精品解析：江苏省宿迁市泗阳县泗阳致远中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

初三数学测试 分值：150分时间：120分钟 友情提醒：测试范围（八下，九上一元二次方程，圆） 一．选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次的定义，根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：．，是一元一次方程，故该选项不符合题意； ．，是一元二次方程，故该选项符合题意； ．，是分式方程，故该选项不符合题意； ．，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 我国航天技术攀登于世界巅峰，下列为航天领域的图片，下列即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 若 使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0． 根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由，得，故A不符合题意； B、由，得 ，故B符合题意； C、由，得，故C不符合题意； D、由，得，故D不符合题意； 故选：B． 4. 若正比例函数的图象经过点，则下列各点也在该正比例函数图象上的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点的坐标，利用正比例函数图象上点的坐标特征，可求出正比例函数解析式，代入各选项中点的横坐标，求出 值，再将其与纵坐标比较后，即可得出结论． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数解析式为， A．当 时，，选项A不符合题意； B．当时，，选项B不符合题意； C．当时，，选项C符合题意； D．当时，，选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 5. 为了解某校七年级900名学生每天花费在数学学习上的时间，随机抽取了100名学生进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 样本容量是100 B. 每名学生是个体 C. 从中抽取的100名学生是样本 D. 七年级900名学生是总体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据总体、个体、样本、样本容量的定义解答即可． 【详解】解：A．样本容量是100，故此选项符合题意； B．每名学生每天花费在数学学习上的时间是个体，故此选项不符合题意； C．从中抽取的100名学生每天花费在数学学习上的时间是样本，故此选项不符合题意； D．900名学生每天花费在数学学习上的时间是总体，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 反比例函数（）的图象如图所示，则 的值可能是（ ） A. 5 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象，当时，，则；当 时，，则，所以，即可求解． 【详解】解：由图可知：当时，，即，则， 当 时，，即，则， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． 7. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（　　） A. AB＝BE B. BE⊥DC C. ∠ABE＝90° D. BE平分∠DBC 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可； 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， 又∵AD=DE， ∴DE∥BC，且DE=BC， ∴四边形BCED为平行四边形， A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴▱DBCE为矩形，故本选项错误； B、∵BE⊥DC，∴对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确； C、∵∠ABE=90°，∴BD=DE，∴邻边相等的平行四边形为菱形，故本选项正确； D、∵BE平分∠DBC，∴对角线平分对角的平行四边形为菱形，故本选项正确． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定，正确掌握菱形的判定与性质是解题关键． 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 9. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况可得，再代入式子即可求解． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴ ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 10. 如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】为 边的高，利用两圆相切的性质得到，则可判断 为等边三角形，则，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，再利用圆与圆相切的性质得到 的半径，然后利用大圆的面积减去15个小圆的面积得到阴影部分的面积． 【详解】如图，为 边的高 所有小圆相切， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 与 相切， 的半径， 阴影部分的面积 ， 故选：A 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等边三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握切线的性质． 二．填空题（共8小题，每小题3分，计24分） 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件．要使分式有意义，则分母不为0，据此即可解答． 【详解】要使分式有意义，则，即． 故答案为：． 12. 已知反比例函数经过点，则k是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，设反比例函数解析式为：，把点代入即可得出求出k的值． 【详解】解：设反比例函数解析式为：， ∵反比例函数经过点 ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 一元二次方程中，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系：，． 根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：． 14. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．先对二次根式进行化简，然后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 如图，在 中，， 、 、 分别为 、 、的中点，若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 的长． 【详解】解：∵D、E分别为 的中点， ∴， ∴， ∵在 中，，F为 的中点， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，经过圆心且交 于点E， 于点M，，，则 的直径是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键．连接，利用垂径定理求解，设 的半径为，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案． 【详解】解：连接． ∵ ，且经过圆心O， ∴， 在中，设 的半径为，则， ∵， ∴，解得：， ∴ 的直径是． 故答案为：． 17. 如图所示，，以点 为圆心， 长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标，利用点 坐标、 的长度求出的长度即可求解，求出的长度是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点 为圆心， 长为半径画弧交 轴负半轴于点 ， ∴， ∴， ∵点 在 轴的负半轴上， ∴点 的坐标为， 故答案为：． 18. 如图， 、 是 的弦，过点A的切线交的延长线于点 ，若，则___________°． 【答案】35 【解析】 【分析】连接并延长，交 于点 ，连接 ，首先根据圆周角定理可得，再根据 为 的切线，可得，可得，再根据圆周角定理即可求得． 【详解】解：如图，连接并延长，交 于点 ，连接 ． 为 的直径， ， ， 为 的切线， ， ， ， ． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 三．解答题（共10小题，合计96分） 19. 计算或解方程 （1）； （2）（公式法）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，二次根式的乘法，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算零指数幂，二次根式的乘法，然后计算加减； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2） ，， ∴ ∴ ∴； （3） 或 ∴； （4） ∴或 ∴． 20. 如图，直线 与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接 ， ．若的面积是6． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P为第一象限内直线 上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得； （2）根据点的坐标求出直线 的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可． 【小问1详解】 解：∵，的面积是6， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴反比例函数解析式为：； 【小问2详解】 ∵点，，在的图象上， ∴，， ∴，， 设直线 的解析式为， ， 解得：， ∴直线 的解析式为， ∵轴交x轴于点C， ∴， ∴， 设直线 上在第一象限的点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式． 21. 小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验， 是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】 小丁和小迪的解法都错误； 解：去分母，得， 去括号，得， 解得，， 经检验：是方程的解． 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确，再正确解方程即可． 【详解】略 【点睛】本题考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 22. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式及完全平方式的非负性，即可证得结论； （2）首先解一元二次方程，再根据根的情况，利用不等式，即可求解． 【小问1详解】 证明： 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根． 【小问2详解】 解：由原方程得：， 解得，， ∵方程有一个根为正数，， ， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根据根的情况求参数，完全平方式的非负性，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及解方程的方法是解决本题的关键． 23. 已知关于 的方程．若等腰三角形的一边，另两边长 ， 恰好是这个方程的两个根，求 的周长． 【答案】周长为 【解析】 【分析】当时，求出k值，进而找出方程的根，再进行分类讨论从而得出三角形的周长． 【详解】解：∵， ∴无论 取何值，方程总有实数根． ①若为底边，则 ， 为腰长，则，则， ∴，解得． 此时原方程化为，∴，即． 此时 三边为6，2，2，不能构成三角形，舍去； ②若为腰，则 ， 中一边为腰，不妨设， 将代入方程，得，解得， 则原方程化为，∴，，即，， 此时 三边为6，6，2，能构成三角形． 综上所述， 三边为， ∴周长为． 【点睛】本题考查了根的判别式、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键． 24. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： （1）请列出该方程； （2）请解出x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列一元二次方程和解一元二次方程， 根据已知求得主干、支干和小分支的数量，再结合总数为91即可列出方程； 移项化简，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意知，主干、支干和小分支分别为1，x和，则； 【小问2详解】 解：，化简为， 解得，（舍去）， 故． 25. 如图， 是 的直径，弦于点E，点P在 上，． （1）求证：； （2）连接，若，，求 的直径． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ； （2）6 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得到，结合，得到，再根据内错角相等，两直线平行即可证明； （2）证明是等边三角形，则有，即可求出 的直径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 即 的直径为6． 26. 如图，已知直线l与 相离，于点A，交 于点 P，点 B 是 上一点，连接并延长，交直线l于点 C，使得． （1）判断直线 与 的位置关系并说明理由； （2）求线段 的长． 【答案】（1）直线 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键， （1）连接，根据得到，由得到，由此推出，得到，即，即可推出直线 是 的切线； （2）过点O作于点H，如图，则，设 的半径为r，则，根据勾股定理得到，求出r，再根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 直线 是 的切线，理由如下： 连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴即， ∵是 的半径， ∴直线 是 的切线； 【小问2详解】 过点O作于点H，如图，则， 设 的半径为r，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴ 27. 【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（ ） A． B． C． D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9 【解析】 【分析】（1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答； （3）利用配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：D； （2） ， ， ，即有最大值14； （3）， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 28. 【感知】如图①，点A、B、P均在 上，，则锐角的大小为__________度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， 是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结 ，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结 ， 四边形是 的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③， 是 的外接圆，，点P在 上，且点P与点B在 的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 【答案】感知：；探究：见解析；应用：． 【解析】 【分析】感知：由圆周角定理即可求解； 探究：延长至点E，使，连结 ，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证； 应用：延长至点E，使，连结 ，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解． 【详解】感知： 由圆周角定理可得， 故答案为：； 探究： 证明：延长至点E，使，连结 ， 四边形是 的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， ， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， 即； 应用： 延长至点E，使，连结 ， 四边形是 的内接四边形， ． ， ． ， ， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学测试 分值：150分时间：120分钟 友情提醒：测试范围（八下，九上一元二次方程，圆） 一．选择题（共10小题，每小题3分，计30分） 1. 下列为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国航天技术攀登于世界巅峰，下列为航天领域的图片，下列即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若 使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ） A. B. C. D. 4. 若正比例函数的图象经过点，则下列各点也在该正比例函数图象上的是( ) A. B. C. D. 5. 为了解某校七年级900名学生每天花费在数学学习上的时间，随机抽取了100名学生进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 样本容量是100 B. 每名学生是个体 C. 从中抽取的100名学生是样本 D. 七年级900名学生是总体 6. 反比例函数（）的图象如图所示，则 的值可能是（ ） A. 5 B. 12 C. D. 7. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，下列条件中，不能使四边形DBCE成为菱形的是（　　） A. AB＝BE B. BE⊥DC C. ∠ABE＝90° D. BE平分∠DBC 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 9. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. －2 B. 2 C. －4 D. 4 10. 如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，每小题3分，计24分） 11. 如果分式有意义，那么x的取值范围是______． 12. 已知反比例函数经过点，则k是______． 13. 一元二次方程中，______． 14. 计算的结果是______． 15. 如图，在 中，， 、 、 分别为 、 、的中点，若，则________． 16. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，经过圆心且交 于点E， 于点M，，，则 的直径是________． 17. 如图所示，，以点 为圆心， 长为半径画弧交 轴负半轴于点 ，则点 的坐标为______． 18. 如图， 、 是 的弦，过点A的切线交的延长线于点 ，若，则___________°． 三．解答题（共10小题，合计96分） 19. 计算或解方程 （1）； （2）（公式法）； （3）； （4）． 20. 如图，直线 与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接 ， ．若的面积是6． （1）求反比例函数的解析式． （2）点P为第一象限内直线 上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 21. 小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验， 是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 22. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）如果方程有一个根为正数，求 的取值范围． 23. 已知关于 的方程．若等腰三角形的一边，另两边长 ， 恰好是这个方程的两个根，求 的周长． 24. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： （1）请列出该方程； （2）请解出x的值． 25. 如图， 是 的直径，弦于点E，点P在 上，． （1）求证：； （2）连接，若，，求 的直径． 26. 如图，已知直线l与 相离，于点A，交 于点 P，点 B 是 上一点，连接并延长，交直线l于点 C，使得． （1）判断直线 与 的位置关系并说明理由； （2）求线段 的长． 27. 【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（ ） A． B． C． D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 28. 【感知】如图①，点A、B、P均在 上，，则锐角的大小为__________度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， 是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结 ，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结 ， 四边形是 的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③， 是 的外接圆，，点P在 上，且点P与点B在 的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $