第24讲 逆命题和逆定理(二类知识点+五大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第24讲 逆命题和逆定理（五大题型） 学习目标 1、 掌握互逆命题的有关概念； 2、 知道互逆定理； 3、 逆命题的几何证明。 一、互逆命题 我们学过下列两个命題： (1)两直线平行，内错角相等. (2)内错角相等，两直线平行. 分析这两个命题的题设和结论，我们看到命题(1)的题设和结论正好分别是命题(2)的结论和题设. 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫 做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫 做它的逆命题. 上面的两个命题就是互逆命题，如果命题(1)叫做原命题，那么命题(2)叫做命题(1)的逆命题. 二、互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理. 注意：原命题是定理，逆命题不一定是定理.一般来说，所有的定理都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理. 【即学即练1】命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题． 【解析】解：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行 【即学即练2】命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 ． 【答案】有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形 【分析】根据逆命题的定义写出即可． 【解析】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”． 故答案是：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，掌握逆命题的定义是解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【即学即练3】下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C．如果一个三角形的两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 【答案】B 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的判断，熟练掌握直角三角形，等边三角形及全等三角形等知识是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，即可求解． 【解析】A、逆命题：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形是轴对称图形，正确，为真命题； B、逆命题：如果两个三角形全等，那么这两个三角形关于某个点成中心对称，错误，为假命题； C、逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角的和为，正确，为真命题； D、逆命题：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形能够互相重合，正确，为真命题． 故选：B． 【即学即练4】下列命题中，其逆命题是假命题的是(  ) A．等腰三角形的两个底角相等 B．若两个数的差为正数，则这两个数都为正数 C．若ab＝1，则a与b互为倒数 D．如果|a|＝|b|，那么a2＝b2 【答案】B 【解析】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”是真命题，不符合题意； “若两个数的差为正数，则这两个数都为正数”的逆命题“若两个数都为正数，则它们的差也为正数”是假命题，符合题意； “若ab=1，则a与b互为倒数”的逆命题“若a与b互为倒数，则ab=1”是真命题，不符合题意； “如果|a|＝|b|，那么a2＝b2”的逆命题是“如果a2＝b2，则|a|＝|b|”是真命题，不符合题意； 故选：B. 【即学即练5】下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．两直线平行，同旁内角互补； B．两个全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余； D．两内角相等的三角形是等腰三角形 【答案】B 【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答． 【解析】A．其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理； B．其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理； C．其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理； D．其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理． 题型1：写出逆命题 【典例1】．命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是 ； 【答案】如果两个角的余角相等，那么这两个角是等角 【分析】本题主要考查了逆命题的定义，正确理解原命题与逆命题的关系是关键．题设是：两个角是等角，结论是：它们的余角相等．把题设与结论互换即可得到逆命题． 【解析】解：命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等． 故答案是：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等． 【典例2】．命题“如果是正数，那么”的逆命题是 ． 【答案】如果，那么是正数 【分析】本题考查了逆命题； 交换命题的条件和结论即可得到逆命题． 【解析】解：“如果是正数，那么”的逆命题是“如果，那么是正数”， 故答案为：如果，那么是正数． 【典例3】．命题“邻补角互补”的逆命题是（    ） A．真命题 B．假命题 C．有时是真命题，有时是假命题 D．互补的两个角相邻 【答案】B 【分析】根据命题“邻补角互补”写出的它的逆命题，然后判断真假即可． 【解析】解：“邻补角互补”的逆命题是“互补的角是邻补角”，这句话是错误的，是假命题， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与逆命题，以及判断命题的真假，能准确写出原命题的逆命题是解题的关键． 【典例4】．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 【答案】如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 【分析】本题考查了把命题改成“如果…，那么…”形式及逆命题的定义，关键是要找到什么是条件什么是结论．本命题是判断一个三角形是等边三角形，所以“如果”后面的是三角形具备的条件，那么后面的是“等边三角形”这一结论 【解析】解：把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形， 则逆命题是：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等． 故答案为：如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三个角都相等 【典例5】．命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，根据题意写出命题的逆命题即可． 【解析】解：命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数， 故答案为：在数轴上，到原点的距离相等的点表示的数互为相反数． 【典例6】．命题“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是 【答案】轴对称图形是等腰三角形 【分析】交换原命题的题设和结论后即可写出该命题的逆命题． 【解析】解：命题“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是轴对称图形是等腰三角形， 故答案为：轴对称图形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了命题与逆命题的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 题型2：逆命题和逆定理的综合辨析 【典例7】．下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 【解析】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 【典例8】．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】根据定理的定义和平行线的性质与判定、余角的定义和垂线的性质逐项判断即得答案． 【解析】解：A、内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题，本选项不符合题意； B、同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理，本选项符合题意； C、一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题，本选项不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题，本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理、平行线的性质和判定、余角的概念和垂直的性质等知识，一个命题是定理首先它必须是一个真命题，掌握以上基本知识是解答的关键． 【典例9】．下列定理中，没有逆定理的是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【解析】解：A项，两直线平行，同位角相等的逆命题是：同位角相等，两直线平行，是真命题，即A项有逆定理； B项，对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，即B项没有逆定理； C项，全等三角形的对应边相等的逆命题是：对应边相等的两个三角形是全等三角形，是真命题，即C项有逆定理． D项，两直线平行，同旁内角互补的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，即D项有逆定理． 故选：B． 【典例10】．下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题 C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 【答案】B 【分析】根据命题、逆命题，真假命题的关系对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：A、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误； B、一个命题一定有逆命题，正确，故本选项正确； C、一个定理不一定有逆定理，故本选项错误； D、假命题一定有逆命题，错误，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 题型3：判断逆命题的真假 【典例11】．下列命题中，其逆命题成立的是（　　） A．两条直线平行，内错角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果a=b，那么a2=b2 【答案】A 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解析】A、两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立； B、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不一定相等也可能是相反，不成立； C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，不一定全等，不成立； D、如果a=b，那么a2=b2的逆命题是如果a2=b2，那么a=b，也可能是a=﹣b，不成立； 故选：A． 【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 【典例12】．下列各命题的逆命题成立的是（      ） A．若a的倒数为，则a是整数 B．若三个数满足，则a，b，c一定是三角形的三条边 C．若△ABC与△A′B′C′关于某直线对称，则△ABC与△A′B′C′一定全等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【分析】先写出每个命题的逆命题，再判断真假． 【解析】解：A．原命题的逆命题是：若a是整数，则a的倒数为． 此命题错误，没有排除0，0没有倒数，A不符合题意． B．原命题的逆命题是：若a，b，c是三角形的三条边，则这三个数满足． 此命题错误，满足是三角形的三条边不一定是直角三角形，自然也不一定满足，B不符合题意． C．原命题的逆命题是：若△ABC与△A′B′C′全等，则△ABC与△A′B′C′关于某直线对称． 此命题错误，全等关系与位置无关，不能推导对称关系，C不符合题意． D．原命题的逆命题是：同位角相等，两直线平行．教材定理，显然正确，D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查写出一个命题的逆命题并判断真假，掌握写原命题的逆命题的方法和排除法是解题的关键． 【典例13】．下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【解析】①逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，假命题； ②逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； ③逆命题是等边对等角，真命题； ④逆命题是同位角相等，两条直线平行，真命题； ⑤逆命题是面积相等两三角形全等，假命题． 故选：B． 题型4：写出逆命题并判断真假 【典例14】．命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”），此命题的逆命题是： ． 【答案】 假 如果，那么 【分析】根据逆命题的题设是原命题的结论，逆命题的结论是原命题的题设解答． 【解析】解：“如果，那么”是假命题， 它的逆命题是：如果，那么， 故答案为：假；如果，那么． 【点睛】本题主要考查命题与逆命题的关系，命题的真假判断，正确的命题叫真命题． 【典例15】．命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是 ，它是 （填“真命题”或“假命题”）． 【答案】 如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等； 假命题 【分析】依据逆命题的定义及真假命题的判断方法可得 【解析】“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的条件是两个实数相等，结论是它们的绝对值相等，因此该命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等”； 比如，但，所以是假命题 故答案为：如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等；假命题 【点睛】本题考查了逆命题的定义：把原命题的条件当结论，把结论当条件得到的命题就是该命题的逆命题，要说明一个命题是假命题举一个反例即可，掌握相关的定义、定理等是解题关键． 【典例16】．命题“等角的余角相等”的条件为 ，结论为 它的逆命题为 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果两个角与另外两个相等的角互余 这两个角相等 如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余 假 【分析】本题考查了逆命题，判断一个命题的逆命题的真假，根据互逆命题的定义先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可，正确写出原命题的逆命题是解题的关键． 【解析】解：“等角的余角相等” 的条件为为如果两个角与另外两个相等的角互余， 结论为那么这两个角相等， 它的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余，逆命题是这是一个假命题， 故答案为：如果两个角与另外两个相等的角互余，这两个角相等；如果两个角相等，那么这两个角与另外两个相等的角互余，假． 【典例17】．写出下列命题的逆命题，并判断其真假： (1)若，则； (2)个位数是0的数能被2整除． (3)同位角相等，两直线平行； (4)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)若，则，是真命题 (2)能被2整除的数的个位数是0，是假命题 (3)两直线平行，同位角相等，为真命题 (4)对应角相等的三角形全等，为假命题 【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，进而判断它的真假即可． 【解析】（1）解：逆命题为若a3＝b3，则a＝b，是真命题； （2）逆命题为能被2整除的数的个位数是0，是假命题． （3）逆命题为两直线平行，同位角相等，为真命题； （4）逆命题为：对应角相等的三角形全等，为假命题． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 【典例18】．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角； (4)有一个角是60°的三角形是等边三角形． 【答案】(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题 (2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题 (3)内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等 (4)等边三角形有一个角是60°真命题 【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可． 【解析】（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题； （2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题； （3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等； （4）等边三角形有一个角是60°真命题． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 题型5：逆命题有关的几何证明 【典例19】．根据命题“两直线平行，内错角相等”，解决下列问题： （1）写出逆命题； （2）判断逆命题是真命题还是假命题； （3）根据逆命题画出图形，写出已知、求证． 【答案】（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；（2）是真命题；（3）见解析 【分析】（1）把命题的题设和结论交换即可； （2）根据平行线的判定方法解答； （3）把文字叙述转化为图形写出已知求证即可． 【解析】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行； （2）是真命题； （3）已知：如图，， 求证：． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【典例20】．（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB//CD，则BC//AD．请说明理由． 理由如下： ∵AB//CD（已知）， ∴∠ABE＝∠______（______）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴______（______）． ∴BC//AD（_______）． （2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例． 【答案】（1）C；两直线平行，同位角相等；∠ABE＝∠A；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）问题（1）的逆命题，已知∠A＝∠C，若BC//AD，则AB//CD，它是真命题，证明见解析 【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理证明即可； （2）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据平行线的判定定理和性质定理证明即可． 【解析】（1）证明：∵AB//CD（已知）， ∴∠ABE＝∠C（两直线平行，同位角相等）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝∠A（等量代换）， ∴BC//AD （内错角相等，两直线平行）； （2）问题（1）的逆命题，已知∠A＝∠C，若BC//AD，则AB//CD，它是真命题， 证明：∵BC//AD，（已知）， ∴∠ABE＝∠A（两直线平行，内错角相等）， ∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠ABE＝∠C（等量代换）， ∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查的是平行的性质和判定，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 【典例21】．