精品解析：江苏省常州市某校2025届高二上学期期初考试数学试卷

江苏省溧阳中学2025届高二（上）期初考试 数学学科 注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．请将试卷答案做在答卷纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效． 一．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（ ） A B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系（ ） A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. b>a>c 4. 已知是空间中两条不重合的直线,是空间中两个不同的平面,下列说法正确的是（ ） A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是对立事件，则 B. 若，是互斥事件，，则 C. 若，且，则，是独立事件 D. 若，是独立事件，，则 8. 已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题： 甲：是奇函数； 乙：的图象关于直线对称； 丙：在区间上单调递减； 丁：函数的周期为2. 如果只有一个假命题，则该命题（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 是关于的方程的一个根 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在上的投影向量为 11. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 三棱锥的体积不变 三．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生____人． 14. 中，角所对的边分别为，已知，，，则角大小为______． 15. 端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来常州旅游，若甲、乙2人中至少有1人来常州旅游的概率是，丙来常州旅游的概率是，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内甲，乙，丙3人中至少有1人来常州旅游的概率为________. 16. 在正四棱柱中，已知，，则点到平面的距离为______；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为______. 四．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 设全集，，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 已知， （1）求的值； （2）若 ，求的值. 19. 某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图： （1）估计两组测试的平均成绩， （2）若测试成绩在90分以上为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率． 20. 如图，三条直线型公路，，在点处交汇，其中与、与的夹角都为，在公路上取一点，且km，过铺设一直线型的管道，其中点在上，点在上（，足够长），设km，km． （1）求出，的关系式； （2）试确定，的位置，使得公路段与段的长度之和最小． 21. 如图，在长方体中，，点是的中点. （1）证明：； （2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由； （3）求二面角正切值. 22. 已知函数与，其中是偶函数． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）求函数的定义域； （Ⅲ）若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省溧阳中学2025届高二（上）期初考试 数学学科 注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．请将试卷答案做在答卷纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效． 一．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求再与集合进行交集运算即可求解. 【详解】全集，， 则，又，所以. 故选：B 2. 某组数据、、、、、、、、、的第百分位数为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可求得该组数据的第百分位数. 【详解】数据、、、、、、、、、共个数， 因为，因此，该组数据的第百分位数为. 故选：C. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系（ ） A. a>b>c B. a>c>b C. c>b>a D. b>a>c 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数、对数的运算和指数函数的单调性判断. 【详解】因为，，， 所以b>a>c 故选：D 【点睛】本题主要考查指数、对数和幂的大小比较，属于基础题. 4. 已知是空间中两条不重合的直线,是空间中两个不同的平面,下列说法正确的是（ ） A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,则 D. 若,,则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行与垂直的判定和性质逐个判断即可. 【详解】对于A,若,,则或和为异面直线,故A错误; 对于B,若,,则或,故B错误; 对于C,若,,则或和相交,故C错误; 对于D,若,,则,故D正确. 故选:D. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量平行得到正余弦间的关系，再弦化切，进而用正切和公式展开代入即可. 【详解】因为，所以，易知，所以，所以. 故选：C. 6. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得圆锥底面半径和高，由此求得圆锥的表面积. 【详解】依题意，设圆锥底面半径为，高为，母线长为，则， 底面周长为，则，所以， 所以圆锥的表面积为， 故选：A. 7. 设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ） A. 若，是对立事件，则 B. 若，是互斥事件，，则 C. 若，且，则，是独立事件 D. 