精品解析：甘肃省武威市凉州区片区2024-2025学年九年级上学期开学检测数学试题

2024-2025学年度第一学期开学检测试卷 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. ，2， D. ，2， 3. 已知点都在直线 上，则为的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，， ，平分，交边于点E，则线段的长度分别是（ ） A. 2和3 B. 3和2 C. 4和1 D. 1和4 5. 正方形具备而菱形不具备的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直平分 D. 每条对角线平分一组对角 6. 如图直线上有三个正方形 ，若正方形的面积分别为5和11，则正方形B的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 7. 甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是 A. 甲、乙两人的速度相同 B. 甲先到达终点 C. 乙用的时间短 D. 乙比甲跑的路程多 8. 甲、乙两班举行电脑打字输入比赛，参赛学生每分钟输入字的个数统计结果如下表： 班级 参赛人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 某同学分析上表后得出如下结论： （1）甲、乙两班学生成绩平均水平相同； （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）； （3）甲班成绩的波动比乙班小. 上述结论正确的是（ 　 ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3） C. （1）（3） D. （1）（2） 9. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为的中点，则下列式子中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将边长为 的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. 数据“1，2，1，3，3”，则这组数据的方差是___________． 13. 已知一次函数的图象经过点，则该一次函数的解析式为_________． 14. 若点E、F、G、H分别是菱形的边、、、的中点，四边形的形状为_____． 15. 若对实数a，b，c，d规定运算，则＝___． 16. 如图，已知函数 和的图象交点为P，则不等式的解集为________． 17. 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件_______，则四边形EBFD为平行四边形． 18. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为___． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． （3）用适当的方法解方程： 20. 2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分） 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 八年级教师竞赛成绩扇形统计图 七、八年级教师竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.5 8.5 中位数 9 众数 8 优秀率 45% 55% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 21. 如图，在平行四边形中，是它的一条对角线，于点于点F．求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，菱形的对角线 相交于点O，过点D作 ，且 ，连接 ． （1）求证：四边形 为矩形； （2）若菱形的边长为4， ，求的长． 23. 如图，已知：在四边形 中，的垂直平分线交于点D，交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当 是满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由． 24. 如图1，小明家，学校，到达图书馆在同一条直线上，小明骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计），小明离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图2所示． （1）小明家与学校的距离为______m，小明骑自行车的速度为______m/min； （2）求小明从图书馆返回家的过程中，y关于x的函数解析式； （3）小明离家5000m时，他出发了多长时间？ 25. 已知：如图一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标． （2）若一次函数与的图象与x轴分别交于点B、C，求的面积． （3）结合图象，直接写出时的取值范围． 26. 甲超市在国庆节期间进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为5元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．其中x（单位：kg）表示购买苹果的重量，（单位：元）表示付款金额． （1）文文购买3kg苹果需付款______元；购买5kg苹果需付款______元； （2）写出付款金额关于购买苹果的重量x的函数关系式： （3）乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为5元/kg，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？ 27. 如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F． （1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明． （2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期开学检测试卷 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A、原式不能合并，错误； B．原式合并得到结果，即可做出判断； C、原式利用二次根式乘法法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式分母有理化得到结果，即可做出判断 【详解】A. 原式不能合并，错误； B. 原式=，错误； C. 原式=，正确； D. 原式=，错误， 故选C 【点睛】此题考查二次根式的加减法，二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则. 2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. ，2， D. ，2， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项分析判断即可． 【详解】A. 32+42=52故能构成直角三角形，不符合题意； B. 52+122=132 故能构成直角三角形，不符合题意； C. （）2+（2）2=7≠（）2故不能构成直角三角形，符合题意； D. 故能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 已知点都在直线 上，则为的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 根据一次函数的性质，得y随x的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴y随x的增大而减小 ∵，且点，，都在直线 上 ∴ 故选A． 4. 如图，在中，， ，平分，交边于点E，则线段的长度分别是（ ） A. 2和3 B. 3和2 C. 4和1 D. 1和4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键． 先根据角平分线及平行线的性质得出 ，再由等角对等边得出，从而求出 的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， 故选：B． 5. 正方形具备而菱形不具备的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直平分 D. 每条对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【详解】A、正方形和菱形均具有，故不符合题意； B、菱形的四个角相等但不一定是直角，故符合题意； C、正方形和菱形均具有此性质，故不符合题意； D、正方形和菱形均具有此性质，故不符合题意； 故选B． 6. 如图直线上有三个正方形 ，若正方形的面积分别为5和11，则正方形B的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 16 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，证明． 证明，推出，，则，，再证，代入求出即可． 【详解】解：如图， 正方形，的面积分别为5和11， ，， 由正方形的性质得：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 正方形的面积为， 故选C． 7. 甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是 A. 甲、乙两人的速度相同 B. 甲先到达终点 C. 乙用的时间短 D. 乙比甲跑的路程多 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：利用图象可得出，甲，乙的速度，以及所行路程等，注意利用所给数据结合图形逐个分析． 解：结合图象可知：两人同时出发，甲比乙先到达终点，甲的速度比乙的速度快， 故选B． 8. 甲、乙两班举行电脑打字输入比赛，参赛学生每分钟输入字的个数统计结果如下表： 班级 参赛人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 某同学分析上表后得出如下结论： （1）甲、乙两班学生成绩平均水平相同； （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字≥150个为优秀）； （3）甲班成绩的波动比乙班小. 上述结论正确的是（ 　 ） A. （1）（2）（3） B. （2）（3） C. （1）（3） D. （1）（2） 【答案】D 【解析】 【分析】平均水平的判断主要分析平均数；根据中位数不同可以判断优秀人数的多少；波动大小比较方差的大小． 【详解】解：从表中可知，平均字数都是135，（1）正确； 甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，（2）正确； 甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况小，所以（3）错误． 综上可知（1）（2）正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，方差的意义，平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． 9. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，E为的中点，则下列式子中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质．根据中位线定理和菱形的性质得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ， ， ∵E为的中点， ∴， 即：，故A、B正确，不符合题意； ∵， ∴ 为直角三角形， ∵点E是的中点， ∴，故C正确，不符合题意； 不一定正确，故D错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，将边长为 的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．根据是直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠可得 ，设，则， ∵， ∴， 解得：， 即线段的长是． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ， 解得：且． 故答案为：且． 12. 数据“1，2，1，3，3”，则这组数据的方差是___________． 【答案】0.8． 【解析】 【详解】试题解析：数据“1，2，1，3，3”平均数= =2， S2= [（1-2）2+（2-1）2+…+（3-2）2]==0.8． 考点：方差． 13. 已知一次函数的图象经过点，则该一次函数的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，把已知点的坐标代入解析式正确解方程是解题的关键． 把过点代入解方程即可求解． 【详解】解：把代入， 得：， 解得： ， 即． 故答案为． 14. 若点E、F、G、H分别是菱形的边、、、的中点，四边形的形状为_____． 【答案】矩形 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，平行线性质等知识点的运用，主要考查学生能否正确运用性质进行推理，题目比较典型，难度适中． 连接、交于O，根据三角形的中位线定理推出，得出四边形是平行四边形，根据菱形性质推出，推出，即可得出答案． 【详解】解：连接、交于O， ∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ， ，，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， ，， ， ， ∴平行四边形是矩形， 故答案为矩形． 15. 若对实数a，b，c，d规定运算，则＝___． 【答案】 【解析】 【分析】根据规定运算，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴===， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，以及定义新运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 16. 如图，已知函数 和的图象交点为P，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．此题可根据两直线的图象以及两直线的交点坐标来进行判断． 【详解】解：由图知：当直线 的图象在直线的上方时，不等式成立； 由于两直线的交点横坐标为：， 观察图象可知，当时，； 故答案为：． 17. 如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，若添加一个条件_______，则四边形EBFD为平行四边形． 【答案】AE＝FC或∠ABE＝∠CDF 【解析】 【详解】试题分析：∵四边形EBFD要为平行四边形，∴∠BAE=∠DCF，AB=CD，又AE=FC ∴△AEB≌△CFD，∴AE=FC，∴DE=BF ∴四边形EBFD为平行四边形． ∴可添加的条件是AE=FC，同理还可添加∠ABE=∠CDF． 故答案为AE=FC或∠ABE=∠CDF． 考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 18. 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为___． 【答案】5 【解析】 【分析】设DE=x，则AE=8-x．先根据折叠的性质和平行线的性质，得∠EBD=∠CBD=∠EDB，则BE=DE=x，然后在直角三角形ABE中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设DE=x，则AE=8-x． 根据折叠的性质，得∠EBD=∠CBD． ∵AD∥BC， ∴∠CBD=∠ADB， ∴∠EBD=∠EDB， ∴BE=DE=x． 在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得 x2=（8-x）2+16， 解得x=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． （3）用适当的方法解方程： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二根式即可； （2）先逐项化简，再合并同类二根式即可； （3）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 ∵ ∴ ∴或 ∴ 20. 2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下： 抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分） 6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10． 八年级教师竞赛成绩扇形统计图 七、八年级教师竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8.5 8.5 中位数 9 众数 8 优秀率 45% 55% 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数； （3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异． 【答案】（1）8；9；（2）102； （3）八年级教师更优异，因为八年级教师成绩的中位数高于七年级教师成绩的中位数．（不唯一，符合题意即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义分别求解即可； （2）先求出被调查的20人中成绩到达8分以上的人数，求出占比，再用120乘该比例即可； （3）根据平均数，中位数，众数等对应的实际意义进行判断即可． 【详解】（1）题干中七年级的成绩已经从小到达排列， ∴七年级的中位数为； 扇形统计图中，D的占比更多，D代表得分为9分的人数， ∴八年级的众数为 ； 故答案为：8；9； （2）由题可知，七年被抽查的20名教师成绩中，8分及以上的人数为17人， ∴（人）， ∴该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数为102人； （3）略 【点睛】本题考查数据分析，理解中位数，众数等的定义与求法，熟练运用中位数和众数做决策是解题关键． 21. 如图，在平行四边形中，是它的一条对角线，于点于点F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，且 ， ． 又， ． 在与中， ， ， ； ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．由平行四边形的性质可证明，则可求得，由，从而可求得 ，可证得结论． 【详解】略 22. 如图，菱形的对角线 相交于点O，过点D作 ，且 ，连接 ． （1）求证：四边形 为矩形； （2）若菱形的边长为4， ，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵ ， ∴平行四边形 是矩形； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质得到 ，先判断四边形 为平行四边形，再判断矩形； （2）分别求出和，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ，， ， ∵ ， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 由（1）得：四边形 为矩形， ∴ ，， 在 中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等，解题关键是牢记它们的概念与性质． 23. 如图，已知：在四边形 中，的垂直平分线交于点D，交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）当是满足什么条件时，四边形是正方形，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当 时，四边形是正方形，见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，平行线的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，平行线的性质得出三角形全等的条件，进而得出，进而求解即可； （2）根据有一个角是直角的菱形为正方形求解即可． 【小问1详解】 证明：垂直平分， ， ， ， ∵ ， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：当 时，四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是菱形， 则， ，， ∴ ， 菱形是正方形． 即当时，四边形是正方形． 24. 如图1，小明家，学校，到达图书馆在同一条直线上，小明骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计），小明离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图2所示． （1）小明家与学校的距离为______m，小明骑自行车的速度为______m/min； （2）求小明从图书馆返回家的过程中，y关于x的函数解析式； （3）小明离家5000m时，他出发了多长时间？ 【答案】（1）4000；200 （2） （3）5分钟或25分钟 【解析】 【分析】（1）由图象即可直接得出小明家与学校的距离为4000m，根据速度=路程÷时间结合图象计算即可求出小明骑自行车的速度； （2）根据题意可求出返回时的函数图象经过点，．再利用待定系数法求解即可； （3）利用待定系数法即可求出小明从学校到图书馆的过程中y与x的函数解析式．再分类讨论当小明去图书馆时和小明回家时可列出方程，解出x即可． 【小问1详解】 由图象可知小明家与学校的距离为4000m， 小明骑自行车的速度为． 故答案为：4000，200； 【小问2详解】 小明从图书馆返回家的时间：6000÷200＝30min， ∴总时间：20＋30＝50min， 设小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为y＝kx＋b， 把，代入得：，解得， ∴； 【小问3详解】 设小明从学校到图书馆的过程中y与x的函数解析式为y＝mx＋n， 把，代入得：，解得， ∴y＝200x＋4000 当y＝5000时， 5000＝200x＋4000 ∴x＝5 5000＝−200x＋10000 ∴x＝25 ∴小明出发5分钟或25分钟时离家距离5000m． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．读懂题意和图象，正确的求出每段的函数解析式是解题关键． 25. 已知：如图一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标． （2）若一次函数与的图象与x轴分别交于点B、C，求的面积． （3）结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可得： ，解得， 所以点A坐标为． 【小问2详解】 解：当 时，，即，则B点坐标为； 当 时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为： ． 【小问3详解】 解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． 26. 甲超市在国庆节期间进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为5元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．其中x（单位：kg）表示购买苹果的重量，（单位：元）表示付款金额． （1）文文购买3kg苹果需付款______元；购买5kg苹果需付款______元； （2）写出付款金额关于购买苹果的重量x的函数关系式： （3）乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为5元/kg，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？ 【答案】（1）15，23； （2） （3）甲超市比乙超市划算 【解析】 【分析】（1）直接根据题意求出苹果的总价即可，按题意分别求前 部分的价格以及超过部分的价格，即可得到苹果的总价； （2）分别利用待定系数法求解解析式即可； （3）分别计算出在两超市购买 苹果的总价，比较即可得出结论． 【小问1详解】 由题意：（元）； （元）； 故答案为：15，23； 【小问2详解】 当时，， 当时， 当 时，设，将，代入解析式 解得，， ∴， 【小问3详解】 当 时，，， ∵， ∴甲超市比乙超市划算． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，准确求出一次函数的解析式，理解实际意义是解题关键． 27. 如图1，在正方形ABCD中，点E在AD的延长线上，P是对角线BD上的一点，且点P位于AE的垂直平分线上，PE交CD于点F． （1）猜测PC和PE有什么大小及位置关系，并给出证明． （2）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系．并说明理由． 【答案】（1）PC=PE，PC⊥PE，理由见解析；（2）PA=CE，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）这里利用正方形的轴对称性质和线段垂直平分线的性质证明PC=PC，再利用三角形的内角和的关系证明∠CPF=∠FDE，再结合正方形的每个内角是90°，证明∠CPF=90°即可． （2）由菱形轴对称性质，利用题（1）的方法证明∠CPF=60°，又因为PC=PE，所以△PCE是等边三角形，因此CE=PC=AP． 【详解】（1）PC=PE，PC⊥PE 证明∵点P位于AE的垂直平分线上， ∴PA=PE， ∴∠PAD=∠E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADB=∠CDB， ∵PD=PD， ∴△ADP≌△CDP（SAS） ∴PA=PC，∠PAD=∠PCD， ∴PC=PE，∠PCD=∠E， ∵∠PFC=∠DFE， ∴∠CPF=∠FDE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC=90°， ∴∠FDE=90°， ∴∠CPF=90°， ∴PC⊥PE． （2）PA=CE．理由如下： 证明：∵点P位于AE的垂直平分线上， ∴PA=PE， ∴∠PAD=∠E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC，∠ADB=∠CDB， ∵PD=PD， ∴△ADP≌△CDP（SAS） ∴PA=PC，∠PAD=∠PCD， ∴PC=PE，∠PCD=∠E， ∵∠PFC=∠DFE， ∴∠CPF=∠FDE， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120° ∴∠ADC=∠ABC=120° ∴∠EDF=180°-∠ADC=60° ∴∠CPF=60° ∵PE=PC ∴△PCE是等边三角形 ∴CE=PE ∴AP=CE． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线、等边三角形、正方形和菱形的性质．准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键，注意正方形和菱形是轴对称图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $