3.2.2 双曲线的简单几何性质第2课时教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

数学省级团体赛 教学设计 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第 2 课时） 学科 数学 年级 高二 学期 秋季 授课人 王健 学校 安徽省六安第一中学东校区 书名：高中数学选择性必修第一册（2019A 版） 教科书 出版社：人民教育出版社 教材分析 本节课是 2019 人教 A 版高中数学选择性必修一第三章《圆锥曲线的方程》第二单元《双曲线》中《双曲线的简单几何性质》的第二课时，主要内容是双曲线的方程及其简单几何性质的简单应用.本节通过三个例题分别研究了在实际问题中求双曲线的方程、双曲线的轨迹方程（第二定义）、直线与双曲线的位置关系.坐标法依然是本节重要的数学思想方法.同时，在解决问题的过程中，也培养了学生数形结合、类比迁移、特殊一般、转化与划归等数学思想方法. 学情分析 学生之前已经学习过椭圆的简单几何性质及其应用，可以类比研究椭圆实际问题、轨迹方程、直线与椭圆的位置关系的方法和步骤，探究双曲线的应用．但是，学生对“例 4”中实际问题的数学模型化处理方法并不熟练，对“例 5”中轨迹方程与椭圆中的“例 6”中的轨迹方程的联系与区别及其规律性不易发现，对“例 6”中直线与双曲线的一系列问题的思想方法的统一性感悟不深，这都需要老师做适当的引导. 课程标准及目标分析 课程标准：会求实际问题中的双曲线的标准方程，会用坐标法求轨迹方程、掌握直线与双曲线的 位置关系. 目标分析：1、通过实际应用题的求解，培养学生数学抽象、数学建模核心素养. 2、在用坐标法求点的轨迹方程的过程中，培养学生数据分析、逻辑推理核心素养. 3、运用整体求解思想处理直线与双曲线的位置关系的一系列问题，培养学生直观想 象、 数学运算核心素养. 教学重难点 教学重点：双曲线的标准方程与简单几何性质的应用. 1 数学省级团体赛 教学难点：双曲线的几何性质的熟练运用. 教学方法 教法：根据本节课的特点，采用引导发现和类比归纳相结合的教学方法，引导学生利用已学知识解 决新的问题，调动学生的积极性，鼓励学生通过观察图形发现问题，突破难点。 学法：学生在教师创设的问题情境中，通过观察、类比、探究、归纳，用所学知识解决新的问题，并通过多媒体演示让学生更形象的了解了图形的变化，体现了类比和数形结合的数学思想方法的应用。 教学环境 1、网络多媒体教室 2、几何画板软件、投屏软件 课时安排 第二课时（共 2 课时） 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 环节一：复习回顾 师：问题 1：上节课我们学习了双曲线的简单几何性质，我 们分别从“数”和“形”两方面探究了椭圆的“范围”、“对 学生看图说 回顾双曲 称性”、“顶点”、“渐近线”、“离心率”，我们一起 话，连连看. 线的简单 来“看图说话”连连看！ 几何性质. 生：第一幅图是范围问题，第二幅图是对称性问题. 2 数学省级团体赛 生：第三幅图是顶点问题，第四幅图是渐近线问题，第五 幅图是离心率问题. 师：具体性质我们一起回顾一下. 双曲线的简单几何性质： 回顾双曲 线的几何 性质，提 出运用双 曲线的知 识解决有 关问题。 发展学生 数 学 抽 象、直观 想象的核 师：学以致用——这节课我们综合运用所学双曲线知识和 心素养。 坐标法来解决一些现实问题和数学问题. 3 数学省级团体赛 环节二：实际问题，建模双曲线 例 4、双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为 12m，上口半径为13m，下口半径为 25 m，高为 55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到 1m)． 师：问题 2：要从数学角度求解一个实际问题，我们分几步处理呢？ 我们可以参照下图的模式构建数学模型求解： 回顾关于 思考数学模 数学模型 型的实际应 的实际应 用题的解题 用题的解 步骤. 题步骤， 为解题做 准备. 师：你能将它进行数学模型化么？ 培养学生 生：数学模型化： 如图建立平面直角坐标系，则 A（12， 学生思考书 的数学建 0） 写，老师提 模思想， 问引导学生 并通过双 即 a=12，C（13，yC）, B（25，yB）， 逐 句 “ 翻 曲线的知 yC-yB=55,求双曲线的方程（精确到 译”，建立数 识和方程 1m）． 学模型，然 思想解决 师：请说说您的求解思路. 后 学 生 书 实 际 问 4 数学省级团体赛 生： 写，老师投 题，提高 影展示. 运算能力. 师:很不错，通过计算我们得到如下结果，这样，我们就轻松完成了双曲线模型的实际应用题的求解. 师：接下来我们来看看这种点的轨迹方程的形成有什么特 别之处？ 环节三：动点轨迹，新构双曲线 例 5、动点 M(x, y)与定点 F(4, 0)的距离和 M 到定直线 l :x=9/4 的距离的比是常数 4/3 ,求动点 M 的轨迹. 师：追问 1：“轨迹”与“轨迹方程”意思一样吗？生：不一样，轨迹是轨迹方程所代表的的图形. 师：请同学们写一写，看看谁先看清点 M 的“长相”？ 生：解：由题意可得 将上式两边平方，并化简得 所以，点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上，实轴长为 6，虚轴长 为 2√7 的双曲线. 师：追问 2：将例 5 与椭圆一节中的例 6 (113 页) 比较,哪个数据的不同导致了曲线的不同类型？ 训练学生 学生独立思 用坐标法 考并完成. 求轨迹方 程，并培 养运算能 力. 引导学生 学生观察、 自己发现 比较，发现 问题并提出 问题，产 猜想. 生认知冲 5 数学省级团体赛 生：距离之比. 师：追问 3：这个数据代表什么呢？ 生：离心率. 师：我们一起用几何画板验证一下吧！ 生：哇 师：大家刚才说这个常数代表离心率影响了最终的图形，我们来吧这个常数换成大于 0 小于 1 的常数看看轨迹是什么图形？ 师：方法归纳——解锁构建椭圆、双曲线的新方式： 师生共同：平面内到定点 F 的距离与到定直线 l（不过 F 点） 突，引发 学生深度 思考. 用几何画 板软件进 老师带领学 行动态展 生用几何画 示，既验 板验证学生 证 了 猜 的猜想，并 想，同时让学生自己 获 取 了选择改变常 “ 解锁 ” · e 的值来 椭圆、双观察轨迹图 曲线的新形的改变. 方式 —— “ 第二定义”，提高学习效率. 6 数学省级团体赛 的距离之比为常数 e 的点的轨迹. ①若常数 0<e<1,则点的轨迹为椭圆； ②若常数 e>1,则点的轨迹为双曲线. 师：常数 e 还有什么值您最想知道？ 生：常数 e=1 呢？ 师：且听下回分解. 环节四：曲直相交，关联双曲线 师：请同学们思考一下. · 1： 师：有不一样解法的同学吗？ 生 2：先联立方程组 师：方法归纳——求解直线被双曲线所截得的线段的长师生共同： 学生思考后 由于求弦回答方法思 长问题在路，有不同 圆、椭圆 方法的同学 中已经学 做方法补充. 习，故让 学生自己 写一写， 并发现自 身的不足 之 处 ,渗 透 “ 设而 不求，整 体求解 ” 7 数学省级团体赛 思想. 师：追问 1：已知条件不变，能求 AB 中点 M 的坐标吗？ 学生思考后 通过 “ 追 生：可以. 回答“追问 问 1”变式 师：除了求弦长、中点，还能求什么？讨论一下！ 1”、“追问 2” “ 中点问 生：能求△AOB 的面积.（追问 2） “追问 3” 题”，通过 “追问 2” 变式 “ 面 积问题”， 通过 “ 追 师：还能求什么？比如说向量？（追问 3） 问 3”变式 生：可以. “ 向量问 师生共同： 学生掌握方 题”，以及 法后相互命 “追问 5” 题，增加趣 含 参 问 味性. 题，让学 师：还有吗？课后请相互命题送给你的同学？（追问 4） 生在比较 让学生回答 师：追问 5：若将直线方程改为 y=k(x−3),此时联立后的 中自己发 方程组将会含有什么参数,若已知弦长为 6，能求出 k 吗？ 含参问题的 8 数学省级团体赛 生：可以，含参数 k，解方程即可. 师：其他几个追问呢？ 生：也可以. 求解思路， 现这一类 并发现方法 问题的共 的一致性. 同求解方 法. 师生：方法归纳：设而“不求”——不单求，整体求. 环节五：达标检测，摸底双曲线 通过轨迹 方程的求 解和直线 学生练习检 与双曲线 测 位置关系 的考察， 检测本节 课学生所 学. 环节六：课时小结，回归双曲线 1、例 4 是什么问题？你学会了什么？ 生：实际问题，数学建模的方法步骤. 2、在例 5 中，您又“解锁”椭圆与双曲线了吗？ 学生进行课 生：到定点距离与定直线距离之比为常数的点的轨迹. 堂小结，还可以提出自 3、通过例 6，直线与双曲线相交时，有哪些问题，怎样处 己的困惑，师生探讨。 理？ 生：弦长、中点、面积等问题，韦达定理，设而不求，整体求解. 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 9 数学省级团体赛 环节七：课后作业，巩固双曲线 （一）基础类作业（必做） 教科书第 127 页习题 3.2 第 9、10、13、14 题 分层次布 置作业， （二）探究类作业（选做） 学生课后根 提高学生 据能力完成 的学习效 针对课堂中直线与双曲线的相关问题进行自命题，并 分层作业. 率，并发 在同学中相互“送题”. 现教学的 不足。 板书设计 教学反思 学生对于例 4 这道数学建模类型的实际应用题，之前不知道从哪里下手，引导学生逐步“翻译”为数学语言后学生适应多了，这提醒我在以后的教学中引导学生“逐句”、“逐步”分析问题，从而更轻松的解决问题；对于“例 5”中用几何画板软件验证学生的猜想，学生眼前一亮，非常感兴趣，这提醒我在以后的教学中多使用数学软件，多设计动画演示，从而呈现出更有画面感的教学效果；对于“例 6”的层层递进式的追问，学生也能逐个回答并解决，从而解决直线与双曲线的位置关系的关联性问题，并且对于课后将自己设计的“变式”题送个好朋友非常有兴趣；因此，我会在以后的教学中多设计有梯度的层层追问，多设计趣味性的课堂、课外教学. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$