精品解析：吉林省长春市朝阳区吉林省第二实验学校南湖校区2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024-2025学年吉林省第二实验学校南湖校区九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（8小题，共24分） 1. 下列各数中，，，，，其中无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 进入春季，有些人会出现花粉过敏症状．已知某种花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 从上面看下面的物体，形状不相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为 ，测得 米，则树的高 （单位：米）为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在等腰中，，E是三角形内一点，连接 ，将线段 绕点O逆时针旋转得到，连接 ， ．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以 为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点 ；③作射线，交边 于点．若，点到 的距离为3，则的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 20 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限内的图象经过点和点，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（6小题，共18分） 9. 单项式的系数是________． 10. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 11. 如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知 与 的夹角为，，，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是____（结果保留根号）． 12. 如图，在 中，，点D为边 的中点，点E为线段 的中点．若，，则边 的长为___________． 13. 若一次函数函数的图象y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____． 14. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的是_________． ①；②；③；④关于x的方程有实根． 三、解答题（共7小题，58分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 七年级某班为了开展活动，购买了一些体育用品，有15个毽球和6根跳绳，共用去69元，其中每根跳绳的价格比每个毽球价格的3倍还多元，求毽球和跳绳的单价． 17. 如图，在四边形 中， ，．过点D分别作于点F，于点E，且 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若 ，，则四边形 的面积为 ． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中画 的中线． （2）在图② 边上找一点，连结 ，使 平分 的面积． （3）在图③中 的内部找一点，使． 19. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（b、c为常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）将此抛物线上P、C两点之间的部分（包括P、C两点）记为图象G．图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值． 20. 如图，在 中， ，， ，点P、Q分别是边、 上的两个动点，且，以， 为邻边作平行四边形，作点B关于直线PQ的对称点的对称点，设． （1）当的面积为8时，求m的值． （2）当时，求线段的长． （3）当点落在四边形的边上时，直接写出的值． 21. 【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在 中，点D为 边上的中点， ，，求线段 长的取值范围．我们采用的方法是延长线段 到点E，使得，连结 ，可证，可得，根据三角形三边关系可求 的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”，则 的范围是：________． 【拓展应用】 （1）如图，在 中，，，， ，求 的长． （2）如图，在 中，D为 边的中点，分别以为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则________．（直接写出） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年吉林省第二实验学校南湖校区九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（8小题，共24分） 1. 下列各数中，，，，，其中无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的定义，解题的关键是注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据定义即可判定． 【详解】解：，， 则无理数有和共2个， 故选：A． 2. 进入春季，有些人会出现花粉过敏症状．已知某种花粉颗粒直径约为0.0000065米，将数据0.0000065用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值较小的数，熟练掌握科学记数法中 与的取值规定是解答本题的关键．根据科学记数法表示绝对值较小的数的书写规定进行解答即可． 【详解】解：， 故选：A 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，除法运算，积的乘方，二次根式的减法运算，逐项计算即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，除法运算，积的乘方，二次根式的减法运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键． 4. 从上面看下面的物体，形状不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看物体的形状，根据从上面看到的图形判断即可． 【详解】：A、C、D选项从上面看到的图都是第一行三个正方形，第二行中间一个正方形，B选项从上面看到的图是第一行三个正方形，第二行是最左边一个正方形， 所以形状不相同的是B选项． 故选：B． 5. 如图，小明在点C处测得树的顶端A仰角为 ，测得 米，则树的高 （单位：米）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过解直角 可以求得 的长度． 【详解】解：在直角 中， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 6. 如图，在等腰中，，E是三角形内一点，连接 ，将线段 绕点O逆时针旋转得到，连接 ， ．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可求得的度数，再根据旋转的性质可证，即可求出的度数，即可解答． 【详解】解： 等腰， ，， 将线段 绕点逆时针旋转得到， ， 在和中 ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，余角的性质，三角形内角和定理的应用，解题关键是掌握旋转的性质，找出三角形全等的条件． 7. 如图，在 中， ，按以下步骤作图：①以 为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点 ；③作射线，交边 于点．若，点到 的距离为3，则的周长为（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的性质即可得出，根据勾股定理求出 ，进而求出的周长． 【详解】解：由作图可知 是的平分线， ∵点到 的距离为3， ， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理及角平分线的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数在第一象限内的图象经过点和点，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，，利用点A的坐标求出函数解析式，求出点B的坐标，利用三角形面积公式和梯形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，则， ∵， ∴， ∵反比例函数在第一象限内的图象经过点 ∴，解得， ∴， 把代入得， ∴点B的坐标是， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质，求出是解题的关键． 二、填空题（6小题，共18分） 9. 单项式的系数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了单项式的定义；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，由此可得答案． 【详解】解：单项式的系数是， 故答案为：． 10. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【详解】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 11. 如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知 与 的夹角为，，，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是____（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的应用，过点作 ，交 的延长线于点，根据解直角三角形的方法即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ，交 的延长线于点， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴（平方米）， 故答案为：． 12. 如图，在 中，，点D为边 的中点，点E为线段 的中点．若，，则边 的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理等知识，先利用直角三角形斜边上中线的性质求出 ，然后利用勾股定理求出 ，最后利用线段中点定义求解即可． 【详解】解∶ ，点E为线段 的中点， ， ∴， 又， ∴， ∵点D为边 的中点， ∴， 故答案为：． 13. 若一次函数函数的图象y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一次函数的增减性求参数的范围，根据一次函数的图象y随x的增大而减小，则，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数函数的图象y随x的增大而减小， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间，则下列结论正确的是_________． ①；②；③；④关于x的方程有实根． 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对四个选项进行判断即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由所给函数图象可知，，，， ∴．故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在0和1之间． 又∵抛物线开口向下， ∴当时，函数值小于零，即．故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， 又∵， ∴．故③错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的图象与直线有交点， ∴关于x的方程有实根．故④正确． ∴结论正确的是②④． 故答案为：②④． 三、解答题（共7小题，58分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 七年级某班为了开展活动，购买了一些体育用品，有15个毽球和6根跳绳，共用去69元，其中每根跳绳的价格比每个毽球价格的3倍还多元，求毽球和跳绳的单价． 【答案】毽球和跳绳的单价分别为 元和元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找出等量关系列出方程是解题的关键．设毽球的单价是x元，则跳绳的单价是元． 有15个毽球和6根跳绳，共用去69元列出方程求解即可． 【详解】解：设毽球的单价是x元，则跳绳的单价是元． 由题意得 解得：， ． 答：毽球和跳绳的单价分别为 元和元 17. 如图，在四边形 中， ，．过点D分别作于点F，于点E，且 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）若 ，，则四边形 的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定与性质、含 角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由，证明四边形 是平行四边形，再证明，得，即可证明四边形 是菱形； （2）由四边形 是菱形得，再结合于点E，于点F， ，得出，，，得出 ，根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵于点E，于点F， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴四边形 是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形 是菱形， ∴， ∵于点E，于点F， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中画 的中线． （2）在图② 边上找一点，连结 ，使 平分 的面积． （3）在图③中 的内部找一点，使． 【答案】（1） 如图，根据网格特征找出 中点，连接即可， （2） 找出线段 的中点， 连接 即可， （3）即为所求． 【解析】 【分析】（ ）找出线段 的中点， 连接即可； （ ）找出线段 的中点， 连接 即可； （ ）通过相似三角形的性质作 高的三等分点，连接 ， 即可； 【小问1详解】 如图，根据网格特征找出 中点，连接即可， ∴即为所求； 【小问2详解】 找出线段 的中点， 连接 即可， ∴ 即为所求； 【小问3详解】 根据网格特征可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求． 19. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线（b、c为常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）将此抛物线上P、C两点之间的部分（包括P、C两点）记为图象G．图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，求m的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）分两种情况：当P点在对称轴的右侧时，P点的纵坐标为；当P点在对称轴的左侧时，P点的纵坐标为．根据题意，得出关于m的一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，得出符合题意的m值即可． 【小问1详解】 解：将点，代入，得： ， 解得：， ∴此抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 即二次函数图象最低点的纵坐标为， ∵点P的横坐标为m， ∴点P的纵坐标为 ∵图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6， 当P点在对称轴的右侧时，点P为最高点，点C为最低点，此时P点的纵坐标为， ∴， 解得：或（舍去）； ②当P点在对称轴的左侧时，点P为最高点，为最低点，此时P点的纵坐标为， ∴， 解得：（舍去）或． ∴m的值为或． 20. 如图，在 中， ，， ，点P、Q分别是边、 上的两个动点，且，以， 为邻边作平行四边形，作点B关于直线PQ的对称点的对称点，设． （1）当的面积为8时，求m的值． （2）当时，求线段的长． （3）当点落在四边形的边上时，直接写出的值． 【答案】（1）2或4； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，，再根据“的面积为8”建立等式求解，即可解题； （2）记延长线交于点，由对称的性质可知，，，，推出，得到，进而可得，根据建立分式方程求解，即可求出，利用勾股定理得到 ，再利用，得到，即可求得 ，进而求得； （3）根据点落在四边形的边上，可分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在 上时，根据这两种情况画出草图，结合平行四边形性质，对称的性质，勾股定理以及三角函数求解，即可解题． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， 的面积为8， ， 整理得， 解得或； 【小问2详解】 解：记延长线交于点， 由对称性质可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，经检验是该方程的解， ，， ， ， ， 解得， ； 【小问3详解】 解：①当在上时， 四边形为平行四边形， ，， ， 由对称性质可知，，， ， ， ， ， 解得， ，， ； ②当在 上时， 四边形为平行四边形， ， ∴， 由对称性质可知，，，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，解得：， ，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，或 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对称的性质，锐角三角函数，解分式方程，勾股定理，平行四边形性质，三角形中位线性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 21. 【问题探究】在学习三角形中线时，我们遇到过这样的问题：如图，在 中，点D为 边上的中点， ，，求线段 长的取值范围．我们采用的方法是延长线段 到点E，使得，连结 ，可证，可得，根据三角形三边关系可求 的范围，我们将这样的方法称为“三角形倍长中线”，则 的范围是：________． 【拓展应用】 （1）如图，在 中，，，， ，求 的长． （2）如图，在 中，D为 边的中点，分别以为直角边向外作直角三角形，且满足，连结，若，则________．（直接写出） 【答案】问题探究：；拓展应用：（1） ；（2）4 【解析】 【分析】问题探究：根据三角形三边关系求出 的范围，进而得到 的范围； 拓展应用： （1）延长 到点E，使，连接 ，先证，得到，，在 中，根据勾股定理求 即可得到 的值； （2）延长 到点G，使，连接，根据，得到，证明，得到，进而得到的值． 【详解】解：问题探究： 在中， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展应用： （1）如图，延长 到点E，使，连接 ， 在和中， ， ∴， ∴，， 在 中，， ∴， ∴； （2）如图，延长 到点G，使，连接， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形综合题，判定并利用相似三角形的性质求线段的长度是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $