精品解析：吉林省长春市东北师大附中明珠学校2024-2025学年九年级上学期大练习一（期初测试）数学试题

初三年级数学大练习（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，若点A坐标为（﹣6，a），且a＞0，则点A所在的象限是（　　） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一种细胞的直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一次函数y=mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（　　） A m＞0，n＜2 B. m＞0，n＞2 C. m＜0，n＜2 D. m＜0，n＞2 5. 已知点、是反比例函数（）图象上的两点，若则有（ ）． A. B. C. D. 6. 根据图像，可得关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图象上，过点作轴，与反比例函数（）的图象交于点，点为轴上一点，连接，若的面积为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若分式有意义，则的取值范围是 ____． 10. 关于x的一元二次方程x2－x+m=没有实数根，则m的取值范围是______． 11. 若点与点关于轴对称，则__． 12. 如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为__________． 13. 如图，已知，和相交于点，，则 ______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 某商店经销一批小家电，每件成本40元．经市场预测，销售定价为50元时，可售出200个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2250元，应涨价多少元？ 18. 某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为，，，四个等级，并制作出不完整的统计图如下： （1）填空：______，______， （2）补全条形统计图； （3）成绩为等级人数所占扇形圆心角的大小为______； （4）这所学校共有名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩在分以上（含分）的学生人数． 19. 图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图中的线段上找一点，连接，使． （2）在图中的线段上找一点，连接，使． （3）在图中线段上找一点，连接，使． 20. 如图，在锐角中，点分别在边上，于，于，． （1）求证：； （2）若，，，则______． 21. 两城市之间有一条公路相连，公路途中经过市，甲车从市到市，乙车从市到市，甲车的速度比乙车的速度慢，两车距离市的路程与行驶的时间的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是______，______； （2）求图象中线段所在直线的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）直接写出甲车出发后几小时，两车距市的路程之和是千米． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）直接写出不等式的解集为______； （3）点在轴上，若，则点的坐标为______． 23. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图，在中，分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连结． （）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 【结论应用】 （）如图②，在中，点分别是边的中点，相交于点，交于点，则______； （）如图③，在中，分别是边的中点，过点的直线分别交于点，若，，四边形的面积为，则______． 24. 如图，在中，，，．点在边上运动，点关于点的对称点为点，以为边在上方作正方形，设（）． （1）的长为______； （2）求线段的长（用含的代数式表示）； （3）当正方形与重叠部分图形为四边形时，求的取值范围； （4）连接，当所在直线将正方形面积分成两部分时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三年级数学大练习（一） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，若点A坐标为（﹣6，a），且a＞0，则点A所在的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由a＞0，根据点的横坐标为负，纵坐标为正，可以判断点所在的象限． 【详解】解：∵﹣6＜0，a＞0， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，点在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决此类题的关键． 2. 一种细胞的直径约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3. 如图，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，由可得，代入已知条件计算即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 详解】解：∵， ∴， 即， 解得， 故选：． 4. 已知一次函数y=mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（　　） A. m＞0，n＜2 B. m＞0，n＞2 C. m＜0，n＜2 D. m＜0，n＞2 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵一次函数y=mx+n-2的图象过二、四象限， ∴m＜0， ∵函数图象与y轴交于正半轴， ∴n-2＞0， ∴n＞2． 故选D． 考点：一次函数图象与系数的关系． 5. 已知点、是反比例函数（）图象上的两点，若则有（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据可得反比例函数图象分布在第二、四象限，当时，；当时，，据此即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，当时，；当时，， ∵， ∴，， ∴， 故选：． 6. 根据图像，可得关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出直线y＝kx在直线y＝−x＋3上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键． 7. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定性质，由平行四边形的性质可得，，，即得，，得到，又由得到，进而可得，即可判断；由，，可得，即得，进而由相似三角形的性质可得，即得，，即可判断；由可判断；由可得，即得，又由可得，即可得，进而得到，据此即可判断；掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故选项正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项错误； ∵， ∴，故选项正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项正确； 故选：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（）的图象上，过点作轴，与反比例函数（）的图象交于点，点为轴上一点，连接，若的面积为，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，设点坐标为，则点坐标为，可得，再根据的面积为列出方程即可求解，掌握反比例函数图象上的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设点坐标为，则点坐标为， ∴， ∴， 解得， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 若分式有意义，则的取值范围是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．根据分式有意义的条件可知，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 10. 关于x的一元二次方程x2－x+m=没有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可。 【详解】解：∵方程x2－x+m=没有实数根， ∴△=， 解得：． 故答案：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（）根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 11. 若点与点关于轴对称，则__． 【答案】0 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数得出m、n的值，代入求值即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得：，， ， 故答案为：0 【点睛】本题考查了坐标与图形－轴对称变换，熟知关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数；是解本题的关键． 12. 如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为__________． 【答案】（2.5，5）． 【解析】 【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出A点坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB， ∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2， ∵C（1，2）， ∴点A的坐标为：（2.5，5） 故答案为（2.5，5）． 【点睛】本题考查位似图形的应用，熟练掌握位似图形的相似比和两点间的距离公式是解题关键． 13. 如图，已知，和相交于点，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的运用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解本题的关键． 先证明利用相似三角形的性质可得，再证明可得，从而可得答案． 【详解】解： ， 而， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点在点的左侧，直线经过点和点，且，将直线沿轴向下平移得到，若点落在矩形的内部（不含边界），则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数的几何应用，作于交于，把代入可得直线，设点坐标为，由可得，即得点坐标为，进而得点，点，分别把的坐标代入，求出的值即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作于交于， ∵直线经过点， ∴， ∴直线， 设点坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点坐标为， ∴点，点， 把点代入得，， 解得； 把点代入得，， 解得； ∵点落在矩形的内部（不含边界）， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）按照解分式方程步骤解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，解分式方程，掌握解一元二次方程的方法和解分式方程的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘以得，， 解得， 检验：把代入得，， ∴是原方程的解． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的运算法则对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 17. 某商店经销一批小家电，每件成本40元．经市场预测，销售定价为50元时，可售出200个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2250元，应涨价多少元？ 【答案】应涨价5元． 【解析】 【分析】设每个商品的定价是x元，则每件小加电的利润为(x-40)元，销量为[200﹣10（x﹣50）]，再由利润=单件利润×销量可列出方程并求解. 【详解】解：设每个商品的定价是x元， 由题意，得：（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]=2250， 整理，得：x2﹣110x+3025=0， 解得：x1=x2=55．符合题意． 则55﹣50=5（元） 答：应涨价5元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用. 18. 某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取名学生进行测试，对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩划分为，，，四个等级，并制作出不完整的统计图如下： （1）填空：______，______， （2）补全条形统计图； （3）成绩为等级人数所占扇形圆心角的大小为______； （4）这所学校共有名学生，若全部参加这次测试，请你估计成绩在分以上（含分）的学生人数． 【答案】（1），； （2）补图见解析； （3）； （4）人 【解析】 【分析】（）用等级的人数除以其百分比可求出的值，进而可求出的值； （）求出等级的人数，补全条形统计图即可； （）用乘以等级的人数占比即可求解； （）用乘以成绩在分以上（含分）的学生人数占比即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：等级的人数为人， 补全条形统计图如下： 小问3详解】 解：成绩为等级人数所占扇形圆心角的大小为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：， 答：估计成绩在分以上（含分）的学生人数为人． 19. 图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． （1）在图中的线段上找一点，连接，使． （2）在图中的线段上找一点，连接，使． （3）在图中的线段上找一点，连接，使． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格在图中的线段上找中点，连接，即可使； （2）结合（1）在图中的线段上找一点，连接，，即可使； （3）在图中的线段上找一点，连接，根据网格可得，所以，即可使． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴点即为所求； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴点即为所求； 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，在锐角中，点分别在边上，于，于，． （1）求证：； （2）若，，，则______． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由垂直可得，进而利用余角性质可得，据此即可求证； （）由可得，再证明，得到，据此即可求解； 本题考查了余角的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 21. 两城市之间有一条公路相连，公路途中经过市，甲车从市到市，乙车从市到市，甲车的速度比乙车的速度慢，两车距离市的路程与行驶的时间的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是______，______； （2）求图象中线段所在直线的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）直接写出甲车出发后几小时，两车距市的路程之和是千米． 【答案】（1），； （2）； （3）小时或小时． 【解析】 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，看懂函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象可得，甲车的速度为， ∴乙车的速度为， ∴乙车由市到市的时间为， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设线段的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴线段的函数解析式为； 【小问3详解】 解：∴当时， 由题意得，， 解得； 当时， 由题意得，， 解得(不合题意，舍去)； 当时， 由题意得，， 解得； 综上所述，甲车出发小时或小时，两车距市的路程之和是千米． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）直接写出不等式的解集为______； （3）点在轴上，若，则点的坐标为______． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（）把代入可求出反比例函数解析式，进而求出点坐标，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （）由不等式得，根据函数图象即可求解； （）求出点坐标，可得，设点，则， 可得，进而得到，解方程即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数和反比例函数解析式，三角形的面积，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由不等式得， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：∵直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴， 设点，则， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或． 23. 【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图，在中，分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连结． （）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程； 【结论应用】 （）如图②，在中，点分别是边的中点，相交于点，交于点，则______； （）如图③，在中，分别是边的中点，过点的直线分别交于点，若，，四边形的面积为，则______． 【答案】（）证明见解析；（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． （）由三角形中位线的性质可得，，进而得到，即得，据此可得； （）由可得，由（）可知，即得，即可由得到； （）如图③，作交的延长线于点，交于点， 则，，，可得，由得到，即得，再证明可得，进而由得到，即得，即可得，又由得，即得，由此可得，进而可得，，即得到，据此即可求解． 【详解】（）证明：如图①，连接， ∵点分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴； （）解：如图②， ∵， ∴， ∴， 由（）可知，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （）如图③，作交的延长线于点，交于点， 则，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 24. 如图，在中，，，．点在边上运动，点关于点的对称点为点，以为边在上方作正方形，设（）． （1）的长为______； （2）求线段的长（用含的代数式表示）； （3）当正方形与重叠部分的图形为四边形时，求的取值范围； （4）连接，当所在直线将正方形的面积分成两部分时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或； （4）或． 【解析】 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）分和两种情况解答即可求解； （）分点落在上和点落在上两种情况，画出图形，利用三角函数解答即可求解； （）分点在边上和点在边的延长线上两种情况，分别画出图形解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵点关于点的对称点为点， ∴， 当时，； 当时，． 综上，． 小问3详解】 解：当点落在上时，如图①， ∵， ∴，解得， ∴； 当点落在上时，如图②， ∵， ∴，解得， ∴． 纵上，的取值范围为或． 【小问4详解】 解：分两种情况： 当点在边上时，如图③，与的交点为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∵所在直线将正方形的面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∴或， ∵点在边上， ∴， ∵， ∴不合，舍去． ∴． 当点在边的延长线上时，如图④， 由图可知，，， ∴， ∵所在直线将正方形的面积分成两部分， ∴或， ∴或， 解得或， ∵点在边的延长线上， ∴， ∴不合题意，舍去， ∴． 综上，当所在直线将正方形的面积分成两部分时，的值为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称，正方形的性质，三角函数，相似三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$