如图． (1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分 (2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么 【答案】(1)见解析 (2)逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题 【分析】（1）过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G，证明，再证明，得到，即可证明直线平分． （2）根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题． 本题考查了三角形全等的判定和性质，逆命题的书写与真假判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【解析】（1）证明：过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴直线平分． （2）解：根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形． 证明：过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G， ∵直线平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴与的面积相等． 故逆命题是真命题． 一、单选题 1．下列命题中，逆命题是假命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1 C．平行四边形的对角线互相平分 D．如果 x＞y，那么 mx＞my 【答案】D 【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定和性质、绝对值的概念、圆心角与弧之间的关系、不等式的性质判断即可． 【解析】解：A、两直线平行，同位角相等，是真命题，它的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题； B、如果|a|＝1，那么a＝1，是假命题，它的逆命题是如果a＝1，那么|a|＝1，是真命题； C、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，它的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题； D、如果x＞y，那么mx＞my，是假命题，它的逆命题是如果mx＞my，那么x＞y，是假命题； 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．等边三角形是锐角三角形 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】分别写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【解析】解：A、逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意； B、逆命题为如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等，不成立，不符合题意； C、逆命题为如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，不成立，不符合题意； D、逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了写出命题的逆命题，等边三角形的性质性质，实数的性质，平行线的性质与判定，判断真假命题，掌握相关性质定理是解题的关键． 3．下列说法不正确的是（    ） A．命题有真命题，也有假命题 B．要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可 C．一个定理的逆命题是原定理的逆定理 D．要说明一个命题是真命题，需要进行证明 【答案】C 【分析】根据所学命题的相关知识判断选择即可． 【解析】命题有真命题，也有假命题，是正确的，故A不符合题意； 要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可，是正确的，故B不符合题意； 一个定理的逆命题是原定理的逆命题，逆命题不一定正确，即不一定是原定理的逆定理，原说法错误，故C符合题意； 要说明一个命题是真命题，需要进行证明，是正确的，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了命题的分类、命题的证明、命题与定理的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．同角的余角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】先写出各个命题的逆命题，再判断其真假即可． 【解析】解：A. 对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，是假命题；     B. 全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形是全等三角形，是假命题； C. 同角的余角相等的逆命题是余角相等的两个角是同角，是假命题；     D.两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题． 故选：D． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理． 5．在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补； B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等； C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等； D．两个相等的角是对顶角． 【答案】C 【分析】先写出逆命题，再根据相关性质，定义判断即可． 【解析】解：A逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题， ∴A不符合题意； B逆命题是如果两个三角形的对应边相等，那么这两个三角形全等，是真命题， ∴B不符合题意； C逆命题是如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，是假命题， ∴C符合题意； D逆命题是如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是真命题， ∴D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了命题，互逆命题，命题的真假，熟练确定逆命题，灵活运用相关知识判断是解题的关键． 6．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．如果，那么 C．钝角三角形中有两个锐角 D．如果两个角是直角，那么它们相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题，逆命题，正确写出逆命题，并正确判断正误是解题的关键． 先写出逆命题，后逐一判断正误即可． 【解析】解：A．选项逆命题为：若，则，则该逆命题是真命题，故A符合题意； B．选项逆命题为：如果，那么，根据和可能为相反数，可得该逆命题是假命题，故B不符合题意； C．选项逆命题为：有两个锐角的三角形是钝角三角形，根据三角形可能为直角三角形和锐角三角形，可得该逆命题是假命题，故C不符合题意； D．选项逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，两相等的角可以是非直角，可得该逆命题是假命题，故D不符合题意． 故选：A． 7．下列命题与它的逆命题都为真命题的是（     ） A．已知非零实数x，如果为分式，那么它的倒数也是分式． B．如果x的相反数为7，那么x为-7． C．如果一个数能被8整除，那么这个数也能被4整除． D．如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数． 【答案】B 【分析】先判断原命题的真假，然后分别写出各命题的逆命题，再判断逆命题的真假. 【解析】解：A. 的倒数是，不是分式，原命题是假命题，不符合题意； B. 如果x的相反数为7，那么x为-7是真命题，逆命题为：如果x为-7，那么x的相反数为7，是真命题，符合题意； C. 如果一个数能被8整除，那么这个数也能被4整除是真命题，逆命题为：如果一个数能被4整除，那么这个数也能被8整除，是假命题，不符合题意； D.因为两个奇数的和也是偶数，所以原命题是假命题，不符合题意； 故选B. 【点睛】本题主要考查命题的逆命题和命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 8．下列定理中，有逆定理的是(  ) A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．等底等高的两个三角形面积相等 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】要判断一个定理是否存在逆定理，需写出原定理的逆命题，并判断其真假； 【解析】A. 两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，真命题，故有逆定理； B.全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等两个三角形是全等三角形，假命题，故没有逆定理； C. 等底等高的两个三角形面积相等的逆命题是两个三角形面积相等则等底等高，假命题，没有逆定理； D. 对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故没有逆定理； 故选A. 【点睛】分析题意，回忆逆定理的概念是解答本题的关键. 9．下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理、三角形内角和定理，根据逆命题的定义、三角形内角和定理、真假命题的定义、互为逆命题的两个命题的真假没有关系进行判断即可． 【解析】解：A、任何命题都有逆命题，故不符合题意； B、“三角形的内角和等于”是真命题，故不符合题意； C、命题的逆命题不一定是正确的，故不符合题意； D、定理的逆命题不一定是真命题，因此每个定理不一定都有逆定理，故符合题意； 故选：D． 10．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．二次根式是负数 B．若最简二次根式与能合并成一项，则 C．若，则 D．当时， 【答案】C 【分析】先分别写出各个选项的逆命题，再逐个进行判断即可． 【解析】解：A、“二次根式是负数”的逆命题是“如果是负数，那么是二次根式”是假命题，不符合题意； B、“若最简二次根式与能合并成一项，则”的逆命题为：“若，则最简二次根式与能合并成一项”，是假命题，不符合题意； C、“若，则”的逆命题为“若，则”，是真命题，符合题意； D、“当时，”的逆命题为“当时，则”，是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，写出命题的逆命题，解题的关键是正确写出各个命题的逆命题，以及二次根式的性质． 二、填空题 11．题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形； 【分析】先找到原命题的题设和结论，在将题设和结论互换，即可得到答案． 【解析】解：原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是：“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”． 【点睛】本题考查命题的转化，准确找到命题的题设和结论进行转化是解题的关键． 13．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 命题．(填“真”或“假”) 【答案】假 【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，把题设与结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可． 【解析】解：“全等三角形的对应角相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：对应角相等，因而逆命题是：对应角相等的三角形全等．是一个假命题． 故答案为：假． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 14．命题“平行于同一条直线的两直线平行”的逆命题是 ； 【答案】如果两条直线平行，那么它们平行于同一条直线． 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“平行于同一直线的两直线平行”的条件是“两条直线平行于同一直线”结论是“两条直线平行”，故命题“平行于同一直线的两直线平行”的逆命题是如果两条直线平行，那么它们平行于同一条直线． 【解析】命题“平行于同一直线的两直线平行”的逆命题是：如果两条直线平行，那么它们平行于同一条直线． 故答案为如果两条直线平行，那么它们平行于同一条直线． 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 15．命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 【分析】交换原命题的题设和结论即可求得原命题的逆命题． 【解析】解：命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”． 故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 【点睛】本题考查了逆命题的概念，弄清逆命题的概念及与原命题的关系是解题的关键． 16．命题“面积相等的三角形全等”的逆命题是 ． 【答案】全等三角形的面积相等 【分析】将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题． 【解析】解：∵原命题的条件是：三角形的面积相等，结论是：该三角形是全等三角形． ∴其逆命题是：全等三角形的面积相等． 故答案为：全等三角形的面积相等． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题． 17．请写出命题“如果|x|=|y|，那么x2=y2”的逆命题 ． 【答案】如果x2=y2，那么|x|=|y| 【分析】直接利用逆命题的写法就是将原命题的结论与题设交换进而得出答案． 【解析】解：“如果|x|=|y|，那么x2=y2”的逆命题是“如果x2=y2，那么|x|=|y|”． 故答案为：如果x2=y2，那么|x|=|y|． 【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握逆命题的定义是解题关键． 18．如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等，其逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 【答案】 若两个三角形全等，那么这两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等; 真 【分析】根据逆命题的定义，写出逆命题，再根据全等三角形的性质进行判断． 【解析】解：如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等，其逆命题是如果两个三角形全等，那么这两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等;这个逆命题是真命题． 故答案为：若两个三角形全等，那么这两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等;真． 【点睛】本题考核知识点：全等三角形的性质. 解题关键点：熟记全等三角形的性质． 三、解答题 19．请写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)如果，那么，； (2)若两个角互补，则这两个角的和为； (3)若，则． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）写出原命题的逆命题，根据有理数的加法法则计算，判断即可； （2）写出原命题的逆命题，根据补角的概念判断； （3）写出原命题的逆命题，根据不等式的基本性质判断． 【解析】（1）如果，那么，的逆命题是如果，，那么，是真命题； （2）若两个角互补，则这两个角的和为的逆命题是若两个角的和为，则这两个角互补，是真命题； （3）若，则的逆命题是若，则， 当c=0时不成立，所以是假命题． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，解决本题的关键是：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 20．写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 【答案】“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”．原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题；如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，进行求解即可． 【解析】解：“相等的角是内错角”这个命题的逆命题是：“内错角相等”．原命题：相等的角不一定是内错角，是假命题；内错角也不一定是相等的，也是假命题；原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【点睛】本题主要考查了逆命题与互逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 21．指出下列命题中的条件和结论： （l）任意两个奇数之和是偶数； （2）互余的两个角不一定相等； （3）如果，那么； （4）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条直线垂直． 【答案】（1）条件：任意两个奇数相加，结论：和是偶数． （2）条件：任意两个角互余，结论：这两个角不一定相等． （3）条件：，结论：． （4）条件：一条直线和两条平行线中的一条垂直，结论：这条直线也和另一条直线垂直． 【分析】根据命题的组成，把命题写成“如果……那么……”形式，“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论，就可以得到命题的条件和结论． 【解析】解：（1）把命题写成“如果……那么……”形式为：“如果任意两个奇数相加，那么和是偶数”． 条件：任意两个奇数相加；结论：和是偶数； （2）把命题写成“如果……那么……”形式为：“如果任意两个角互余，那么这两个角不一定相等”． 条件：任意两个角互余；结论：这两个角不一定相等； （3）命题是“如果……那么……”形式， 条件：；结论：； （4）命题是“如果……那么……”形式， 条件：一条直线和两条平行线中的一条垂直；结论：这条直线也和另一条直线垂直． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识点，把命题写成“如果……那么……”形式，了解“如果”后面的是条件，“那么”后面的是结论是解题的关键． 22．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”． （1）写出此命题的逆命题； （2）逆命题是真命题还是假命题？若为真命题，请画出图形，写出“已知”，求证并证明；若为假命题，请举反例说明． 【答案】（1）两边上的高相等的三角形是等腰三角形；（2）真命题，画图证明见解析 【分析】（1）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题； （2）判断逆命题是真命题，画出图形判断即可． 【解析】解：（1）逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形． （2）真命题． 已知：一个三角形ABC的两边AB、AC上的高BD、CE相等， 求证：这个三角形ABC是等腰三角形． 证明：∵BD、CE是△ABC的高， ∴CE⊥AB，BD⊥AD， ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∵∠A=∠A， ∵BD=CE， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC， ∴AB=AC， ∴三角形ABC是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 23．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 24．写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是真命题．（要求写出已知、求证和证明过程） . 【答案】一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形，证明见解析. 【分析】（1）交换命题的题设和结论即可写出其逆命题； （2）通过HL证得Rt△BCD≌Rt△CBE得到∠ABC=∠ACB，则等角对等边：AB=AC，即△ABC是等腰三角形． 【解析】逆命题是：一个三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD＝CE， 求证：△ABC是等腰三角形. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB. ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， 又∵BD＝CE，BC＝CB， ∴Rt△BCD≌Rt△CBE(H.L.)， ∴∠BCD＝∠CBE， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形 【点睛】本题考查了逆命题及等腰三角形的判定．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 注：没学HL的话，证三角形ABD和三角形ACE全等（AAS），可得结论。 25．写出命题“等腰三角形底边上的角平分线与中线互相重合”的逆命题，并用推理的方法证明你所写的这个逆命题是真命题. 逆命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 证明： 【答案】逆命题：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：△ABC中，AD⊥BC，BD＝DC 求证：△ABC是等腰三角形 证明：见解析 【分析】根据逆命题的概念写出逆命题；写出已知，求证，证明△ADB≌△ADC，根据全等三角形的性质证明结论． 【解析】定理“等腰三角形底边上的角平分线与中线互相重合”的逆命题为：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形； 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，BD＝DC， 求证：△ABC是等腰三角形 证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 在△ADB和△ADC中， ， ∴△ADB≌△ADC（SAS）． ∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形； 故答案为：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查命题与逆命题、全等三角形的判定（SAS）和性质，掌握逆命题的概念、全等三角形的判定定理（SAS）和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24讲 逆命题和逆定理（五大题型） 学习目标 1、 掌握互逆命题的有关概念； 2、 知道互逆定理； 3、 逆命题的几何证明。 一、互逆命题 我们学过下列两个命題： (1)两直线平行，内错角相等. (2)内错角相等，两直线平行. 分析这两个命题的题设和结论，我们看到命题(1)的题设和结论正好分别是命题(2)的结论和题设. 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫 做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫 做它的逆命题. 上面的两个命题就是互逆命题，如果命题(1)叫做原命题，那么命题(2)叫做命题(1)的逆命题. 二、互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理. 注意：原命题是定理，逆命题不一定是定理.一般来说，所有的定理都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理. 【即学即练1】命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ． 【即学即练2】命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 ． 【即学即练3】下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C．如果一个三角形的两个锐角的和为，那么这个三角形是直角三角形 D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 【即学即练4】下列命题中，其逆命题是假命题的是(  ) A．等腰三角形的两个底角相等 B．若两个数的差为正数，则这两个数都为正数 C．若ab＝1，则a与b互为倒数 D．如果|a|＝|b|，那么a2＝b2 【即学即练5】下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．两直线平行，同旁内角互补； B．两个全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余； D．两内角相等的三角形是等腰三角形 题型1：写出逆命题 【典例1】．命题“如果两个角是等角，那么它们的余角相等”的逆命题是 ； 【典例2】．命题“如果是正数，那么”的逆命题是 ． 【典例3】．命题“邻补角互补”的逆命题是（    ） A．真命题 B．假命题 C．有时是真命题，有时是假命题 D．互补的两个角相邻 【典例4】．命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题是 （“如果……那么……”的形式表示）． 【典例5】．命题“在数轴上，表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等”的逆命题是 ． 【典例6】．命题“等腰三角形是轴对称图形”的逆命题是 题型2：逆命题和逆定理的综合辨析 【典例7】．下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【典例8】．下列命题是定理的是（    ） A．内错角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．一个角的余角不等于它本身 D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【典例9】．下列定理中，没有逆定理的是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【典例10】．下列说法正确的是（    ） A．真命题的逆命题也是真命题 B．每个命题都有逆命题 C．每个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 题型3：判断逆命题的真假 【典例11】．下列命题中，其逆命题成立的是（　　） A．两条直线平行，内错角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．如果a=b，那么a2=b2 【典例12】．下列各命题的逆命题成立的是（      ） A．若a的倒数为，则a是整数 B．若三个数满足，则a，b，c一定是三角形的三条边 C．若△ABC与△A′B′C′关于某直线对称，则△ABC与△A′B′C′一定全等 D．两直线平行，同位角相等 【典例13】．下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4：写出逆命题并判断真假 【典例14】．命题“如果，那么”是 命题（填“真”或“假”），此命题的逆命题是： ． 【典例15】．命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是 ，它是 （填“真命题”或“假命题”）． 【典例16】．命题“等角的余角相等”的条件为 ，结论为 它的逆命题为 ，逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【典例17】．写出下列命题的逆命题，并判断其真假： (1)若，则； (2)个位数是0的数能被2整除． (3)同位角相等，两直线平行； (4)全等三角形的对应角相等． 【典例18】．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明： (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角； (4)有一个角是60°的三角形是等边三角形． 题型5：逆命题有关的几何证明 【典例19】．根据命题“两直线平行，内错角相等”，解决下列问题： （1）写出逆命题； （2）判断逆命题是真命题还是假命题； （3）根据逆命题画出图形，写出已知、求证． 【典例20】．（1）如图，已知∠A＝∠C，若AB//CD，则BC//AD．请说明理由． 理由如下： ∵AB//CD（已知）， ∴∠ABE＝∠______（______）． ∵∠A＝∠C（已知）， ∴______（______）． ∴BC//AD（_______）． （2）请写出问题（1）的逆命题，并判断它是真命题还是假命题，真命题请写出证明过程，假命题举出反例． 【典例21】．如图． (1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分 (2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么 一、单选题 1．下列命题中，逆命题是假命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1 C．平行四边形的对角线互相平分 D．如果 x＞y，那么 mx＞my 2．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．等边三角形是锐角三角形 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 D．同旁内角互补，两直线平行 3．下列说法不正确的是（    ） A．命题有真命题，也有假命题 B．要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可 C．一个定理的逆命题是原定理的逆定理 D．要说明一个命题是真命题，需要进行证明 4．下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．同角的余角相等 D．两直线平行，内错角相等 5．在下列各原命题中，逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，同旁内角互补； B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等； C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等； D．两个相等的角是对顶角． 6．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．如果，那么 C．钝角三角形中有两个锐角 D．如果两个角是直角，那么它们相等 7．下列命题与它的逆命题都为真命题的是（     ） A．已知非零实数x，如果为分式，那么它的倒数也是分式． B．如果x的相反数为7，那么x为-7． C．如果一个数能被8整除，那么这个数也能被4整除． D．如果两个数的和是偶数，那么它们都是偶数． 8．下列定理中，有逆定理的是(  ) A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．等底等高的两个三角形面积相等 D．对顶角相等 9．下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 10．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．二次根式是负数 B．若最简二次根式与能合并成一项，则 C．若，则 D．当时， 二、填空题 11．题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 ． 13．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 命题．(填“真”或“假”) 14．命题“平行于同一条直线的两直线平行”的逆命题是 ； 15．命题“如果两个三角形全等，那么它们的面积相等”的逆命题是 ． 16．命题“面积相等的三角形全等”的逆命题是 ． 17．请写出命题“如果|x|=|y|，那么x2=y2”的逆命题 ． 18．如果两个三角形的两边及其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形全等，其逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 三、解答题 19．请写出下列命题的逆命题，并判断其真假． (1)如果，那么，； (2)若两个角互补，则这两个角的和为； (3)若，则． 20．写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 21．指出下列命题中的条件和结论： （l）任意两个奇数之和是偶数； （2）互余的两个角不一定相等； （3）如果，那么； （4）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条直线垂直． 22．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”． （1）写出此命题的逆命题； （2）逆命题是真命题还是假命题？若为真命题，请画出图形，写出“已知”，求证并证明；若为假命题，请举反例说明． 23．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 24．写出命题：“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题，并证明其逆命题是真命题．（要求写出已知、求证和证明过程） . 25．写出命题“等腰三角形底边上的角平分线与中线互相重合”的逆命题，并用推理的方法证明你所写的这个逆命题是真命题. 逆命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 已知：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 求证：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 证明： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$