若，是独立事件，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概念判断A，根据互斥事件的概率加法公式判断B，根据独立事件的定义及概率公式判断C、D. 【详解】对于A：若，是对立事件，则，故A错误； 对于B：若，是互斥事件，且，， 则，故B错误； 对于C：因为，，则，， 又，所以，是独立事件，故C正确； 对于D：若，是独立事件，则，是独立事件，由，， 所以，故D错误； 故选：C 8. 已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题： 甲：是奇函数； 乙：的图象关于直线对称； 丙：在区间上单调递减； 丁：函数的周期为2. 如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性、周期性、对称性之间的相互关系可知，甲、乙、丁三者中必有一个错误，结合连续函数单调性的特征可知，丙、丁互相矛盾，进而可得结果. 【详解】由连续函数的特征知：由于区间的宽度为2， 所以在区间上单调递减与函数的周期为2相互矛盾， 即丙、丁中有一个为假命题； 若甲、乙成立，即，， 则， 所以，即函数的周期为4， 即丁为假命题. 由于只有一个假命题，则可得该命题是丁， 故选：D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. 的虚部为 B. C. 在复平面内对应的点在第四象限 D. 是关于的方程的一个根 【答案】BD 【解析】 【分析】化简复数，根据复数的概念判断A，求出，根据复数的几何意义判断C，根据复数代数形式的加法运算及复数的模判断B，求出方程的解，即可判断D. 【详解】因为，所以的虚部为，故A错误； ，则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误； 因为，，所以，故B正确； 由，即，所以， 所以，即，，故D正确； 故选：BD 10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C，由投影向量的求解公式可判断D. 【详解】，所以，故A错误； ，故B正确； ， ，，，故C错误； 向量在上投影向量为，故D正确． 故选：BD 11. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 12. 如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 三棱锥的体积不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理证得平面，从而利用面面垂直的判定定理即可判断； 对于B，利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面平面，从而得以判断； 对于C，利用线线平行将异面直线与所成角转化为与所成的角，从而在等边中即可求得该角的范围，由此判断即可； 对于D，先利用线线平行得到点到面平面的距离不变，再利用等体积法即可判断. 【详解】对于A，连接，如图， 因为在正方体中，平面， 又平面，所以， 因为在正方形中，又与为平面内的两条相交直线，所以平面， 因为平面，所以，同理可得， 因为与为平面内两条相交直线，可得平面， 又平面，从而平面平面，故A正确； . 对于B，连接，，如图， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又、为平面内两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，所以与所成角即为与所成的角， 因为，所以为等边三角形， 当与线段的两端点重合时，与所成角取得最小值； 当与线段的中点重合时，与所成角取得最大值； 所以与所成角的范围是，故C错误； 对于D，由选项B得平面，故上任意一点到平面的距离均相等， 即点到面平面的距离不变，不妨设为，则， 所以三棱锥的体积不变，故D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握线面垂直与面面垂直的判定定理、线面平行与面面平行的判定定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化严密推理. 三．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生____人． 【答案】20 【解析】 【分析】利用分层抽样方法直接求解. 【详解】由题意，应抽取高一学生（人）， 故答案是20. 【点睛】该题考查的是有关分层抽样中某层所抽个体数的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，列式求得结果，属于简单题目. 14. 中，角所对的边分别为，已知，，，则角大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，利用正弦定理，得， 由，得，所以. 故答案为： 15. 端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来常州旅游，若甲、乙2人中至少有1人来常州旅游的概率是，丙来常州旅游的概率是，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内甲，乙，丙3人中至少有1人来常州旅游的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式以及对立事件的概率，即可求解. 【详解】设甲乙来常州旅游的概率分别为，则，所以， 甲，乙，丙3人都不来常州旅游的概率为， 所以甲乙丙三人中至少有1人来常州旅游的概率为， 故答案为： 16. 在正四棱柱中，已知，，则点到平面的距离为______；以A为球心，2为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：利用等体积法球点到面的距离；空2：由题意可知：球A仅与平面、平面、平面和平面相交，分别分析球A与各面交线的形状，运算求解即可. 【详解】空1：由题意可得：， 因为平面，平面，可得， 设点到平面的距离为d, 因为，则，解得， 即点到平面的距离为； 空2：由题意可知：球A仅与平面、平面、平面和平面相交， 因为，此时球A与平面的交线为半径为2的圆的， 则交线的长度为； 设球A与棱的交点为，即，可得， 则， 且为锐角，则，即， 所以球A与平面交线为半径为2的圆的， 则交线的长度为； 同理可得：球A与平面的交线的长度； 可知，所以球A与平面的交线为半径为的圆的， 则交线的长度为； 所以球面与该棱柱表面的交线的总长度为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． （2）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 四．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 设全集，，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据补集及交集的定义求解即可； （2）由“”是“”的充分不必要条件得，分类讨论即可． 【小问1详解】 由题知，，，则或， 所以． 【小问2详解】 由得，， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，， 此时且等号不同时成立，解得，又，所以； 当时，即时，， 此时且等号不同时成立，解得，又，所以； 当时，即，，不合题意舍； 综上所述，． 18. 已知， （1）求的值； （2）若 ，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求cosα，根据两角和的正弦公式即可得解.（2）由（1）可得tanα，利用二倍角的正切公式可得tan2α，进而根据两角差的正切公式可得解． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， ； （2）由（1）得， 所以. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，两角和的正弦公式，二倍角的正切公式，两角差的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查计算能力，属于基础题． 19. 某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图： （1）估计两组测试的平均成绩， （2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率． 【答案】（1）“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1计算得到，，再根据平均数公式计算得到答案. （2）确定抽取的比例为，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率. 【小问1详解】 由田径队的频率分布直方图得：， 解得，同理可得． 其中“田径队”的平均成绩为： ， “足球队”的平均成绩为： . 【小问2详解】 “田径队”中90分以上的有（人）， “足球队”中90分以上有（人）． 所以抽取的比例为，在“田径队”抽取 （人），记作a，b，c，d； 在“足球队”抽取 （人）．记作A，B，C． 从中任选2人包含的基本事件有： ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个， 正、副队长都来自“田径队”包含基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个， 故正、副队长都来自“田径队”的概率为． 20. 如图，三条直线型公路，，在点处交汇，其中与、与的夹角都为，在公路上取一点，且km，过铺设一直线型的管道，其中点在上，点在上（，足够长），设km，km． （1）求出，的关系式； （2）试确定，的位置，使得公路段与段的长度之和最小． 【答案】（1）（2）当时，公路段与段的总长度最小 【解析】 【分析】（1）（法一）观察图形可得，由此根据三角形的面积公式，建立方程，化简即可得到的关系式； （法二）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，找到各点坐标，根据三点共线，即可得到结论； （2）运用“乘1法”，利用基本不等式，即可求得最值，得到答案． 【详解】（1）（法一）由图形可知． ， ， 所以，即． （法二）以为坐标原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 由，，三点共线得． （2）由（1）可知， 则（）， 当且仅当（km）时取等号． 答：当时，公路段与段的总长度最小为8．. 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式应用，以及利用基本不等式求最值，着重考查了推理运算能力，属于基础题． 21. 如图，在长方体中，，点是的中点. （1）证明：； （2）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求，若不存在，说明理由； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，； （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）为的中点，取的中点，利用线面平行的判定推理即得. （3）连接，利用线面垂直的判定性质及二面角的定义求出二面角的正切值即可. 【小问1详解】 在长方体中，连接交于点O，则O为的中点，如图， 由四边形是正方形，得， 由平面，平面，得， 而平面，，因此平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 存在一点满足时，使得平面 ， 当点满足，即为的中点，取的中点，连接， 在中，为中点，则， 在长方体中，是的中点， 则且， 于是 且，四边形 为，则， 又平面，平面，所以平面. 【小问3详解】 连接，由为矩形边的中点，得， ，则， 由平面，平面，得， 而平面，于是平面，又平面， 因此，是二面角的平面角，， 而二面角的大小为，所以二面角的正切值为. 22. 已知函数与，其中是偶函数． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）求函数的定义域； （Ⅲ）若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分类讨论，答案见解析；（Ⅲ）． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由偶函数性质，运算即可得解； （Ⅱ）转化条件为，按照、分类，即可得解； （Ⅲ）由对数的运算性质转化条件得方程有且只有一个实根，换元后，结合一元二次方程根的分布即可得解. 【详解】（Ⅰ）∵是偶函数，∴，∴， ∴，∴， 即对一切恒成立， ∴； （Ⅱ）要使函数有意义，需， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，当时，的定义域为； 当时，的定义域为； （Ⅲ）∵只有一个零点， ∴方程有且只有一个实根， 即方程有且只有一个实根， 亦即方程有且只有一个实根， 令（），则方程有且只有一个正根， ①当时，，不合题意； ②当时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根， 由可得，解得或 若，则不合题意，舍去； 若，则满足条件； 若方程有两根异号，则，∴， 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$