精品解析：吉林省长春市长春高新技术产业开发区慧谷学校2024-2025学年八年级上学期期初大练习数学试题

2024-2025学年度八年级上学期期初大练习 数学试卷 一、选择题（每题3分，共计24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形以及轴对称图形的定义，掌握“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形”是解题的关键． 根据轴对称和中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中三边的关系求解；关键是求得第三边的取值范围． 首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步找到符合条件的答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得∶ 第三根木棒的长度应大于，而小于． 故选：B． 3. 下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ） A. 正六边形和正三角形 B. 正六边形和正方形 C. 正八边形和正五边形 D. 正十二边形和正五边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A、正六边形和正三角形内角分别为、，由，能构成周角，故能铺满，符合题意； B、正六边形和正方形内角分别为、，显然不能构成周角，故不能铺满，不符合题意； C、正八边形和正五边形内角分别为、，显然不能构成周角，故不能铺满，不符合题意； D、正十二边形正五边形内角分别为、，显然不能构成周角，故不能铺满，不符合题意． 故选：A． 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 5. 如图，经过水平向右平移后得到，若，，则平移的距离是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，根据已知条件即可求解． 【详解】解：经过水平向右平移后得到， ， ，， ， ， 即平移的距离为． 故选A． 【点睛】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 6. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. 31° B. 35° C. 41° D. 46° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，先根据全等三角形的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】∵， ∴，， ∴， 故选C． 7. 《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，依题意列方程得（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，由每人出8钱盈3钱得物价为钱，由每人出7钱不足4钱得物价为钱，根据物价不变列方程即可． 【详解】解：设有x人， 由题意得，， 故选：B． 8. 如图，在中，点D是的中点，，若的面积为10，则的面积是（ ） A. B. 1.5 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，再由题意得到，则． 【详解】解：∵在中，点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共计18分） 9. 已知，用含的代数式表示，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数，然后利用一元一次方程的解法求解． 把x看作已知数表示出y即可． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 10. 不等式的最大整数解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．先求出不等式的解集，再求出最大整数解即可． 【详解】 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． ∴不等式的最大整数解是． 故答案为：． 11. 正五边形绕它的中心旋转后能与自身完全重合，则旋转角度至少为____度． 【答案】72 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转对称图形的性质，任何一个正n边形都是旋转对称图形，只需绕它的中心旋转度便可与自身重合，据此求解即可． 【详解】解：解：正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为， 故答案为：． 12. 若关于，的方程组的解满足，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加减消元解二元一次方程组，根据题意得，进而可得，即可求解． 【详解】解： 得， ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 13. 如图，将锐角三角形绕点B按顺时针方向旋转，得到，若与垂直，则的大小为_____度． 【答案】52 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，由于与垂直，利用三角形内角和定理即可计算出． 【详解】解：∵绕点B按顺时针方向旋转得， ∴，， ∵与垂直， ∴， 故答案为：52． 【点睛】此题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 14. 如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移到；使点落在上，与交于点P．给出下面四个结论： ①； ②； ③和的周长之和等于的周长； ④图中阴影部分的面积之和大于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，三角形面积的计算，掌握平移的性质，掌握三角形、平行四边形、长方形面积的计算方法是正确解答的关键． 根据平移的性质，三角形面积、平行四边形、长方形面积之间的关系进行判断即可． 【详解】解：∵两个大小相同的和， ，， ，，，， 由平移的性质可知，，，， ， ， 因此①正确； ，， ， ， 因此②正确； 和的周长之和为 ′， 即与的周长相等，而与形状大小完全一样， 和的周长之和等于的周长， 因此③正确； ， ， 因此④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（共计78分） 15. 解下列方程或方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项即可； （2）利用加减消元法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得， 因此该方程组的解为：． 【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组，解题的关键是能够利用加减消元法解二元一次方程组． 16. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 17. 甲、乙两车站相距300千米，慢车以每小时50千米的速度从甲站开往乙站，1小时后，快车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站，求慢车开出几小时后与快车相遇． 【答案】慢车开出3小时后与快车相遇 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设慢车开出x小时后与快车相遇，则快车行驶了小时，根据两地之间的距离慢车速度慢车行驶时间快车速度快车行驶时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设慢车开出x小时后与快车相遇，则快车行驶了小时，根据提题意，得 ． 解得． 答：慢车开出3小时后与快车相遇． 18. 已知一个多边形的内角和比外角和的4倍还多，求这个多边形的边数． 【答案】11 【解析】 【分析】考查了多边形内角与外角，任何多边形的外角和都是360度，不随边数的变化而变化．设这个多边形的边数是n，依题意得，解方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得， ， ， ， ∴这个多边形的边数是11． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： （1）在图①中，画出图中向下平移格后的； （2）在图②中，画出图中关于直线对称的； （3）在图③中，画出图中绕点顺时针旋转后的． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，作图-平移变换， （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，的对应点的，即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可． 【小问1详解】 解：如图①中，即为所求； 【小问2详解】 在图②中，即为所求； 【小问3详解】 在图③中，即为所求． 20. 如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： （1）的度数； （2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知）， ∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知）， ∴________（等量代换）． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角： （1）根据垂直的定义，三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵（已知）， ∴， ∴（三角形外角的性质） ∴（等量代换）． （2）∵， ∴（等式的性质）， ∴（已知）， ∴（等量代换）． 21. 已知如图，在和中，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， 即， 又， 在和中 ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由可得，进而可证，即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 22. 对于有理数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． （1）_______； （2）若，求x的取值范围； （3）若，直接写出x的值． 【答案】（1）2； （2）； （3）x的值为或4． 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程及一元一次不等式，结合已知条件列得正确的方程及不等式是解题的关键． （1）根据定义即可求得答案； （2）根据定义列得一元一次不等式，解不等式即可； （3）根据定义分情况讨论并列得方程，解方程后判断是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：， 或， 解得：或； 故； 【小问3详解】 解：已知， 若，即时，， 解得：； 若，即时，， 解得：； 综上，的值为或4． 23. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵元，买套甲型号“文房四宝”和套乙型号“文房四宝’，共用元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少元？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不少于套，问有几种购买方案？ 【答案】（1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元 （2）有种购买方案 【解析】 【分析】（1）设每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购进甲型号“文房四宝”的数量为套，则购进乙型号“文房四宝”的数量为套，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求得整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元，根据题意得， 解得： 答：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是元； 【小问2详解】 解：设购进甲型号“文房四宝”的数量为套，则购进乙型号“文房四宝”的数量为套，根据题意， 解得： ∵为正整数， ∴ 则有种购买方案 【点睛】本题考查了二一元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． 24. 如图①，在△ABC中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒． （1）______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______． （2）当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______． （3）如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由． （4）如图③、的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值． 【答案】（1），6 （2） （3）．理由见解析 （4）4.5或6或12 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，一元一次方程，灵活运用三角形外角的性质是解答此题的关键． （1）根据运动可以得到的度数，然后利用方程求出值即可； （2）根据动线的位置确定，且不超过时的。列不等式组解题即可； （3）由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质得到结论即可； （4）先求出、、的度数，分为、、和四种情况分别解题即可． 【小问1详解】 解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转， ∴； ∵，， ∴， 当点E与点C重合时， ∴，解得； 故答案为：，； 【小问2详解】 若要与射线相交， 则， 当点E在点C右侧时， ，解得， 故答案为：； 【小问3详解】 解：，理由为： ∵是的外角， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 又∵和时和的平分线， ∴，， ∴， ∴， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度八年级上学期期初大练习 数学试卷 一、选择题（每题3分，共计24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有两根木棒，它们的长分别是和，若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度应选（ ） A. B. C. D. 3. 下列正多边形的组合中，能够铺满地面的是（ ） A. 正六边形和正三角形 B. 正六边形和正方形 C. 正八边形和正五边形 D. 正十二边形和正五边形 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 如图，经过水平向右平移后得到，若，，则平移的距离是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6 6. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. 31° B. 35° C. 41° D. 46° 7. 《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，依题意列方程得（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D是的中点，，若的面积为10，则的面积是（ ） A. B. 1.5 C. D. 2 二、填空题（每题3分，共计18分） 9. 已知，用含的代数式表示，则___________． 10. 不等式的最大整数解是______． 11. 正五边形绕它的中心旋转后能与自身完全重合，则旋转角度至少为____度． 12. 若关于，的方程组的解满足，则的值为_______________． 13. 如图，将锐角三角形绕点B按顺时针方向旋转，得到，若与垂直，则的大小为_____度． 14. 如图，直线l上摆放着两个大小相同的和，，，将沿直线l向左平移到；使点落在上，与交于点P．给出下面四个结论： ①； ②； ③和的周长之和等于的周长； ④图中阴影部分的面积之和大于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 三、解答题（共计78分） 15. 解下列方程或方程组： （1）； （2）． 16. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 17. 甲、乙两车站相距300千米，慢车以每小时50千米的速度从甲站开往乙站，1小时后，快车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站，求慢车开出几小时后与快车相遇． 18. 已知一个多边形的内角和比外角和的4倍还多，求这个多边形的边数． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： （1）在图①中，画出图中向下平移格后的； （2）在图②中，画出图中关于直线对称的； （3）在图③中，画出图中绕点顺时针旋转后的． 20. 如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求： （1）的度数； （2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：（1）∵（已知）， ∴________， ∴（________） ∴________________（等量代换）． （2）∵________， ∴________（等式的性质）， ∴（已知）， ∴________（等量代换）． 21. 已知如图，在和中，，，．求证：． 22. 对于有理数，，定义的含义为：当时，；当时，．例如：． （1）_______； （2）若，求x的取值范围； （3）若，直接写出x的值． 23. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵元，买套甲型号“文房四宝”和套乙型号“文房四宝’，共用元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少元？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进甲型号“文房四宝”的数量不少于套，问有几种购买方案？ 24. 如图①，在△ABC中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒． （1）______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______． （2）当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______． （3）如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由． （4）如图③、的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $