新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

乌鲁木齐市101中学 2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1．（本题5分） 2． （本题5分） 3． （本题5分） 4． （本题5分） 5．（本题5分） 6．（本题5分） 7．（本题5分） 8．（本题5分） 二、多选题（共18分） 9．（本题6分） 10．（本题6分） 11．（本题6分） 第II卷（非选择题） 三、填空题（共15分） 12．（本题5分） 13．（本题5分）14．（本题5分） 已知向量在上的投影向量为- 且==1，则=_____ 四、解答题（共77分） 15．（本题13分） 16．（本题15分） 17．（本题15分）． 18．（本题17分） 19．（本题17分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$参考答案： 第1题 【答案】 ∵2= -2+ai_a-2+ai_(a-2+ai=-a+a-2列为实数， -2 .a-2=0,即a=2. 故选：B 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解 第2题 【答案】 现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为50的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10 人 则高二年级抽50-20-10=20人 20 故该校高二年级学生人数为3000× 50 =1200. 故选：C 根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解 第3题 【答案】 根据题意，若k1,k2,··,8的方差为3 则2(-3)，2(2-3)，…，2(k8-3)的方差S2=22×3=12 故选：D 根据题意，由方差的性质分析可得答案 第4题 【答案】 根据题意，数据：2,3,3,3,4,4,5,5,6,6 由于10×75%=7.5，则该组数据的第75百分位数为5， 平均数为 2+3+3+3+4+4+5+5+6+6)=41, 10 极差为6一2=4 众数为3 其中最大的为第75百分位数 故选：A 根据题意，依次求出数据的第75百分位数、平均数、极差和众数，比较可得答案 第5题 【答案】 抛掷三枚均匀的硬币，共出现2×2×2=8种情形 出现两枚正面，一枚反面的有（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），共3种， 3 ‘出现两枚正面，一枚反面的概率是。 8 故选A. 本题考查古典概型，属于基础题。 根据题意利用乘法原理可得：基本事件数8个，可求得出现两枚正面，一枚反面的有3种情形，从而求 得椰率， 答案第1页，共2页 第6题 【答案】 设事件A=“三天中至少有两天下雨”， 20个随机数中，至少有两天下雨有123,435,525,332,152,534,512,541,135,334 ,151,312,354,即事件A发生了13次，用频率估计事件A的餐率近似为20 13 故选：D 根据已知条件，先求出两天下雨随机数如的个数，再结合总随机个数，即可求解 第7题 【答案】 锐角△ABC中，角A、B.、C所对的边分别为a、b.c, a=76=8,成=兮o利，京=m4,-9,成上， “m.元=8in4_V3 2 2cosA—0,0tamA—3,·.A=3· ÷.a=7=V2+6-2 cbcosA-=√c+64-2c×8×2: 即c2-8c+64=49, 求得c=5,或c=3(此时，cosB<0,角B为钝角，舍去)， 故△ABC的面积为2bc·i血A= 2×8×5× V3 =10v5 2 故选：D 由题意，利用两个向量垂直的性质求得A,再利用余弦定理求出C,再利用三角形的面积公式 2bc·sinA,计算求得结果 第8题 【答案】 设线段AA1、BB1、CC、DD1的中点分别为A2、B2、C2、 D2,如图所示： 由题可知，四边形AA1B1B为等腰梯形， 设A1B1=a, 因为AB=2A1B1, 所以AB=AB+A1B=30 2 2 设楼台A1B1C1D1-A2B2C2D2的高为h,体积为，棱台AB1C1D1-ABCD的高为 2h,体积为V, 2+0+0h=a 12 v=c2+松+2aj,2h= 又5=38. 所以V=56 19 ×38=112 所以该“方斗“可盛米的总质量为112kg 故选：D 设线段AA1、BB1、CC1、DD1的中点分别为A2、B2、C2、D2,利用台体的体积公式计算 棱台AB1C1D1一ABCD与棱台A1B1C1D1一A2B2C2D2的体积之比，即可得出原"方 斗“可感米的总质量 答案第1页，共2页 第9题 【答案】 选项A中，m可能在a内，也可能与Q平行，故A错误： 选项B中，α与池可能相胶交，故B错误； 选项C中，α与他可能相交，故C错误 选项D中，依据面面平行的判定定理可知QB,故D正确 故选：ABC 由线面平行，面面平行的判定可判断各选项的正误 第10题 【答案】 对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人有（甲、乙），（甲、丙），（乙、丙），共3种情况，其中，甲被选 中的清况有2种，故甲被选中的概率为P= 3,故A正确： 对于B,从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该试验属于古典概型 又所有基本事件包括1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)四种情况，而能构成三角形的基本事 件只有(3,5，T)一种情况，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P= 4 ,故B正确： 21 对于C,该树枝的对梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为。=3，故C正确： 对于D,因为AUB={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式 3 得，所求的概率是7，故D错误 故选：ABC 结合古典概型的杨率计算公式对各选项依次判断即可 第11题 【答案】 如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADBG一FCEH, E D 答案第1页，共2页 在正方体ADBG-FCEH中，可知ACIEG,AC=EG=EF=FG, 故异面直线AC与EF所成的角即为EG与EF所成的角为60°，故A项错误； 同理，EF与BC所成的角即为FG与EF所成的角为60°，故B项正确： 在正方体ADBG-FCEH中，AC=CH,HC⊥EF,HC⊥EB,EF∩EB=E, 1 故HC1平面ABEF,则点C倒平面ABD的距离为2C=豆AC 是HC1 设直线AC与平面ABD所成的角为8，则sin0= AC =2,故6=30°，故C项正确： 在正方体ADBG-FCEH中，ACIEG,ABIEF,ACnAB=A,EG∩EF=E 则平面ABCI平面EFG,平面EFG∩平面CEF于直线EF,平面ABC∩平面CEF=1, 故直线EF1直线，故D项正确， 故选：BCD 根据正方体的平面展开图还原正方体，利用正方体的性质，结合异面直线的位置关系，线面位置关系 及面面平行的性质依次判断各项的正误。 第12题 【答案】 3 -2 【解析】 d=(L,-2),6=（-3,x),且d16, .d.6=1×(-3)+(-2)x=0, 即-3-2x=0, 解得x=一2 3 3 故答案为：一2 第13题 【答案】 由球的半经为3，如图， 圆柱的底面半径为2√2，则高为21/32-(2√②)2=2， ∴.S医柱m=2r×2V√2×2=8V2π 故答案为：8V2π 由已知可得图柱的高为21/32一(2√②)2=2圆柱的体积最大，再求出圆柱的侧面积。 答案第1页，共2页 第14题 【答案】 设d,b的夹角为0 6 则d在石上的投影向量为dcos0- 1b1 所以cos0=一2· 0∈0，m, 2π 所以0= 3 所划a+司i=V公2+2d.i+8=1+2x1×1x(分)+1=1 故答案为：1. 第15题 【答案】 (1).复数=(a+)2,2=4-3i,=i2, 了a2-1=3,解得a=2 ÷(a+=c2-1+2ai=3+4i,即{2a=4 (2)4=a+-@2+2ai-14+3 2 4-3i (4+3)(4-3) =4a2-6a-4到+3a2+8a-3i 25 ·工是纯虚数， ∫4a2-6a-4=0 .{3a2+8a-3t0 解得0=2诚0=-) (1)根据已知条件，结合复数相等的条件，以及复数的运算法则，即可求解。 (2)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的运算法则，即可求解。 答案第1页，共2页 第16题 、57 (1)4；(2) 4:(3)64 1)因为在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且：= 所a=子 又因为在△ABC中，cosB= =52=2+c2-2accos B 所以25 gote-ge 9 132-32=25 可 9 4 252=25 36 c2=36. 因为c>0, 所以c=6 可得a=3×6=4, (2)因为B∈(0，π) 所以sinB>0, 9 又因为co8B= 16 所以sinB=√1-cosB 9 5v7 /1 16 b 又因为在△ABC中，b=5,a=4,且 i血A= inB=imC=2R,R为△ABC外接 圆半径， 所以sinA= a血B_4x-项 b 5 4 (3)因为c0sB= 6且B∈(O,m), 所以B∈(0,2) 又因为a<b, 所以A<B, 可得A∈(0,2) 所以cosA>0, 答案第1页，共2页 因为sinA= 4 所以cosA=√V1-siA= ()- 可得sin2A=2 sin Acos A=2× V733v7 8 c0s2A=2c0s2A-1=2× 9 1 -1= -1= 9 又因为c0sB= sin B= 5v7 16 16 所以cos(B-2A)=cos Bcos2A+sin Bsin2A 57 8=64 第17题 【答案】 (1)设取出的2只球颜色不同为事件A 试验的样本空间={（白，红），（白，黄1），（白，黄2），（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2）}，共6 个样本点， 事件A包含（白，红），（伯，黄1），（伯，黄2），（红，黄1），（红，黄2），共5个样本点。 5 故P(A)= (2)试验的样本空间1={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点， 设标号和为奇数为事件A,则A包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以 42 P(A)=6=3 (3)试验的样本空间={（伯，白），（伯，红），（伯，黄1），（伯，黄2），（红，红），（红，白），（红，黄 1),(红，黄2)，（黄1，黄1），（黄1，白），（黄1，红），（黄1，黄2），（黄2，黄2），（黄2，白），（黄2，红 ),(黄2，黄1)}，共16个样本点， 其中颜色相同的有（白，白），（红，红），（黄1，黄1），（黄1，黄2），（黄2，黄2），（黄2，黄1），共有6 3 故所求概率为P=16 =8 第18题 【答案】 (1)设这m人的平均年龄为正， 则E=22.5×0.1+27.5×0.35+32.5×0.25+37.5×0.2+42.5×0.1=31.75( 岁》， 设上四分位数（第75百分位数）为a, .0.01×5+0.07×5+0.06×5=0.7<0.8 0.01×5+0.07×5+0.06×5+0.04×5=0.9>0.75, ,.a位于第四组：35,40)内 由0.1+0.35+0.25+(a-35)×0.04=0.75 解得a=36.25: (2)()由题意得，第四组应抽取4人，记为A,B,C,甲，第五组抽取2人，记为D,乙， 对应的样本空间为：={(A,B),(A,C),(A,甲)，(A,乙)，(A,D),(B,C),(B,甲 ),(B,乙)，(B,D),(C,甲)，(C,乙)，(C,D),(甲，乙)，（甲，D),(乙，D)},共15个样体 点， 设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上" 则M={(A,甲)，(A,乙)，(B,甲)，(B,乙)，(C,甲)，(C,Z),(甲，乙，（甲，D),(乙 D)},共有9个样本点， 所以P(M=n(_3 n(0)=5 答案第1页，共2页 ()设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为乏，方差为s2 设第四组的宣传使者的年龄分别为1,2，，24，平均数为元=36，方差为号=2 5 设第五组的宣传使者的年龄分别为劝，h,平均数为=42，方差为8号=1， 号=-驴=-2. 2 三1 41 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为艺，方差为82 则2」 114+∑21斯=4经+2塑-4×36+2×2 =38 6 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为38 P=2a-驴+云以-驴-空-的+②2】 4+42-42+2号+272-22) 1 = 6×(4×2+4×362-4×382+2×1+2×42-2×382)=10. 5 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10 据此估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄的平均数为38，方差约为10. (1)利用平均数和百分位数的定义求解： (②)()利用古典概型的概率公式求解： ()利用方差的计算公式求解。 第19题 【答案】 (0)证明：连接BD交AC于点O,连接EO..(1分)】 O为BD中点，E为PD中点， ∴.EO1PB..(2分) .·E0C平面AEC,PBt平面AEC,.(3分) ,.PB1平面AEC ()证明：，PA1平面ABCD ∴.CDC平面ABCD .PA⊥CD..(4纷) 又'.在正方形ABCD中，CDLAD,且PA∩AD=A .(5分)】 .CD⊥平面PAD..(6分)》 又.CDC平面PCD 平面PCD⊥平面PAD..(7分) 答案第1页，共2页 (仙)如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，轴，轴建立空间直角坐标 系..(8分) PA=AB=2,A(0,0,0),B(2,0,0).C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2),E(01,1).(9分) ,PA⊥平面ABCD,∴.AP=(0,0,2)是平面ABCD的法向量 设平面AEC的法向量为元=(x,y,z),AE=(0,1,1),AC=(2,2,0) .AE=0 则 ∫0+y+z=0 元.Ad=0 ,即 2x=2划+0=0，解得 元=(1，-1,1).(11分) cos<Ad,元>=2 3 2×√3 3…(12分) ∴二面角E一AC一D的正弦值为 3…(13分) ()连接BD交AC于点O,连接EO,由O为BD中点，E为 PD中点，知EOIPB.由此能够证明PB1平面AEC ()由PA⊥平面ABCD,知PA⊥CD.由正方形ABCD 中，CD⊥AD,知CD⊥平面PAD,由此能够证明平面PCD⊥平面PAD (国)以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用 向量法能球出二面角E一AC一D的正弦值， 答案第1页，共2页