3.2.2双曲线的简单几何性质第2课时教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线的简单几何性质   一、教学目标 1.会求双曲线的渐近线方程及已知渐近线方程求双曲线方程等问题； 2.掌握直线与双曲线的位置关系及其判定； 3.理解并掌握直线与双曲线的交点个数的判断及求法； 4.会利用双曲线的简单几何性质求双曲线的弦长等简单的应用.   二、教学重难点 重点：直线与双曲线位置关系. 难点：结合图象讨论分析直线与双曲线位置关系.   三、教学过程 （1） 复习导入 师生活动：教师提出问题，引导学生进行回顾与思考. 思考：根据所学的椭圆的简单几何性质的有关知识，填写下表： 图形 方程 范围 或， 或， 对称性 关于轴、轴、原点对称 关于轴、轴、原点对称 顶点 离心率 渐近线 设计意图：通过复习上一节课的内容，巩固椭圆有关的基础知识，为本节课进一步深入研究椭圆的几何性质相关的问题作铺垫. （二）探究新知 任务1：双曲线渐近线的求法 探究：求满足下列条件的双曲线的标准方程： （1） 以直线为渐近线，过点； （2） 与双曲线具有相同的渐近线，且过点； 师生活动：教师给出探究问题，学生分析，自主作答，教师评价. 解：（1）由题意，可设所求双曲线方程为. 将点的坐标代入方程得，即. 因此，所求双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线方程为. 由点在双曲线上得. 故所求双曲线的标准方程为. 总结：求双曲线渐近线的方法： （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则求其渐近线方程时，可令，则，得. （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线方程为， 根据已知条件求出的值即可. （3） 求与双曲线有公共渐近线的双曲线方程： 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（0，焦点在轴上；0，焦点在轴上），根据已知条件求出的值即可. 设计意图：通过探究学习，让学生掌握双曲线的渐近线的求法，培养学生的计算能力. 任务2：直线与双曲线的位置关系的判断 思考：直线与椭圆的位置关系有几种？如何研究直线与椭圆的位置关系？ 答：三种：相离、相切、相交； 有两种方法： 方法一：图象法； 方法二：判别式法：把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为一元二次方程，通过方程的判别式（或解的个数）来说明： (1)当时，直线与椭圆有两个公共点. (2)当时，直线与椭圆只有一个公共点. (3)当时，直线与椭圆没有公共点. 设计意图：通过回忆、总结加强对直线与椭圆位置关系的感性和理性认知，并为学习直线与双曲线的位置关系做铺垫. 思考：类比直线与椭圆的位置关系的研究方法,如何研究直线与双曲线的位置关系？ 探究1：图象法 师生活动：教师引导学生作图，教师评价. 答：一个交点 两个交点： 没有交点： 探究2：判别式法 已知直线与双曲线，当实数为何值时，直线与双曲线：（1）没有公共点；（2）有两个公共点；（3）有一个公共点. 师生活动：教师提出问题，学生思考，教师补充说明. 分析：联立方程组，消去，得-----① 若，即时，方程①为一次方程，只有一解，直线与双曲线有一个公共点； 若，， 当，即时，方程①无解，直线与双曲线没有公共点； 当，即时，方程①有两个相等的根，直线与双曲线只有一个公共点； 当，即或时，方程①有两个不相等的根，直线与双曲线有两个公共点. 答：（1）当时，直线与双曲线没有公共点； （2）当或时，直线与双曲线有两个公共点； （3）当或时，直线与双曲线只有一个公共点. 注意：（1）三个问题中，前两个问题类似直线与椭圆的位置关系，但问题（3）要对二次项的系数加以讨论，不同于前面的情况，比较特殊. （2）直线与双曲线有一个公共点的情况有两种：一种是直线与双曲线的渐近线平行；另一种是直线与双曲线相切. 探究3：已知直线与双曲线，试探究其交点个数情况及位置关系. 答：联立，消去，得-------① （1）若即，直线与双曲线的渐近线平行或重合.方程①为一元一次方程： 当时，方程无解.直线与 双曲线无交点，此时直线为，直线与渐近线重合，位置关系：相离. 当时，方程①有唯一解，直线与双曲线有唯一公共点，此时直线为，直线与渐近线平行，位置关系：相交. （2） 若即，. 当时，只有一个公共点，直线与双曲线相切； 当时，有两个公共点，直线与双曲线相交； 当时，没有公共点，直线与双曲线相离. 结论：有一个公共点：①直线与渐近线平行； ②直线与双曲线相切. 有两个公共点：. 没有公共点：直线与双曲线相离①，即； ② 设计意图：通过类比直线与椭圆的位置关系的研究方法，从特例出发到一般情形的分析论证，得出直线与双曲线的位置关系，培养学生的类比推理能力. 探究4：已知直线与双曲线相交于两点，当满足什么条件时，点位于双曲线的同一支上？