第1章 二次函数（单元测试·基础卷）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第1章 二次函数（单元测试·基础卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．二次函数的图像过点，方程的解为（　　） A． B． C． D． 4．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   5．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（      ） A． B． C． D． 6．已知垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，则的值（   ） A． B． C． D． 7．坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 9．坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为(　　) A．17 B．19 C．21 D．24 10．如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是（　　） A．﹣2≤h≤ B．﹣2≤h≤1 C．﹣1≤h≤ D．﹣1≤h≤ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．已知函数，当 时，它是二次函数． 12．已知抛物线，当 时，随的增大而增大． 13．二次函数的顶点形式是，请你写出一个以直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上的抛物线对应的二次函数解析式的顶点形式 ． 14．抛物线的顶点D在直线上运动，顶点运动时抛物线也随之运动，抛物线与直线相交于点Q，则点Q纵坐标的最大值为 ． 15．已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 16．已知抛物线经过点，点和点，现将该抛物线向右平移m个单位后与直线有且只有一个交点，则 ． 17．如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离 米．    18．如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 20．（8分）如图，抛物线的顶点坐标为，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于点A，B两点，请回答下列问题． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在y轴上，且，求线段的长． 21．（10分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的函数关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交于点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ 22．（10分）问题背景：某商场代理销售某种家用净水器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． (1)设售价降低元，请用含的代数式表示月销售量（台）与每月所获得的利润（元）． (2)当售价定为多少元时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润（元）最大，最大利润是多少？ 23．（10分）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接． (1)求的长； (2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式． 24．（12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知，． (1)求抛物线的表达式； (2)求的面积； (3)线段上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式的顶点坐标是，求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练将二次函数的一般式配方成顶点式解题的关键． 配方成顶点式即可得． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系。二次函数的对称轴为直线，二次函数与x轴的两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个根．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标， 所以方程的解为：． 故选：B． 4．D 【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧， 故选：D． 5．D 【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解． 【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为， 此抛物线与轴的两个交点坐标为，， 则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键． 6．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求出抛物线关于直线对称，即可作答． 【详解】∵， ∴抛物线关于对称， ∵垂直于轴的直线与抛物线交于，两点， ∴， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同 ，，， ， 又 ． 故选：B． 8．D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，利用对称性，增减性和二次函数与一元二次方程的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线交轴于，， ∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确； 一元二次方程的两个根分别是1和3，故C选项正确； 由图象可知：当时，随的增大而减小，故B选项正确； 当时，或，故D选项错误； 故选D． 9．C 【分析】根据对称轴，结合即可求解． 【详解】解：设对称轴与交于点． . ， ． 对称轴，．， ：：． ：：：： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数关于对称轴对称，结合图形，找到线段的长度是解题的关键． 10．A 【分析】联立y＝x+2与直线y=x，得到点 ，再由抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．可得 ，从而得到抛物线解析式为 ，根据题意可得抛物线过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，然后把点C、B的坐标代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：把y＝x+2与直线y=x联立得： ，解得：， ∴点 ， 根据题意得抛物线的顶点坐标为 ， 把代入直线y=x，得： ， ∴抛物线解析式为 ， 如图，当抛物线经过点C时， 把点 代入得： ，解得： 或（舍去）， 如图，当抛物线经过点B时， 将点代入得： ，解得： 或（舍去）， 综上所述，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，h的取值范围是 ． 故选：A 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与形的边AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键． 11．1 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，且， 解得或，且， ∴． 故答案为：1． 12． 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 直接根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：． 13．（答案不唯一） 【分析】先写出顶点式的顶点坐标，再结合题意根据二次函数的性质确定答案即可． 【详解】解：的顶点坐标为， 直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上， ， （答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式顶点式及二次根式的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 14． 【分析】根据题意可设点D的坐标为，可得抛物线的解析式为，再把代入，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意可设点D的坐标为， ∴抛物线的解析式为， 把代入得：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， 即点Q纵坐标的最大值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．5 【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【详解】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值，且， 则当时，， 当时，， ∴在中，函数的最大值为， 故答案为：． 16． 【分析】根据A，B坐标得到对称轴，可得b，根据点C坐标得到c，可得抛物线表达式，可得n值，根据平移得到新的抛物线表达式，根据与直线y=-x+1只有一个交点得到一元二次方程，根据△=0可得m，相加可得结果． 【详解】解：∵抛物线经过A（-2，n），B（4，n）， ∴对称轴为直线x=， ∴b=2，又C（0，-3）， ∴c=-3， ∴， 将A（-2，n）代入， 得， 将抛物线向右平移m个单位后得：， ∵与直线有且只有一个交点， ∴， 化简得：， ∴， 解得：m=， ∴n+m=5+=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数图像的平移，二次函数与一元二次方程的关系，属于基本知识，解题的关键是根据平移得到新的抛物线表达式． 17．11 【分析】求出抛物线与x轴的交点A的坐标即可解答． 【详解】解：对于，令，则， 解得：，（舍）， ∴， ∴米． 故答案为：11． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．求出抛物线与x轴的交点A的坐标是解题关键． 18．③ 【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①不正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，解出方程，故④不正确． 【详解】根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①不正确； 将点，代入得出：， 得出：， ∴， 再代入得出：，故②不正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 根据图象可知：，故③正确； ∵方程， ∴， ∴ ∴故④不正确； 故填③． 19．（1），M (1，-2)；（2） 【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 【详解】解  （1）∵抛物线过点A(2，0)， ，解得， ， , ∴顶点M的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A(2，0)，M (1，-2)， ，解得， ∴直线AM的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20．(1) (2)1或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和勾股定理的应用，求得顶点坐标是本题的关键． （1）用待定数法求二次函数的解析式即可． （2）先求出A，B两点之间的坐标，即可求出，根据求出点P的坐标，再根据两点之间的距离求出的长即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）令，则， 解得， ∴，， ∴， ∴． ①当时， ②当时， 综上：的长为1或． 21．(1) (2)当点的坐标为时，有最大值，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）利用待定系数法求出的解析式，设，则，根据两点之间的距离公式可得出，最后利用二次函数的性质即可求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过、两点，且， ，， 将其分别代入抛物线解析式，得， 解得． 故此抛物线的函数关系式为：； （2）设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，， 把代入抛物线，得点的坐标为， 当点的坐标为时，有最大值，最大值为 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数的解析式，以及两点之间的距离公式，掌握二次函数的性质是解题的关系． 22．(1)； (2)售价为330元时，利润最大为71500元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，求出函数解析式． （1）根据当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，用含的代数式表示月销售量即可；根据月销售利润每个的利润月销售量即可得出w与x的函数解析式； （2）根据这种净水器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务，列出不等式组，然后解不等式组得出x的取值范围，再根据二次函数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ； （2）解：由题意得，， 解得：， ， ∵，二次函数的对称轴为直线， ∴当时，， （元）， 答：售价为330元时，利润最大为71500元． 23．(1)5 (2)抛物线的表达式为或或 【分析】本题主要考查了用待定系数法求出二次函数解析式，利用勾股定理求出两点之间的距离．以及二次函数平移的性质，注意分类讨论当抛物线沿x轴平移和当抛物线沿y轴平移是解题的关键． （1）用待定系数法求出二次函数解析式，再求出点P的坐标，利用勾股定理求出A，P两点之间的距离． （2）根据题意分两种情况，当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，利用已知条件可得出抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式，当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，利用已知条件可得出抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式， 【详解】（1）解：将、代入中， 得 解得 抛物线L的表达式为． 顶点． 过点P作轴于点D，则， ，，， ，， ． （2）由题意知，四边形是面积为12的平行四边形， 当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上， 由于，即要使的面积为12，只需， 点P'在y轴左侧， 抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线， 此时，抛物线L'的表达式为； 当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上， 由于，要使的面积为12，只需， 抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线， 此时，抛物线L'的表达式为或． 综上，抛物线L'的表达式为或或． 24．(1)； (2) (3)2． 【分析】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的解析式和二次函数的最值问题，求得解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）分别求得、，然后利用三角形面积计算公式解答即可； （3）根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直线的解析式，设；则，进而表示出的长度，利用二次函数的最值求出即可． 【详解】（1）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，． ∴， 解得：， 故抛物线解析式为：； （2）∵，， ∴，， ∵对称轴为  ， ∴ ，， ∴， ∴， ∴； （3）令，则， 解得，， ∴， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， 则， 此时的最大值为2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$