻折部分的解析式为：； 当直线过点时，直线（b为常数）与图形恰有三个公共点， 把代入，得：； 当直线与只有一个交点时，满足题意， 令， 整理，得：， 则：， 解得：； 综上：或； 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 10．D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，关键是掌握二次函数的性质． 根据题意，由图象可得，，，又，从而，故而可以判断①②；又由图象知，其对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为，故另外一个交点是，当时，，进而可得，故而可以判断③；结合二次函数 与轴有两个不同交点，故关于的一元二次方程有两个不相等的实根，最后可判断④． 【详解】①由图可知：，，， ∴， ∴，故①正确； ②由题意可知：， ∴， ∴，故②正确； ③对称轴为直线， 且与轴一个交点坐标为， ∴与轴的另一个交点坐标为， 将代入， 可得，故③正确； ④图象与轴有两个交点， ∴有两个不相同的解， ∴，故④正确； ∴正确结论的个数是4个． 故选：D． 11． 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， ∴将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解：， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题．解题的关键将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴抛物线与没有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可知，，，由题意得出，，等量代换求出，然后结合点A在第二象限可得答案． 【详解】解：∵以A为顶点的抛物线经过原点， ∴，， ∵点B在x轴负半轴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 15．， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，熟练掌握并理解函数图象的交点与方程的解的意义是关键．依据题意，当时，，从而点，又由抛物线为，可得对称轴，进而可得的坐标，再由方程的解可以看作与交点的横坐标，最后结合、的坐标可以判断得解． 【详解】解：由题意，当时，， ∴点． 又由抛物线为， ∴对称轴是直线， ∵点是点关于该二次函数图象的对称轴对称的点， ∴， ∵方程的解可以看作与交点的横坐标，，， ∴方程的解是，． 故答案为：， 16． 【分析】本题考查二次函数的应用，建立如图所示平面直角坐标系，由待定系数法求函数解析式即可求解． 【详解】解：以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵最高点的五角星（点 E）到的距离为0.5米， ∴，代入解析式得， ∴， ∵， ∴， 设，代入解析式得， ， ∴，即点C到的距离为米， 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，图形的旋转问题，全等三角形的判定和性质．过作轴于，过作于．则，证明，可得，，设，则， 可得，再求出直线的解析式，然后联立两函数解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于，过作于．则， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴． ，， ， ，抛物线的对称轴为直线， ∴， 令，， ∴， 设，则， ， 设直线的解析式为， ，解得： ∴直线的解析式为． 令， ， ，， ． 故答案为： 18． 【分析】先求出点A的坐标，然后设，求直线解析式，得到点B的坐标，从而得到，即可求得，所以，最后根据二次函数的性质，即可求得答案． 【详解】由于与x轴正半轴交于点A， 则时，， 解得，或， 故， 点P是抛物线在第一象限部分上的一动点， 设， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数与坐标轴的交点，求一次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．(1)， (2)6 【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）根据题意得到，再利用即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 解得：或 在的右边 交点，的坐标分别为，； （2）解：直线与轴交于点 当时，，即点坐标为 又， 点，到的距离分别为3，1 20．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于点，如图，设 ，则，所以，再根据三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）把、、代入得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）设直线的解析式为把 分别代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴交于点，如图，设，则， ， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 21．（）日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系为一次函数的关系式为；（）当每盆售价定为元时，每天能够获得最大利润，最大利润是元 【分析】（）按照售价从小到大的顺序进行排列后，得到日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系为一次函数的关系式，然后用待定系数法即可求解； （）设每天的利润为，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可； 考查一元二次方程和二次函数的实际应用，从表格中有效的获取信息，正确列出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：（）按照售价从低到高排列列出表格如下： 售价（元盆） 日销售量（盆） 根据表格可知：日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系为一次函数的关系式， 设日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系为一次函数的关系式为， ∴，解得， ∴日销售量（盆）与售价（元盆）间的关系为一次函数的关系式为； （）设每天的利润为， 则， ∴， ∵每盆售价不低于成本，每盆利润率不高于， ∴，即， 则当时，每天能够获得最大利润，最大利润为（元）， 答：当每盆售价定为元时，每天能够获得最大利润，最大利润是元． 22．(1) (2) (3)能；或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于N，作轴于M，连接、，当点P在第一象限时，则)，又因为，，由求解即可； （3）当P在第一象限时，当P在第二象限，分别求解即可； 【详解】（1）解：把、代入二次函数，得 ， 解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴于N，作轴于M，连接、， ， 当点P在第一象限时， ∵点的横坐标为， ∴， 对于二次函数，令，则， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：当P在第一象限时，若， 则， 解得：， ∴P点坐标为， 当P在第二象限，即时，过O作直线交抛物线于点， 设直线的解析式为，把，代入，得 ，解得：， ∴直线的表达式为， 所以直线l的表达式为， 联立方程组方程组， 解得：（舍去），， ∴点P坐标为 综上，P的坐标为或． 【点拨】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，三角形面积，等定系数法求一次函数的式，一次函数图象平称等知识，（3）问要注意分类讨论． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）求出直线的表达式为，过点P作轴，交BC于点E，交x轴于点Q，可知，故，根据二次函数性质可得答案； （3）求出抛物线对称轴为直线，故当点P的横坐标m满足时，点P在对称轴右侧，可得，即可得，解方程并检验可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． 将，代入， 得，解得， ∴二次函数的表达式为； （2）设直线的表达式为，将，代入， 可得，解得， ∴直线的表达式为． 如图，过点P作轴，交BC于点E，交x轴于点Q． ∵，则， ∴点E的横坐标也为m，则纵坐标为， ∴． 四边形的面积 ． ∵， ∴当时，四边形的面积最大，为； （3）当点P的横坐标m满足时，此时点P在对称轴右侧，如图， ， ∴抛物线对称轴为直线， 当点P的横坐标m满足时，点P在对称轴右侧， ∴， 同（2）知， 当时，为等腰直角三角形，即． 整理，得，解得或（不符合题意，舍去）， 此时，，即点． 所以当点P的坐标为时，为等腰直角三角形． 【点拨】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是用含m的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 24．(1) (2) (3)最大值为， 【分析】利用待定系数法求解即可； 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，结合轴对称的性质得此时的周长最小，得点，结合抛物线解析式求得点H，利用待定系数法求得的解析式为，令即可求得点G； 结合题意可得是等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设与交于点C，则和是等腰直角三角形，则有，设，则，即可求得和，利用二次函数的性质即可求得的最大值，即此时的点P． 【详解】（1）解：根据题得，，解得， 则抛物线的解析式为； （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，此时的周长最小，如下图： 则， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， 设的直线解析式为，则，解得 则的解析式为， 当时，，解得， ∴； （3）∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设与交于点C，如图， ∵轴于点N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ∵， ∴当时，的最大值为，此时． 【点拨】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，轴对称的性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质及其上对应点的几何意义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$