满足什么条件时，点位于双曲线的两支上？ 师生活动：教师展示交点位于双曲线的同一支上与位于双曲线的两支上的图象，引导学生观察并思考它们有什么共同点和不同点，再归纳总结分析，得出结论. 答：共同点：都有两个公共点. 不同点：交点在同一支上时，两交点的横坐标同号，交点在两支上时，两交点的横坐标异号.由二次方程的根与系数关系，结合直线与双曲线的位置关系的条件可得： ①点在同一支上； ②点分别在两支上. 设计意图：通过数形结合，对比讨论的方式，让学生进一步理解直线与双曲线的位置关系，达到对知识的内化与延伸. （三）应用举例 例1：已知过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率的值． 师生活动：教师出示例1，引导学生求解，学生作答，教师评价. 分析：与判断直线与椭圆的位置关系不同，当直线与双曲线有一个公共点时，除了考虑联立直线和双曲线的方程，消元看一元二次方程的根的判别式外，还需考虑直线和渐近线平行，以及直线斜率不存在且与双曲线相切这两种特殊情况. 解：可分两种情况： （1）当直线斜率不存在时，：与双曲线相切，符合题意； （2）当直线斜率不存在时，设直线的方程为，联立整理得 若，即，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点； 若，则，解得 综上可得，直线的斜率不存在或或 设计意图：通过对直线与双曲线有一个交点时复杂情况的讨论研究，让学生进一步理解直线与双曲线的位置关系. 例2：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹． 师生活动：教师出示例2，引导学生画图分析，学生作答，教师点评. 解：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合， 由此得． 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为的双曲线．  思考：将这个例题与教材椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？ 师生活动：教师提出思考问题，学生对比两道例题，总结规律，尝试回答. 答：圆锥曲线的统一定义：平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数. 若常数，即，则点的轨迹为椭圆，方程为. 若常数，即，则点的轨迹为双曲线，方程为. 设计意图：通过例2的学习，获得求双曲线轨迹方程的方法，与教材椭圆一节的例6对比，总结规律，引出圆锥曲线的统一定义，提升学生的数学抽象能力，发展学生的逻辑推理和数学运算等核心素养. 例3：如图所示，过双曲线右焦点倾斜角为30的直线交双曲线于，两点，求. 师生活动：教师出示例3并指导学生类比椭圆的弦长求法，分析问题，然后由学生独立完成，教师视情况讲解、点评. 解：方法一：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为,. 因为直线的倾斜角是30，且经过右焦点，所以直线的方程为.① 由，消去，得，解方程，得 =. 将的值分别代入①，得 2， . 于是，两点的坐标分别为，， 所以， 方法二：由双曲线的方程得，， ，，． 直线的方程为． 设，，由得． ，． ．  总结：解决与双曲线有关的弦长问题和解决椭圆中的弦长问题类似，有两种方法： （1）求出两个交点坐标，用两点间距离公式计算； （2）“设而不求”，根据弦长公式 或计算. 设计意图：让学生熟悉直线与双曲线相交时弦长的求法，培养学生的逻辑推理与数学运算的核心素养. （四）课堂练习 1.已知双曲线的离心率为分别为双曲线的左、右两个顶点，左顶点到双曲线渐近线的距离为； 求双曲线的方程； 若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 解：左顶点到双曲线渐近线的距离为； 由题意可知：，则得，双曲线的方程为； 设直线， 联立，消元可得， ， ，则． 综上，的值为或． 2.双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线的离心率为． 求双曲线的方程； 若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程． 解：设双曲线的方程为， 椭圆的焦点为，，  ， 双曲线的离心率为，即， 解得，， 双曲线的方程为； 设弦的两端分别为，． 则有： 所以， 即， 弦中点为， 故直线的斜率， 则所求直线方程为：， 即． 设计意图：通过课堂练习，帮助学生进一步巩固本节可所学的内容，提高学生解决问题的能力. （五）归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 设计意图：通过课堂小结，帮助学生进一步巩固本节课的知识，构建自己的知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $$