4.2.2（1） 等差数列的前n项和公式课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式（1） 1 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式. 3.利用等差数列前n项和公式判断等差数列 学习目标 情境导入 高斯(1777-1855）德国著名数学家、物理学家、天文学家、几何学家，大地测量学家。 1796年，高斯证明了可以尺规作正十七边形。高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉。 问题1　计算1+2+3+……+99+100的值. 情境导入 问题1　计算1+2+3+……+99+100的值. S100=1+2+3+……+99+100 =（1+100）+（2+99）+……+（50+51） =101+101+……+101 =5050 追问1：为什么1+100=2+99=……=50+51呢？ 这是巧合吗？试着数列角度给出解释. 情境导入 问题2　计算1+2+3+……+n Sn=1+2+3+……+n =（1+n）+（1+n）+……+（ 1+n ） = 需要对项数的奇偶进行分类讨论. 当n为偶数时， 情境导入 问题2　计算1+2+3+……+n Sn=1+2+3+……+n =（1+2+3+……+n-1）+n = Sn -1+n = +n = 需要对项数的奇偶进行分类讨论. 当n为奇数时， 当n为偶数时， Sn= 对于任意正整数n，都有1+2+3+……+n= 不分类讨论能不能得到最终的结论呢？ Sn= 1 + 2 + 3 + …… + (n-2) + (n-1) + n Sn= n + (n-1) + (n-2) + …… + 3 + 2 + 1 两式相加2Sn= （1+n）+（2+n-1）+……+（ n+1 ） =（1+n）+（1+n）+……+（ 1+n ） = Sn= 倒序相加法 Sn=1+2+3+……+n 2Sn= ，即Sn= 问题3　“倒序相加法”能否用于求等差数列{an}的前n项和Sn呢？ Sn= a1 + a2 + a3 + …… + an-2 + an-1 + an Sn= an + an-1 + an-2 + …… + a3 + a2 + a1 两式相加 2Sn=（a1 + an）+（a2 +an-1）+……+（ an-1 + a2 ）+ （ an + a1 ） ∵a1 + an=a2 +an-1=……=an-1 + a2 =an + a1 ∴2Sn =n（a1 + an） Sn= 倒序相加法 等差数列的前n项和公式 Sn= 追问 你能用文字语言表述这个公式吗？ 等差数列的前n项和公式 Sn= 功能1 已知，求Sn 练习 已知等差数列 =101，求Sn 功能2 已知、 Sn 变形 等式左右同除n，得 = （前n项的平均数=首项与第n项的平均数） 等差数列的前n项和公式 Sn= 追问 能不能用和d来表示Sn呢？ Sn= 功能1 已知，求Sn 功能2 n、 Sn 练习 已知等差数列 =- 、Sn=-5 ，求n. 例1 n、 Sn (1)已知d=-a1＝，Sn＝-15，求n和an； (2)已知a1＝，an=-512，Sn＝-1022，求d； (3)已知a11＝-，求S21； (4)已知S2＝4，S4＝20，求d； (5)已知a1+ a2+ a3=-24，a18+ a19+ a20=78，求S20 ； 反思感悟　等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题. (2)结合等差数列的性质： 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝ 结合使用. 练习 在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝999，则d＝________，项数n＝________. 27 追问 等差数列前n项和Sn＝na1＋ d是关于n的函数，它可以写成什么形式？ 追问 可以通过数列前n项和公式判断数列是否是等差数列吗？或者说，数列前n项和什么形式时能判断数列为等差数列？ {an}为等差数列{an}的前n项和Sn＝An2+Bn 例2　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由. 解　当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5， 经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5. 数列{an}是等差数列. {an}的前n项和Sn＝An2+Bn{an}为等差数列 例题 已知 310 ， 等差数列的前n项和公式 等差数列的通项公式 an= Sn= Sn = 本课小结： 等差数列的前n项和公式 等差数列的通项公式 倒序求和→ an= Sn= Sn = 基本量法 （转化和化归）  na1＋d   解析　由等差数列的通项公式和前n项和公式得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(54＝20＋（n－1）d，,999＝\f(n（20＋54）,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝27，,d＝\f(17,13).)) Sn＝n2＋n.  na1＋d  na1＋d $$