精品解析：浙江省台州市黄岩区文渊学校2023-2024学年九年级下学期开学阶段性检测数学试题

九年级阶段性检测 数学试题卷 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选，错选，均不得分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花路春，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别，，且四个种花区域的面积相同，均为，设原正方形空地的边长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 8. 某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了图中的表格，由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（ ） …… 1 2 …… …… …… A. B. C. 0 D. 9. 如图是小红用圆规设计的图案，其中心是一个大圆，外围由若干个全等的半圆弧组成．设这个图案的外围周长为，中心大圆周长为，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，曲线由抛物线与组成，其中两条抛物线交点的横坐标为3，过点作直线轴，当时，直线与曲线至少存在两个交点，则的最小值（ ） A. 9 B. 6 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径是______________． 13. 口袋里有三个红球一个白球，随机摸出一个球结果是红球的概率是_______． 14. 如图， 点A， B， C均在上， 且，若的度数为，的度数为， 则________． 15. 若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则W______0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写） 16. 如图，、、均为等边三角形，边在圆的直径上，点F恰好落在圆上，且．①若，则的边长为______；②若、D、F三点恰好在同一条线上，则的值为______． 三、解答题（本题有8小题， 第17~18题每题6分，第19~20题每题8分，第21~22题每题10分，第23~24题每题12分， 共72分） 17. 计算： 18. 化简并求值： ，． 19. 如图在平面直角坐标系中，，，，请解答下列问题： （1）画出绕点顺时针旋转后得到的，使与对应，并写出点的坐标 （2）直接写出外接圆圆心的坐标 20. 某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价x(元/双) 150 200 250 300 销售量y(双) 40 30 24 20 （1）表中数据中的x，y满足一次函数、二次函数或反比例函数关系中的一种，请求出这个函数关系式； （2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？ 21. 如图在中，，在其内部有一点，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）连接，若，且，，求的半径． 22. 2024年央视春晚上魔术师表演了一个全国观众互动的魔术，部分流程是这样的： ①取任意4张牌， 记为 a， b， c， d； ②从中撕开并叠在一起， 从上到下的顺序为 a， b， c， d， a， b， c， d； ③按照自己名字的字数，从上到下数相应的纸牌数，依次放到最下方，比如： “魔术”是2个字，则将上面两张纸牌放到下方，牌的顺序变为c，d，a，b，c，d，a，b； 若某人的全名叫“尼格买提热合曼”，则他的纸牌正确顺序应为： . ④把最上面的那三张牌，移到这摞牌当中的任何地方，此时就会出现首尾相同，如魔术师的牌的顺序可以是b， c， d， c， d， a， a， b， 即第一张牌和第八张牌是相同的； …… 问题1：填写步骤③中纸牌的正确顺序： 问题2：名为“尼格买提热合曼”的观众在步骤④之后，首尾相同的牌是 ； 问题3：该魔术是全国观众一起操作的，大家的名字字数不会完全相同，但只要操作正确，在步骤④一定会出现首尾相同的结果，请你用数学的方法说明其中的原因． 23. 已知二次函数（为常数且）． （1）当函数图象经过点时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标； （2）求证：当时，函数图象与轴必有两个不同的交点； （3）若函数图象经过，两点，其中，且当时，总有，求的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，在射线上截取一点C， 连接， 使， 作的外接圆交x轴于点D， 连接， 作 垂直交射线于点E， 作 的外接圆交y轴于点F． （1）如图1，当B在之间时，求证：； （2）如图2，当B在延长线上时，连接，请判断的形状，并说明你的理由； （3）当 时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性检测 数学试题卷 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选，多选，错选，均不得分） 1. 下列图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形解答即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 2. “桃花春色暖先开，明媚谁人不看来．”每年4月橘子洲的桃花竞相开放，灿若云霞，芳香四溢，吸引众多市民和游客前来赏花路春，桃花花粉直径约为0.00003米，其中0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00003用科学记数法表示为． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，利用同底数幂相乘，积的乘方的性质，幂的乘方的性质，同底数幂的除法的性质，对各选项逐一计算判断，即可解题． 【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：A． 4. 某校园有一块正方形的空地，按如图所示划分区域种花，已知中间互相垂直的两条小路的宽分别，，且四个种花区域的面积相同，均为，设原正方形空地的边长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 设原正方形空地的边长为，则剩余的空地长为，宽为，根据长方形的面积公式可列出方程． 【详解】解：设原正方形空地的边长为， 依题意有， 即； 故选：C． 5. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若且于点，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，以及直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可得，即可解题． 【详解】解：绕点逆时针旋转得到，， ，， 于点， ， ， 故选：B． 7. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（　　） A. ﹣3＜x＜2 B. x＜﹣3或x＞2 C. ﹣3＜x＜0或x＞2 D. 0＜x＜2 【答案】C 【解析】 【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2= 图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点， ∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键． 8. 某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了图中的表格，由于粗心，他算错了其中的一个y值，那么这个错误的数值是（ ） …… 1 2 …… …… …… A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，求是二次函数的解析式解题关键．假设三点，，在函数图象上，利用待定系数法求得解析式，然后判断其他两点可得答案． 【详解】解：设二次函数解析式为， 假设三点，，在函数图象上， 把，，代入函数解析式得：， 解得， 函数解析式为， 当时，， 当时，， 故选：D． 9. 如图是小红用圆规设计的图案，其中心是一个大圆，外围由若干个全等的半圆弧组成．设这个图案的外围周长为，中心大圆周长为，则与的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角，圆的周长，弧长公式，熟练掌握相关的公式是解题的关键； 连接，，证得是等边三角形，进而求解； 【详解】解：如图，连接，， 设圆的半径为，则圆的周长为， 内部的六边形是的内接正六边形， ， ， 是等边三角形， ， 半圆弧的长为， ， ， 故选：C 10. 如图，曲线由抛物线与组成，其中两条抛物线交点的横坐标为3，过点作直线轴，当时，直线与曲线至少存在两个交点，则的最小值（ ） A. 9 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数得图象和性质，掌握待定系数法以及数形结合的思想方法是关键． 把代入两抛物线可求得a的值，即可得两个顶点式抛物线的解析式，再令抛物线的,可求出m的最大值。然后根据两个抛物线的顶点坐标确定直线与曲线至少存在两个交点应当，把代入即可求出． 【详解】 解：两条抛物线交点的横坐标为3， 当时， ， ， ， 解得， ， ， 当时，， ， ，， ， 当时，直线与曲线至少存在两个交点， 的顶点坐标是， 时存在两个交点， ， ，， 的最小值是, 故选：C 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 12. 已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，得． 【详解】解：∵， ∴， ∵扇形的圆心角为，面积为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于基础题，解答本题的关键是能够灵活运用扇形的面积公式． 13. 口袋里有三个红球一个白球，随机摸出一个球结果是红球的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了简单随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．根据题意可知随机摸出一个球结果有种，其中是红球的有种结果，再利用概率公式即可解答． 【详解】解：口袋里有三个红球一个白球， 随机摸出一个球结果是红球的概率是， 故答案为：． 14. 如图， 点A， B， C均在上， 且，若的度数为，的度数为， 则________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及等腰三角形性质，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到，连接，利用等腰三角形性质，得到，，最后根据即可解题． 【详解】解：， ， 连接， ， ， ， ， ， ． 故答案位：． 15. 若，分别是一次函数图象上两个不相同的点，记，则W______0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写） 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数，随增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质． 16. 如图，、、均为等边三角形，边在圆的直径上，点F恰好落在圆上，且．①若，则的边长为______；②若、D、F三点恰好在同一条线上，则的值为______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】①证明可求出，再证明点E为圆心可求，进而可求出的边长； ②连接，设的边长为x，则的边长为，证明求出x的值，进而可求出的长，然后可求的值． 【详解】①∵、、均为等边三角形， ∴， ∴，，． ∵， ∴． ∵均为等边三角形， ∴，． 连接， ∵是直径，点F恰好落在圆上， ∴， ∴， ∴ ∴点E为圆心， ∴， ∴， ∴的边长为6． ②如图，连接，则D在上． 设的边长为x，则的边长为， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴． 故答案为：①6；②． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等边三角形的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 三、解答题（本题有8小题， 第17~18题每题6分，第19~20题每题8分，第21~22题每题10分，第23~24题每题12分， 共72分） 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查立方根及零次幂与绝对值的化简．先计算立方根、绝对值和零次幂，再计算加减． 【详解】解： ． 18. 化简并求值： ，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式的通分，再利用平方差公式化简，最后代入的值求解，即可解题． 【详解】解： ， 将代入得： 原式． 19. 如图在平面直角坐标系中，，，，请解答下列问题： （1）画出绕点顺时针旋转后得到的，使与对应，并写出点的坐标 （2）直接写出外接圆圆心的坐标 【答案】（1） 如图所示，即为所求，点的坐标为． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作出点A、B绕点C顺时针旋转后得到的点、，顺次连接、、C即可得到，根据点在坐标系中的位置写出坐标即可； （2）在网格中找到线段、的垂直平分线的交点的坐标即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 外接圆圆心的坐标为， 由网格可知线段、的垂直平分线相交于点，即外接圆圆心的坐标为， 故答案为： 【点睛】此题考查了旋转的作图、三角形外接圆圆心的确定等知识，熟练掌握旋转的作图和外接圆圆心是解题的关键． 20. 某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价x(元/双) 150 200 250 300 销售量y(双) 40 30 24 20 （1）表中数据中的x，y满足一次函数、二次函数或反比例函数关系中的一种，请求出这个函数关系式； （2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）240元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，反比例函数的解析式，理解题目信息，找到等量关系，列出方程是解题的关键，分式方程求解之后记得检验． （1）观察表格数据，发现x与y的乘积保持不变，由此得到反比例函数表达式； （2）根据“（售价－进价）×销售量=利润”列出式子，整理即可求解． 【小问1详解】 解∶ 由表中数据得：， ∴， ∴y是x的反比例函数， 故所求函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 把代入得：， 解得：； 经检验，是原方程的根，符合题意． 答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则每双运动鞋的售价应定为240元． 21. 如图在中，，在其内部有一点，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）连接，若，且，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图：连接， ∵与相切， ∴，即． ∵，即． ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由切线的性质可得，即．再根据对顶角的性质可得等边对等角可得，进而说明，最后根据等角对等边即可证明结论； （2）如图：过作,设的半径为r，则．由垂径定理可得，则，然后在中利用勾股定理列式求得r即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：过作, 设的半径为r，则． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴在中，由勾股定理可得，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关性质定理是解答本题的关键． 22. 2024年央视春晚上魔术师表演了一个全国观众互动的魔术，部分流程是这样的： ①取任意4张牌， 记为 a， b， c， d； ②从中撕开并叠在一起， 从上到下的顺序为 a， b， c， d， a， b， c， d； ③按照自己名字的字数，从上到下数相应的纸牌数，依次放到最下方，比如： “魔术”是2个字，则将上面两张纸牌放到下方，牌的顺序变为c，d，a，b，c，d，a，b； 若某人的全名叫“尼格买提热合曼”，则他的纸牌正确顺序应为： . ④把最上面的那三张牌，移到这摞牌当中的任何地方，此时就会出现首尾相同，如魔术师的牌的顺序可以是b， c， d， c， d， a， a， b， 即第一张牌和第八张牌是相同的； …… 问题1：填写步骤③中纸牌的正确顺序： 问题2：名为“尼格买提热合曼”的观众在步骤④之后，首尾相同的牌是 ； 问题3：该魔术是全国观众一起操作的，大家的名字字数不会完全相同，但只要操作正确，在步骤④一定会出现首尾相同的结果，请你用数学的方法说明其中的原因． 【答案】问题1：d， a， b， c， d，a， b， c， 问题2：c， 问题3：根据题意可知，经过①②③之后，牌的顺序仍然是4个为一个循环， 且此时第4位的牌和第8位的牌相同， 将最上面的三张牌，移到这摞牌当中的任何地方，在步骤④一定会出现首尾相同的结果． 【解析】 【分析】本题考查找规律，解题的关键在于读懂题意，根据题意进行操作，归纳，总结． 问题1：根据题干中规律挪动即可； 问题2：根据题意将最上面的三张牌，移到这摞牌当中的任何地方再观察，即可解题； 问题3：根据操作步骤，找出牌的循环规律，即可解题． 【详解】解：问题1：“尼格买提热合曼”，则他的纸牌正确顺序应为：d， a， b， c， d，a， b， c， 故答案为：d， a， b， c， d，a， b， c． 问题2：d， a， b， c， d，a， b， c，将最上面的三张牌，移到这摞牌当中的任何地方，此时首尾相同的牌是c， 故答案为：c． 问题3：略． 23. 已知二次函数（为常数且）． （1）当函数图象经过点时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标； （2）求证：当时，函数图象与轴必有两个不同的交点； （3）若函数图象经过，两点，其中，且当时，总有，求的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为； （2） 证明：， 又 ， ， 二次函数的图象与轴必有两个不同的交点； （3）． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数表达式，求出a的值即可解决问题； （2）证明即可解决问题； （3）用含a的代数式表示出和，再利用作差法即可解决问题． 【小问1详解】 解∶将点代入函数解析式得， 解得:， 函数的表达式为:， 则， 将代入函数解析式得， 函数的图象顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：将两点坐标代入函数解析式, 得， ， 两式相减得，， 又， ， 当时，总有， ， 解得， 的取值范围是：． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A坐标为，点B坐标为，在射线上截取一点C， 连接， 使， 作的外接圆交x轴于点D， 连接， 作 垂直交射线于点E， 作 的外接圆交y轴于点F． （1）如图1，当B在之间时，求证：； （2）如图2，当B在延长线上时，连接，请判断的形状，并说明你的理由； （3）当 时，直接写出t的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2） 是等腰三角形，理由如下： 连接， ∴， 与（1） 中同理可得 ，即， ∵， ∴， ∴， ， 又, ， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （3）或 【解析】 【分析】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据等边对等角得出，再由圆周角定理及等量代换即可证明； （2）连接，根据圆周角定理确定，与（1） 中同理可得，即，再由等量代换及等角对等边即可证明； （3）分两种情况分析：当点D在点Q下方时，当点Q在点D下方时，分别利用相似三角形的判定和性质，圆周角定理及勾股定理解三角形求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：∵，设， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于点T， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，整理得：， ，即，整理得：， 联立①②得：， ∴； 当点Q在点D的下方时，如图所示： 同理得：，，， 设， 同理得， 如图所示，过点E作于点T， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，整理得：， ，即，整理得：， 联立①②得：， ∴； 综上可得：或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $