精品解析：吉林省吉林市第九中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

九年级期初质量检测数学 一、选择题 1. 下面四个数中，最小的数是（ ） A. 4 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴四个数中最小的数是， 故选：B． 2. 下列图形为正方体展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图．熟练掌握正方体的展开图是解题的关键． 根据正方体展开图包括，，，型，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知， 是正方体的展开图， 故选：C． 3. 当，时，代数式的值是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、求代数式的值，将的值代入，再利用平方差公式变形，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：A． 4. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ． 故选：D 5. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 . B. 5，6，7. C. 4，5，6. D. 7，24，25. 【答案】D 【解析】 【分析】将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果相等，利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形；反之不能组成直角三角形，即可得出答案． 【详解】A.∵62+72=85；82=64， ∴62+72≠82， 则此选项线段长不能组成直角三角形； B、∵52+62=61；72=49， ∴52+62≠72， 则此选项线段长不能组成直角三角形； C、∵42+52=41；62=36， ∴42+52≠62， 则此选项线段长不能组成直角三角形； D、∵72+242=625；252=625， ∴72+242=252， 则此选项线段长能组成直角三角形； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 6. 若方程组的解中与的差等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，先将方程组的两个方程相减可得，再整体代入计算即可，熟练掌握解二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得：， ∵与的差等于，即， ∴，解得， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式．首先解不等式组中的每个不等式，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定两个不等式的解集的公共部分，即可确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， 则不等式组的解集是：． 故答案为：． 9. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约为，将用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解： 的6后面有6个位数，根据科学记数法要求表示为， 故答案为：． 10. 如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是___． 【答案】经过两点有且只有一条直线 【解析】 【分析】直接利用直线的性质，两点确定一条直线，由此即可得出结论． 【详解】解：甲尺是直的，两尺拼在一起两端重合， 甲尺经校定是直的，那么乙尺就一定不是直的， 判断依据是：经过两点有且只有一条直线． 故答案是：经过两点有且只有一条直线． 【点睛】本题考查的是直线的性质，解题的关键是熟知两点确定一条直线． 11. 点关于x轴对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的特点是解题的关键．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得答案． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为：， 故答案为：． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 13. 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则______． 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了角的计算以及翻折变换，注意翻折前后不变的边和角，是解此题的关键．根据折叠的性质可得出，再根据，即可得出的度数． 【详解】解：∵把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处， ∴， ∵，， ∴ ， 故答案为：55． 14. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点 ，交 于点，分别以点于 的长为半径画弧交于，连接 并延长，交 于点，连接，恰好有，则 的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线定义，平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，由作图可知平分，又四边形为平行四边形，则，，故有，再根据等角对等边得，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】由作法得平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， 故答案为：． 三、解答题（每小题5 分，共20分） 15. 计算: 【答案】 【解析】 【分析】先计算幂的乘方、绝对值、立方根、算术平方根，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算、幂的乘方、绝对值、立方根、算术平方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 17. 如图，，于点M，于点N，，连接．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再证明，即可证明． 【详解】略 18. 某班计划从商店购买语文资料和数学资料，已知购买一本语文资料比购买一本数学资料多用元，若用元购买语文资料，用元购买数学资料，则购买数学资料的本数刚好是购买语文资料本数的一半．求购买一本语文资料和一本数学资料各需要多少元? 【答案】购买一本语文资料需要元，一本数学资料需要元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设购买一本语文资料需要元，则一本数学资料需要元，根据题意得，解出方程并检验即可，解题的关键读懂题意列出分式方程． 【详解】解：设购买一本语文资料需要元，则一本数学资料需要元， 根据题意得：，解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际， ∴一本数学资料需要元， 答：购买一本语文资料需要元，一本数学资料需要元． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图、图分别是（）的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图 中，画 的角平分线； （2）在图中，画 的角平分线． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析． 【解析】 【分析】（）根据等腰三角形的三线合一的性质解决问题； （）取格点，连接，取的中点，连接交于点，线段即为所求； 本题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形的三线合一定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 如图， 由网格可知：， ∵为中点， ∴， ∴平分， ∴即为所求； 【小问2详解】 如图， 根据网格可知，为中点， ∴， ∴平分， ∴即为所求． 20. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE． （1）判断△CDE的形状，并说明理由． （2）若AO=12，求OE的长． 【答案】（1）△CDE是等边三角形，理由见解析；（2）6． 【解析】 【详解】试题分析：（1）△CDE是等边三角形，根据已知条件易证∠C=60°，CD=CE，即可判定△CDE是等边三角形；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，所以OA=OB=12，再根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可得OE的长． 试题解析：（1）△CDE是等边三角形，理由如下， （2） 考点：等边三角形的判定及性质；直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 21. 为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． （1）求公路 的长度； （2）若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 【答案】（1）千米，千米； （2）修建公路的费用为万元． 【解析】 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）利用三角形的等面积方法即可求解； 本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：（千米）， ∴（千米）， 在中，由勾股定理得：（千米）； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴（千米）， ∴修建公路的费用为（万元）， 答：修建公路的费用为万元． 22. 如图，在四边形中，，平分，延长至点B使得，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形可得，再证明，则，然后由菱形的判定即可证明结论； （2）由菱形的性质得，再证明是等边三角形，得，则，进而由勾股定理得，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）可知，四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 2024年3月3日是第25个全国爱耳日，今年爱耳日的主题为“科技助听，共享美好生活”．某校举行了爱耳知识竞赛活动，并从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，结果如下： 七、八年级学生竞赛成绩统计表 统计量年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 70 65 m 八年级 70 n 80 七、八年级学生竞赛成绩折线统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）该校七年级有200名学生，八年级有300名学生，若规定竞赛成绩为80分及以上为优秀，请估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数； （3）根据表格中的统计量，哪个年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现得更好一些？请说明理由． 【答案】（1）50，70 （2）200 （3）八年级，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查折线统计图、用样本估计总体、平均数、众数、中位数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、平均数、众数、中位数的定义及意义是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义可得答案； （2）根据用样本估计总体，用200乘以样本中七年级的竞赛成绩为80分及以上的人数所占的百分比，用300乘以样本中八年级的竞赛成绩为80分及以上的人数所占的百分比，相加即可． （3）根据平均数、中位数和众数的意义可得答案． 【小问1详解】 解：由折线统计图可得，50分出现的次数最多， ∴七年级10名学生的竞赛成绩的众数； 将八年级抽取的10名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列， 排在第5名和第6名的成绩分别记为70，70， ∴八年级抽取的10名学生的竞赛成绩的中位数； 故答案为：50，70； 【小问2详解】 解：（人）． ∴估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约200人； 【小问3详解】 解：八年级的学生表现更好一些． 理由：抽取的七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，说明两个年级学生平均水平相当， 但是七年级学生竞赛成绩的众数和中位数小于八年级学生， 故八年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现更好一些． 24. 如图①，四边形是正方形，是边上的一个动点（点G与C、D不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，． （1）如图①，线段，线段 的数量关系是 ；位置关系是 ； （2）将图①中的正方形 绕点C 顺时针方向旋转任意角度，如图②，BG 分别交于点H、O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）已知 ，当正方形 旋转到如图③所示的位置，即点 D、E、G 在同一条直线上时，直接写出此时的长度． 【答案】（1）， （2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）由四边形和四边形是正方形，可得，， ，进而得，即可由证明，得到，延长交于点，由全等三角形的性质得到，进而得到，得到，即得； （2）（1）中得到的结论仍然成立，同理（1）证明即可求证； （3）利用正方形的性质和勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ， ∴ ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当正方形绕点旋转到如图位置时， 连接与相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度与注水时间之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题： （1）泳池排水的速度为 ； （2）求线段所表示的函数关系式（不用写自变量的取值范围）； （3）直接写出停止注水时的值． 【答案】（1）； （2）线段函数关系式为； （3）停止注水时的值为． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，待定系数法求解析式，根据图像获得信息是解题的关键． （）根据图象信息即可求解； （）把点、代入，即可求出线段所表示的函数关系式； （）当米时，求出的值即可； 【小问1详解】 解：由图象可知当时，泳池的水排完， ∴泳池排水的速度为， 故答案为：； 【小问2详解】 设线段函数关系式为，根据图象可知过点，， ∴，解得：， ∴线段函数关系式为； 【小问3详解】 由（）得：线段函数关系式为， 当米时，， 解得：， ∴停止注水时的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期初质量检测数学 一、选择题 1. 下面四个数中，最小的数是（ ） A. 4 B. C. D. 0 2. 下列图形为正方体展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 当，时，代数式的值是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4. 如图，下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ） A. 6，7，8 . B. 5，6，7. C. 4，5，6. D. 7，24，25. 6. 若方程组的解中与的差等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 分解因式：_______． 8. 不等式组的解集是________． 9. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约为，将用科学记数法表示为_________． 10. 如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是___． 11. 点关于x轴对称的点的坐标是___________． 12. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 13. 如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，C两点落在，处，若，则______． 14. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点 ，交 于点，分别以点于 的长为半径画弧交于，连接 并延长，交 于点，连接，恰好有，则 的长是______． 三、解答题（每小题5 分，共20分） 15. 计算: 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 如图，，于点M，于点N，，连接．求证：． 18. 某班计划从商店购买语文资料和数学资料，已知购买一本语文资料比购买一本数学资料多用元，若用元购买语文资料，用元购买数学资料，则购买数学资料的本数刚好是购买语文资料本数的一半．求购买一本语文资料和一本数学资料各需要多少元? 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图、图分别是（）的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图 中，画 的角平分线； （2）在图中，画 的角平分线． 20. 如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE． （1）判断△CDE的形状，并说明理由． （2）若AO=12，求OE的长． 21. 为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． （1）求公路 的长度； （2）若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 22. 如图，在四边形中，，平分，延长至点B使得，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求的面积． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 2024年3月3日是第25个全国爱耳日，今年爱耳日的主题为“科技助听，共享美好生活”．某校举行了爱耳知识竞赛活动，并从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，结果如下： 七、八年级学生竞赛成绩统计表 统计量年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 七年级 70 65 m 八年级 70 n 80 七、八年级学生竞赛成绩折线统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）该校七年级有200名学生，八年级有300名学生，若规定竞赛成绩为80分及以上为优秀，请估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数； （3）根据表格中的统计量，哪个年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现得更好一些？请说明理由． 24. 如图①，四边形是正方形，是边上的一个动点（点G与C、D不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，． （1）如图①，线段，线段 的数量关系是 ；位置关系是 ； （2）将图①中的正方形 绕点C 顺时针方向旋转任意角度，如图②，BG 分别交于点H、O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）已知 ，当正方形 旋转到如图③所示的位置，即点 D、E、G 在同一条直线上时，直接写出此时的长度． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度与注水时间之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题： （1）泳池排水的速度为 ； （2）求线段所表示的函数关系式（不用写自变量的取值范围）； （3）直接写出停止注水时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $