第21章 二次函数与反比例函数 章节测试练习卷-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过的时间（秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各式中表示二次函数（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·单元测试）在下列函数中，表示y关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．关于y轴对称 C．顶点是 D．y有最大值 5．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知反比例函数（k为常数），当时，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知函数，下列结论错误的是（    ）． A．当时，随的增大而增大 B．当时，函数图象的顶点坐标是 C．当时，若，则随的增大而减小 D．无论取何值，函数图象部经过同一个点 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立的是（    ） A．、两点之间的距离为个单位长度 B．若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C．若、在该抛物线上，当时，则 D．若，当时，的最大值与最小值的差为，则 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）写出一个经过原点且开口向下的抛物线的解析式 ． 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知方程的两个解满足，则抛物线的对称轴为直线 ． 13．（21-22九年级上·安徽淮北·阶段练习）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y=-（x-h）+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值． （1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第 天的日销售额最大； （2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一条抛物线（形状一定）与轴相交于E、F两点（点E在点F左侧），其顶点在线段上移动，若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为 ．    三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．（23-24九年级上·安徽宿州·单元测试）反比例函数图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 17．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在正方形中，轴，点，点．已知抛物线（，，是常数且）经过点与点，且顶点位于上，若抛物线与轴交于点，求的长．    18．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 19．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某公司在某地先后举行10场产品促销会，已知该产品每台成本为5万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品50台，然后每增加一场，产品就少卖出2台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场~第5场浮动价与销售场次成正比，第6场~第10场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： （场） 2 5 10 （万元） 7 10 7.5 (1)求销售量与销售场次之间的函数关系式； (2)求销售单价与销售场次之间的函数关系式； (3)在这10场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 20．（2024·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．     (1)求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围； (2)已知途中阶段龙舟速度为，当时，求该龙舟划行的总路程； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间． 21．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）先将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移8个单位，所得图象与x轴相交于点A和点B． (1)求线段的长； (2)设直线与的图象交于Q点，当的面积为18时，试确定Q点的坐标． 22．（23-24九年级上·安徽·单元测试）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求a、b的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 23．（2024·安徽池州·三模）如图1，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)若点P是第一象限抛物线上一点． （ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点P的坐标； （ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线与直线交于点G，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过的时间（秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质，是解题的关键．令，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，即：，解得：或， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是； 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各式中表示二次函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； B、，分母中含有字母，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·单元测试）在下列函数中，表示y关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为为常数，或为常数，． 【详解】A、是关于的正比例函数，故此选项不合题意； B、是关于的反比例函数，故此选项符合题意； C、是关于成反比例，故此选项不符合题意； D、是关于成反比例，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．关于y轴对称 C．顶点是 D．y有最大值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，当时，函数有最小值为； 综上：只有选项B是正确的； 故选B． 5．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）已知反比例函数（k为常数），当时，y随着x的增大而增大，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数，当时，在每一象限内，y随x的增大而减小，反之，在每一象限内，y随x的增大而增大，根据题意得出，即可解答． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数），当时，y随着x的增大而增大， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是， 故选：B． 6．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，用一根的铁丝制作一个“日”字型框架，铁丝恰好全部用完，则该“日”字型框架面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设，“日”字型框架的面积为，根据题意即可确定与的函数关系，据此即可求解． 【详解】解：设，“日”字型框架的面积为， 则， ∵， ∴当，时，“日”字型框架面积最大，最大值为 故选：A 7．（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析图象，确定，a，b的符号一致的，才是可能的，本题考查了函数图象的分布于特征，熟练掌握图象的分布特征是解题的关键 【详解】A、 根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，矛盾，不符合题意； B、根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，即，，矛盾，不符合题意； C、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，矛盾，不符合题意； D、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，一致，符合题意； 故选D 8．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知函数，下列结论错误的是（    ）． A．当时，随的增大而增大 B．当时，函数图象的顶点坐标是 C．当时，若，则随的增大而减小 D．无论取何值，函数图象部经过同一个点 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性，求二次函数顶点坐标的方法是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，随的增大而增大，故A正确，不符合题意； B、当时，，函数图象的顶点坐标是，故B正确，不符合题意； C、当时，，∴若，则随的增大而增大，故C错误，符合题意； D、 ， 当时，的值与m无关，此时，即该函数经过点，故D正确，不符合题意； 故选：C． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，解题的关键是熟知函数的性质并会观察图象．由对称轴和点A得到图象与轴的另一个交点坐标，从而判断选项；由开口方向和与轴的交点得到和的正负，从而判断选项B；由对称轴为直线判断选项C；由图象与轴的交点个数判断选项D． 【详解】解：函数图象过点，对称轴是直线， 图象与轴的另一个交点为，即当时，， ，故选项A正确； 开口向上，与轴的交点在轴负半轴上， ，， ，故选项B错误； 对称轴为直线， ， ，故选项C错误； 函数图象与轴有两个交点， ，即，故选项D错误． 故选：A． 10．（2024·安徽合肥·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点，下列命题中不成立的是（    ） A．、两点之间的距离为个单位长度 B．若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则 C．若、在该抛物线上，当时，则 D．若，当时，的最大值与最小值的差为，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，根据题意分别求得的坐标，即可判断A选项，将分别代入解析式，得出的值，结合函数图象，即可判定B选项，根据二次函数的性质，，则两点的中点在对称轴的右侧时，，进而求得的范围，即可判断C选项，根据题意得出在抛物线上，且，解方程，即可求解． 【详解】解：当时， 解得： ∴ ∴，故A选项正确； ∵ 对称轴为直线， ∵线段的端点为，， 当抛物线经过时， 解得： 当抛物线经过时， 解得： ∴当抛物线与线段有交点时，则，故B选项正确， ∵，对称轴为直线，、在该抛物线上，当时 ∴ 解得：，故C选项不正确； 若，则抛物线解析式为 顶点为 ∴当时最小值为， 当时， ∵时，的最大值与最小值的差为， ∴， ∴在抛物线上， 当时， 解得：或（舍去） 故D选项正确 故选：C． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）写出一个经过原点且开口向下的抛物线的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设，顶点为原点，然后根据顶点式可写出此抛物线解析式． 【详解】解：开口向下且经过原点的抛物线解析式可为． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）已知方程的两个解满足，则抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴的交点求对称轴是解题的关键．若抛物线与轴的交点为和，则其对称轴为直线，即可得解． 【详解】解：依题意，抛物线与轴的交点为和， 对称轴为直线，即， 故答案为：． 13．（21-22九年级上·安徽淮北·阶段练习）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y=-（x-h）+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值． （1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第 天的日销售额最大； （2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是 【答案】 16 9＜x＜ 【分析】（1）根据题意可得，即可求得的值； （2）根据y=-（x-h）+k，得出，然后根据当月中旬日销售额达到最大值得出，取解集即可． 【详解】解：（1）根据第18天的销售额比第19天的销售额多5万元， 则：， 解得：， ∴第天的销售额最大， 故答案为：； （2）∵y=-（x-h）+k， 则，随增大而增大， ，随增大而减小，且为整数， 则，解得， ∵当月中旬日销售额达到最大值， 则， 综上：． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质是解本题的关键． 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一条抛物线（形状一定）与轴相交于E、F两点（点E在点F左侧），其顶点在线段上移动，若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最小值为，则点的横坐标的最大值为 ．    【答案】 【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点时，点的横坐标最小；当图象顶点在点时，点的横坐标最大．根据题意可知当图象顶点在点时，点的横坐标的最小值为，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在点时，点的横坐标最大，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】解：当图象顶点在时，点的横坐标的最小值为， 则可设此时抛物线的解析式为：， 将点的坐标代入得：， 解得． 当图像顶点在时，点的横坐标最大，此时抛物线的解析式为：， 令，则， 解得,， 因为点在点左侧 所以点横坐标的最大值为． 故答案为：． 三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．（23-24九年级上·安徽宿州·单元测试）反比例函数图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征． （1）把点的坐标代入函数解析式来求k的值； （2）把点代入函数解析式进行验证． 【详解】（1） ∵反比例函数图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）点不在这个反比例函数的图象上，理由如下： 当时，， ∴点不在函数图象上． 16．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 17．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在正方形中，轴，点，点．已知抛物线（，，是常数且）经过点与点，且顶点位于上，若抛物线与轴交于点，求的长．    【答案】 【分析】根据正方形的性质可求出点和点的坐标，再由抛物线的对称性可求出点的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而可求出抛物线与轴的交点，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形，点，点， ∴点，点． ∵抛物线是轴对称图形，点是抛物线的顶点且是上一点， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即点． 设该抛物线的解析式为，代入点， 得，解得． ∴该抛物线的解析式为，即． 当时，，即点， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质和抛物线的对称性，利用待定系数法求二次函数解析式以及抛物线与轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．（23-24九年级上·安徽合肥·期末） 如图，抛物线经过点、，交轴于点．为抛物线在第三象限部分上的一点，作轴于点，交线段于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)求线段长度的最大值，并求此时点D的坐标； (3)若线段把分成面积比为的两部分，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)线段长度得最大值是，此时的坐标是 (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为然后把代入求解即可得到答案； （2）求出直线AC的解析式，然后设，，利用两点距离公式表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3），分和两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴设抛物线的表达式为， 将代入表达式，解得， 抛物线的表达式为：， 即：； （2）解：设直线的表达式为：， 将代入表达式，得， 直线的表达式为：； 设，． 则； 当时，有最大值，为， 把代入，得：， ， 线段长度得最大值是，此时的坐标是； （3）解：根据题意，， 当时，有：， 解得（舍去）； 当时，有：， 解得：，（舍去）； 综上所述：当时，满足条件． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，求二次函数解析式，二次函数的最值，求一次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 19．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某公司在某地先后举行10场产品促销会，已知该产品每台成本为5万元，设第场产品的销售量为（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品50台，然后每增加一场，产品就少卖出2台； 信息2：产品的每场销售单价（万元）由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场~第5场浮动价与销售场次成正比，第6场~第10场浮动价与销售场次成反比，经过统计，得到如下数据： （场） 2 5 10 （万元） 7 10 7.5 (1)求销售量与销售场次之间的函数关系式； (2)求销售单价与销售场次之间的函数关系式； (3)在这10场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)第6场获得的利润最大，最大利润约为万元 【分析】（1）根据每增加一场，产品就少卖出2台，即可列出关系式； （2）根据“成正比”转化为一次函数，“成反比”转化为反比例函数，利用待定系数法求解即可； （3）设每场获得的利润为w万元，分两种情况求出w与x的函数解析式，并求出最大值，进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：依题意得：，其中x为正整数，且； ∴销售量与销售场次之间的函数关系式为． （2）解：设基本价为b， ①∵第1场~第5场浮动价与销售场次x成正比， ∴设p与x的函数关系式为， 依题意得， 解得， ∴； ②∵第6场~第10场浮动价与销售场次x成反比，由①知， ∴设p与x的函数关系式为， 依题意得，解得， ∴； 综上所述，销售单价p与销售场次x之间的函数关系式为： ； （3）解：设每场获得的利润为w万元， ①当时，， ∵， ∴当时，w最大，最大利润为210万元； ②当时，， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w最大，最大利润 (万元)， ∵， ∴在这10场产品促销会中，第6场获得的利润最大，最大利润约为万元 ． 【点睛】本题主要考查了求一次函数不等式，反比例函数不等式和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法求函数的解析式． 20．（2024·安徽宿州·二模）赛龙舟是我国传统的体育竞技项目，有着悠久的历史和广泛的群众基础．某龙舟队进行800米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程与时间的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程与时间的函数表达式为．     (1)求出的值，并写出启航阶段自变量的取值范围； (2)已知途中阶段龙舟速度为，当时，求该龙舟划行的总路程； (3)冲刺阶段，加速期龙舟用时将速度从提高到，之后保持匀速划行至终点，求该龙舟队完成训练总路程所需时间． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键． （1）把代入 得出的值，则可得出答案； （2）设，把代入，得出，求得，当时，求出，则可得出答案； （3）由（1）可知，把代入，求得．求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 启航阶段总路程关于时间的函数表达式为； （2）解：设，把代入，得，解得， ． 当时，． 当时，该龙舟划行的总路程为； （3）解：由（1）可知，把代入，得． 函数表达式为， 把代入，解得． ， ． 答：该龙舟队完成训练总程所需时间为． 21．（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）先将二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移8个单位，所得图象与x轴相交于点A和点B． (1)求线段的长； (2)设直线与的图象交于Q点，当的面积为18时，试确定Q点的坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”可得出的解析式为，从而可求出与x轴交点的横坐标，即得出线段的长； （2）由题意可求出Q点纵坐标为m，再根据三角形面积公式可求出，结合二次函数的最值，可求出，即Q点纵坐标为，代入的解析式，求出其横坐标即可． 【详解】（1）由题意可得的解析式为， 对于：，令，则， 解得：， ∴； （2）∵直线与的图象交于Q点， ∴． ∵，， ∴， 解得：． ∵的解析式为， ∴， ∴． 将，代入，即 解得：， ∴Q点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数与几何的综合．掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的性质是解题关键． 22．（23-24九年级上·安徽·单元测试）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线． (1)求a、b的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点． （ⅰ）当时，求与的面积之和； （ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)（i）2；（ii）存在， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意画出图形，得出，，，继而得出，，当时，根据三角形的面积公式，即可求解． （ⅱ）根据（ⅰ）的结论，分和分别求得梯形的面积，根据四边形的面积为建立方程，解方程进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，解得：； （2）解：（ⅰ）设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线， 由（1）得：， 如图所示，，，，    ∴， ， ∴当时，与的面积之和为： ； （ⅱ）当点在对称右侧时，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：； 当时，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，分类讨论，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．（2024·安徽池州·三模）如图1，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)若点P是第一象限抛物线上一点． （ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点P的坐标； （ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线与直线交于点G，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）或；（ⅱ）是，8 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴点，点， ∴可设抛物线对应的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∴，； （2）解：设． （ⅰ）如图，过点P作轴交于点Q．    设直线解析式为 反，，代入得 ，解得： ∴直线的解析式为， 则点， ∴， ∴， 整理，得，解得，， 当时，；当时，， ∴点P的坐标为或； （ⅱ）为定值． 设直线AP的解析式为，代入，， 得解得 ∴直线的解析式为． ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 把代入，得， ∴点F的坐标为， ∴． 设直线的解析式为， 代入，， 得解得 ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴点G的坐标为， ∴， ∴， 即为定值，该定值为8． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解板式、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积等知识．此题属二次函数综合题目—面积问题，在坐标系中，银题关键是掌握求三边均不与坐标轴平行的三角形面积的方法．方法一：“宽高法”．．方法二：“割补法”．. 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