微专题04 二次函数存在性问题通关专练-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

微专题04 二次函数存在性质问题通关专练 1．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标． (2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E． 若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 5．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线． (1)若抛物线与x轴交于原点，求此抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点P到x轴的距离等于3，若存在求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)在该拋物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 8．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标． 10．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C使得最小，并求出C点的坐标； (3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于原点和点， 一次函数与y轴交于点B，抛物线与直线交于点A和点．    (1)观察函数图象，不等式 的解集是 ； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由． 13．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）． (1)求该二次函数的表达式； (2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 14．已知抛物线，完成下列各题： (1)求证：该抛物线与轴一定有两个交点； (2)该抛物线与轴的两个交点分别为（在的左侧），求的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使的面积等于？若存在，请求出点的坐标． 15．已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线 (1)求抛物线的解析式． (2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积． ②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求的面积； (2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 19．已知抛物线，完成下列各题： (1)求抛物线与轴的两个交点（在的左侧）的坐标； (2)若该抛物线顶点为，求的面积 (3)在抛物线上是否存在点，使的面积等于15？若存在，请直接写出的坐标．若不存在，请说明理由． 20．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标； (3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 22．已知抛物线，经过点和点，抛物线上有一个点，它的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求的长； (3)若点是轴上方、轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使？如果存在，请求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 23．已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 24．【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：； 【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标； 【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由． 25．已知抛物线 (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线与轴有两个不同的交点（点在点的左侧），与轴交于点，过点作直线轴，点是直线上的一动点，点是轴上的一动点，且． ①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求的值； ②取的中点，是否存在的最小值为？若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由． 26．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若轴，用含的代数式表示； (2)记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上存在一点，，使得，求的取值范围． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接AE． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时D点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 29．平面直角坐标系中，抛物线：过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点是抛物线在第四象限上的动点，定点的坐标为，则在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 30．如图所示，已知二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题04 二次函数存在性质问题通关专练 1．如图，正方形纸片的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据正方形的面积和三角形的面积公式，求出函数解析式． （1）根据，得出，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得出答案； （2）通过配方求二次函数的最大值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在正方形纸片上剪去4个全等的直角三角形， 在中，，，， ∴ ； （2）解：正方形的面积为：， ∴当时，y有最小值8，即四边形的面积最小为8． 2．已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标． (2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E． 若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质，两点中点坐标公式，求二次函数解析式等等： （1）先利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出点P的坐标； （2）先求出点A的坐标，设，，再分当为对角线时，当为对角线，由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点P的坐标为； （2）解：在中，当， 解得或， ∴， 设，， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 当为对角线，由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上所述，存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上． (1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标； (2)在抛物线上是否存在一点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为 (2)不存在．理由见解析 【分析】本题考查抛物线的图象和性质，全等三角形的性质等： （1）抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为； （2）假设存在一点M，使，则点M和O关于直线对称， 求出点M的坐标，再判断点M是否在抛物线上即可． 【详解】（1）解：该抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标为． （2）解：不存在．理由如下： 对于，令，则， 解得，， 点A的坐标为，点B的坐标为． 则， 是等腰直角三角形． 假设存在一点M，使， 为公共边，， 点M和O关于直线对称， 四边形是正方形， 点M的坐标为． 当时，， 即点M不在抛物线上， 在抛物线上不存在一点M，使． 4．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，理由见解析，满足条件的点F的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质， （1）将，代入，得，进行计算即可得； （2）在中，当时，，则点C的坐标为，设抛物线与y轴的交点为K，由题意，得，根据得轴，①当点F在x轴下方时，易知；②当点F在x轴上方时，令，得，进行计算即可得； 掌握二次函数的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）存在，理由如下： 解：在中，当时，， 点C的坐标为， 如图，设抛物线与y轴的交点为K， 由题意，得， ∵， 轴. ①当点F在x轴下方时，易知； ②当点F在x轴上方时，令，得， ， 解得， ，. 综上所述，满足条件的点F的坐标为或或． 5．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线． (1)若抛物线与x轴交于原点，求此抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点P到x轴的距离等于3，若存在求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的坐标为 【分析】（1）根据题意，可确定抛物线的顶点坐标，运用顶点式即可求解； （2）抛物线上存在一点到轴的距离等于，即当时求对应自变量的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴该抛物线的解析式为， ∵该抛物线与x轴交于原点， ∴， ∴， ∴，即：． （2）解：抛物线上存在一点到轴的距离等于， ∵当时，， ∴解得：， ∵当时，，此方程无实数根， ∴的坐标为． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，图象到轴的距离的计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 6．已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)在该拋物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为． 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可； （2）求出抛物线的对称轴为，连接与对称轴的交点即为点M，求出的解析式，把代入即可求出． 【详解】（1）解：令，则，解得：，， ∴点，点， 当时，， ∴点； （2）解：存在， ∵， ∴抛物线的对称轴为， 连接与对称轴的交点即为点M， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴， 当时，， ∴点的坐标为． 7．已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意得点在抛物线上，使用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据点A和B求得直线解析式，设点P的横坐标并表示出点P和点F，求出的长，将分成与的面积和，根据三角形面积公式表示为函数求最值即可； （3）设点P横坐标，表示出点P和点D及的长，根据对称性可知点P和点E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得点D横坐标，进而求得的长．由于要成为等腰直角三角形，，，分类讨论t的范围，即可求得点P坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，则 ，解得∶ 故抛物线解析式为． （2）过点P作轴于点H，交于点F，如图， 当时，， 则， 设直线解析式为， ∵过点A和B，则，， ∴直线解析式为， ∵点P在线段上方的抛物线上，设点P的横坐标为t， ∴，， 则， ， 故点，的面积最大 （3）设， 则，那么， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵轴交抛物线于点E， ∴，且， ∴，   ． 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 当时，， 有 解得∶(舍去)，， 则点， 当时， 有，解得，(舍去)， 则点， 故点或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法求解析式和性质、求解二次函数最值、等腰直角三角形的性质、中点坐标公式和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论点所处位置及对应线段长度． 8．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， 顶点C的坐标为 (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由对称轴为直线，可得抛物线解析式为，据此代入A、B坐标求解即可； （2）设点M的坐标为，则，，，再分当时， 当时， 当时，三种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线解析式为 把点，点代入得 中得， 解得 ∴抛物线解析式为， ∴顶点C的坐标为； （2）解：设点M的坐标为， ∴，，， 当时，则，解得， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或． 9．已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)若在坐标平面内存在点G，使得点G到A，B，C三点的距离都相等，请求出点G的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等等： （1）把解析式设为交点式，再把点C坐标代入解析式中求解即可； （2）根据题意G是边垂直平分线的交点，由的垂直平分线为直线，可设点G的坐标为，利用勾股定理求出，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为． 将代入得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵点G到A，B，C三点的距离相等， ∴G是边垂直平分线的交点， ∴， ∵，， ∴的垂直平分线为直线， ∴可设点G的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求点、的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C使得最小，并求出C点的坐标； (3)在对称轴上是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；或 【分析】（1）令求出点A的坐标，令求出点B的坐标即可； （2）根据二次函数解析式写出对称轴方程，再利用对称性求出点B关于对称轴的对称点，再求出直线与对称轴的交点即可； （3）根据平行四边形对边平行且相等可得，分点P在点A的上方和下方两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：令，则， 解得：， 所以点， 令，则 ， 所以，点； （2）解：对称轴方程为直线； 因为点B的坐标为 所以点B关于对称轴的对称点， 设直线为，将代入， 得，， 解得：， 所以， 当时，， 所以； （3）解：存在，以为顶点的四边形为平行四边形， ①时， 当点P在点A的上方时，如下图： 点P的坐标为， 当点P在点A的下方时， 点P的坐标为， ②当时，点P在第一象限，如下图： 不符合题意. 综上所述，点P的坐标为或时，以为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意（3）有两种情况． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于原点和点， 一次函数与y轴交于点B，抛物线与直线交于点A和点．    (1)观察函数图象，不等式 的解集是 ； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）根据图象可以得到抛物线的图像高于一次函数的自变量x的取值范围解题即可； （2）利用抛物线的对称性可知，点与点A关于对称轴对称，直线与抛物线对称轴的交点即为点，求出抛物线的对称轴计算解题即可． 【详解】（1）由图象可知，当时，不等式 ， 故答案为：； （2）存在， ∵抛物线, ∴对称轴为：， 由点与点A关于对称轴对称，直线与抛物线对称轴的交点即为点， ∴当时，， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 12．如图，已知二次函数的图象经过点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形，若存在求出点坐标，若不存在说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法将代入，即可求解； （2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点D作轴交直线于点E，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）在中，令时，得：， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 过点作轴交直线于点， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴当以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上 联立得 解得：或 ∴或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，运用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，配方法，三角形面积，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等相关知识是解题关键． 13．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）． (1)求该二次函数的表达式； (2)试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，G的坐标为或． 【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求． （2）先求线段所在的直线解析式，求利用点到直线的公式，即可求与的高，利用三角形面积公式即可求． 【详解】（1）依题意，设二次函数的解析式为 将点B代入得，得 ∴二次函数的表达式为： （2）存在点G， 当点G在x轴的上方时，设直线交x轴于P，设P（t，0），作于E，于F． 由题意：， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得， ∴直线DG的解析式为， 由， 解得或， ∴G． 当点G在x轴下方时，如图2所示， ∵ ∴当点G在的延长线上时，存在点G使得， 此时，的直线经过原点，设直线的解析式为， 将点D代入得， 故， 则有 整理得，， 得（舍去）， 当时，， 故点G为． 综上所述，点G的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，要学会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 14．已知抛物线，完成下列各题： (1)求证：该抛物线与轴一定有两个交点； (2)该抛物线与轴的两个交点分别为（在的左侧），求的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使的面积等于？若存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或或或 【分析】（1）根据抛物线与一元二次方程的关系，将函数与轴交点的问题转化为一元二次方程，再根据判别式的值确定函数轴交点的的个数； （2）解方程，即可求得点的坐标； （3）假设存在点使得的面积等于，则点纵坐标或，分情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵当时，即可得到： ∴ ∴该抛物线与轴一定有两个交点 （2）解：∵当时，即可得到： ∴ ∴或 ∴点坐标，点坐标为 故答案为：， （3）解：假设存在点使得的面积等于 ∵ ∴ ∴的值为或 当点的纵坐标为时 ∴ 解得：或 ∴存在点坐标、 当点的纵坐标为时 ∴ 解得：或 ∴存在点坐标、 故答案为：或或或 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，抛物线与x轴的交点判定，三角形的面积计算等相关知识点，分类讨论点的坐标是解题的关键． 15．已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）把，两点代入解析式即可求解； （2）先求出C点坐标，再根据求出，代入解析式即可求解． 【详解】（1）把，两点代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，所以， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 把代入抛物线表达式得， 解得（舍去）或2； 把代入抛物线表达式得， 解得， 综述所述，点的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法及三角形的面积公式的应用． 16．如图，抛物线（b、c为常数）与x轴相交于点、，与y轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线 (1)求抛物线的解析式． (2)设点P为抛物线对称轴上的一个动点． ①如图①，若点P为抛物线的顶点，求的面积． ②是否存在点P使的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①3；②存在满足条件的点，其坐标为或． 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、方程思想等知识． （1）把、两点坐标代入抛物线解析式，可求得、的值，可求得抛物线解析式； （2）①由抛物线解析式可求得、的坐标，可求得直线解析式，设对称轴交直线于点，则可求得点坐标，可求得的长，则可求得的面积；②设，则可用表示出的面积，可得到的方程，则可求得点坐标． 【详解】（1）解：抛物线、为常数）与轴相交于点、， ， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：①， ，且， 设直线解析式为，则有， 解得， 直线解析式为， 设对称轴交于点，如图1， 则， ， ； ②设，由①可知， ， ， ， 解得或， 点坐标为或， 即存在满足条件的点，其坐标为或． 17．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求的面积； (2)在轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，使是直角三角形，点坐标为或或或 【分析】（1）先求出，，，，求出直线的解析式为，作轴交于，则，，再根据，即可得解； （2）设，则，，，分三种情况分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：令， 解得或， ∴，， 令，则， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交于，    当时，，即， ∴， ∴； （2）解：存在点E，使是直角三角形，理由如下： 设， ∴，，， 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴或； 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴； 当为直角三角形的斜边时，， 解得， ∴； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—面积问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 18．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求该抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，是否存在是以为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小，即可求解； （3）设点，根据是以为底的等腰三角形，所以，则，求解即可得出t值，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 对于一次函数， 当时，， ∴， 将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 即抛物线的表达式为： （2）解：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时，的周长最小， 理由：的周长为最小， 设直线的表达式为 把，代入得： ，解得 ∴直线的表达式为：， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 当时，，即点； （3）解：存在，理由： 设点 ∵直线与y轴的交点为D， 当时，， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ， ． ∵， ∴． 即P点的坐标为 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，属二次函数综合题目，难度适中． 19．已知抛物线，完成下列各题： (1)求抛物线与轴的两个交点（在的左侧）的坐标； (2)若该抛物线顶点为，求的面积 (3)在抛物线上是否存在点，使的面积等于15？若存在，请直接写出的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图形和性质，是解题的关键： （1）令，求出交点的坐标即可； （2）求出顶点坐标，利用三角形的面积公式，进行计算即可； （3）根据三角形的面积公式，求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为：； （3）解：∵的面积， ∴， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴或． 20．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标； (3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 (3)存在，P的坐标为、、、 【分析】（1）因为经过，两点，所以，再代，即可作答． （2）先把、代入，并解出直线BC的解析式为，因为，所以，解得，得，即可作答． （3）结合平行四边形的性质，要进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设抛物线为， 经过，两点， ， 把代入得：， ， 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得： 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， ， ， 解得（不符合，舍去），， 经检验：是方程的解 把代入，解得 点的坐标为． （3）解：存在，过程如下： 依题意，设，且，， ∵以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形 ∴①当为对角线时，则 ， ； ②当为对角线时，则 ， ，； ③当为对角线时，则 ， ． 综上所述，P的坐标为、、、． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的解析式、二次函数与一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在， 【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得、两点坐标； （2）由、的长可求得，用可表示出，，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知只能是，又，由（）可知又由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于的方程，可求得的值，进一步可求得点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：在直线中， 令得， 解得： 令得， ∴， （2）解：由（1）可知， ， 运动时间为秒， 轴， 在中，，， 在中，，， ， ； （3）解：存在． 轴， ， 点不能在抛物线的对称轴上， ， 当为直角三角形时，则有， 又， ， ，， ，且 ， 解得： 即当的值为秒时，为直角三角形， 此时 ∴ ∵抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把点坐标代入得： 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；综合运用以上知识是解题的关键． 22．已知抛物线，经过点和点，抛物线上有一个点，它的横坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)求的长； (3)若点是轴上方、轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使？如果存在，请求出点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）求出，即得； （3）过作交延长线于，过作轴，过作轴交于，交轴于，由是等腰直角三角形，可得，可求出，即得直线解析式为，解可得的坐标． 【详解】（1）把和代入得： 解得 抛物线的解析式为； （2）在中，令得， ， ； （3）存在这样的点，使，理由如下： 过作交延长线于，过作轴，过作轴交于，交轴于，如图： ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， 设直线解析式为，把代入得： ， 解得， 直线解析式为， 解得或 点在轴上方、轴左侧， 的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 23．已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①6 ，②存在； 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的图象和性质． （1）把代入即可解答； （2）①设直线l与交于点F，用待定系数法求出抛物线的解析式为，则，，再求出直线的解析式为，则，进而得出，最后根据的面积即可解答；②设直线交x轴于H，则，通过证明，得出，根据得出函数关系式，结合二次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点， ∴代入得：， 化简得：； （2）解：①如图1，设直线l与交于点F，    把代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，点P为抛物线顶点， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴的面积， ②存在最大值，理由如下： 如图2，设直线交x轴于H，    由①得，，，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，存在最大值，最大值为． 24．【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：； 【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标； 【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形?若存在，请求出点M的坐标?若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）或或或 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数与几何综合题，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用，即可证明； （2）过点B作轴于点F.证明,则，得到.  待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即可得到 （3）求出，得到抛物线的对称轴为直线,设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N，分两种情况：当点M在x轴的下方和 点M在x轴的上方，分别进行解答即可． 【详解】（1）证明:∵， ∴ ∵, ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ （2）解:如图,过点B作轴于点F.    由题意,得 ∵， ∴. ∴ 又∵, ∴, ∴. ∴ ∴..   设直线的解析式为, 将代入中,得, 解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ （3）解:∵ ∴抛物线的对称轴为直线, 设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N， ①当点M在x轴的下方时,如图，      ∵, ∴ ∴ 又∵， ∴. ∴.. 设， ∴， ∴， ∴， 将 代入中, 得, 解得或 ∴. 点M的坐标为或； ②当点M在x轴的上方时,如图,    同理可得，点M的坐标为或. 综上所述,点M的坐标为或或或. 25．已知抛物线 (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标； (2)若抛物线与轴有两个不同的交点（点在点的左侧），与轴交于点，过点作直线轴，点是直线上的一动点，点是轴上的一动点，且． ①当点落在抛物线上（不与点重合），且时，求的值； ②取的中点，是否存在的最小值为？若存在，求出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)①；②当的值为或时，的最小值是． 【分析】（1）当时，抛物线，解方程，即可求解； ①根据题意得出和，点，点，过点作于点，由点，得点．根据题意求出的值即可； ②得出．求出，当，即时，当，即时，根据的最小值可分别求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线， 令，则， 解得或， ∴抛物线与轴的交点坐标为或； （2）解：①抛物线的解析式为， 令，则， 解得或， ∴和，， 令，则， ∴点，点， 过点作于点，由点，得点． 在中，，， ， ， ， 解得 ∴； ②由是的中点，连接，，得． 根据题意，点在以点为圆心、为半径的圆上， 由点，点，得，， 在中，． 当，即时，满足条件的点在线段上． 的最小值为，解得； 当，即时，满足条件的点落在线段的延长线上，的最小值为， 解得． 当的值为或时，的最小值是． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 26．在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若轴，用含的代数式表示； (2)记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上存在一点，，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不能大于6 【分析】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的相关知识． （1）根据轴可以得到点，点关于对称，从而得到，再根据对称轴的公式即可得到答案； （2）根据，，，可以得到点应在点4的下方，要满足，抛物线的开口只能向上，根据抛物线的性质可以得到． 【详解】（1）轴， 点点，点关于对称，且 ， 抛物线的对称轴为直线． ， ； （2），，， 点应在点4的下方， 当时，抛物线开口向下，不存在．当时不符合题意， ， ， ． ，所以对称轴不能大于6． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)的坐标为)或 或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）由（）得，则抛物线的对称轴为直线，设，则，，，然后分当为菱形的边时，则或，当为菱形的对角线时，，两种情况即可； 本题主要考查了二次函数、菱形的性质和勾股定理，掌握相关知识、正确求出二次函数表达式并灵活应用是解题的关键． 【详解】（1）当时，， ∴点，则， ∴， ∴点， ∵抛物线过点和点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）由（）得 ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴，，，如图， 当为菱形的边时，则或， ∴或，即或（无解）， 解得， ∴点的坐标为)或 ； 当为菱形的对角线时，则， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为， 综上可得：存在以点为顶点的四边形是菱形，点的坐标为)或 或． 28．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接AE． (1)求二次函数的表达式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时D点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点P，使为以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为． 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设再分三种情况讨论，一是为等腰三角形，且以为底边，二是为等腰三角形，且以为底边，三是为等腰三角形，且以为底边，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， 面积的最大值是 （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线 如图3， 为等腰三角形，且以为底边， 解得 ， 如图4， 为等腰三角形，且以为底边， 解得 综上所述，点P的坐标为． 29．平面直角坐标系中，抛物线：过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知点是抛物线在第四象限上的动点，定点的坐标为，则在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的坐标为 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数图象的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，分类讨论，当点位于点左侧时；当点位于点右侧时；根据三角形全等的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解： 存在．由题意得，点，要使得， ∴，，， 点在轴上，， ． 当点位于点左侧时，此时，， 轴， 设点，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ； 当点位于点右侧， 此时，， 因为在第四象限，，不合题意． 综上所述，的坐标为． 30．如图所示，已知二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或或4时，为等腰三角形 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）根据二次函数的图象与性质及等腰三角形的性质、两点距离公式可进行求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得：， 所以． （2）解：设直线，因为， ∴，解得：， 所以直线， ∴， ∴， 根据题意设有，，，过点作，垂足为点， ∴轴， ∴， ∴； ∴ ∴；； ∴；； 若为等腰三角形，分以下三种情况： ①当时，有，解得：或5或0，而又，因此． ②当时，有，即，解得：或0，而又，因此． ③当时，有，解得：或0，而又，因此． 综上所述，当或或4时，为等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$