精品解析：湖南省长沙市望城区第二中学2025届高三上学期开学考试数学试题

机密★启用前 2024年下学期望城区第二中学高三入学考试 数 学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在方向上的投影向量的模为1，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　) A. (－27) B. (－6,21) C. (2，－7) D. (6，－21) 4. 函数的定义域为，且，若，则函数（ ） A. 以为周期 B. 最大值是1 C. 是函数的一个对称中心 D. 既不是奇函数也不是偶函数 5. 如图，在中， 是边上点，且满足， ， ，则 A. B. C. D. 0 6. 已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 8. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 不等式“”一个必要不充分条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 取最小值时 D. 设，则 11. 已知抛物线焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线的斜率为 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数填入 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 的值为 __________ ． 13. 由球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA，PB，PC，且，，，则球O的半径________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，为的内心，且，则的离心率为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 化简求值： （1）化简：； （2）求的值． 16. 如图，四棱锥中，，，底面中，，，，是线段上一点，设. （1）若，求证：平面； （2）是否存在点，使直线与平面所成角为，若存在，求出；若不存在，请说明理由. 17. 某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测. （1）从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测，求这件产品中的次品数的分布列和数学期望； （2）若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率. 18. 对于函数，（），. （1）当曲线在点处的切线方程为时，求、； （2）当，且时，过曲线上任一点作轴的垂线，与曲线交于点，若点在点的下方，求的取值范围. 19. 以平面直角坐标系原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点且斜率为1的直线与曲线：（是参数）交于两点，与直线：交于点. （1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程； （2）若的中点为，比较与的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★启用前 2024年下学期望城区第二中学高三入学考试 数 学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由题意，. 故选：D. 2. 已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在方向上的投影向量的模为1，且，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的模长公式计算出，再由向量垂直关系列出方程，求出，得到夹角. 【详解】由题可得所以. 因为，所以， 所以，所以， 即. 因为，所以. 故选：B. 3. 在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　) A. (－2,7) B. (－6,21) C. (2，－7) D. (6，－21) 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的中线对应的向量为两相邻边对应向量和的，再用向量的坐标运算求值． 【详解】点是的中点 ∴， ， ， 故答案为（-6，21） 【点睛】本题考查三角形的中线对应的向量与两相邻边对应向量的关系及向量共线的充要条件． 4. 函数的定义域为，且，若，则函数（ ） A. 以为周期 B. 最大值是1 C. 是函数的一个对称中心 D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法，分别令、，、，、，得到，即可得到解析式，再逐项判断. 【详解】因为且， 令，，得①， 令，，得②， 令，，得③， 由①②③式得， 即. 则的最小正周期，故A错误； 的最大值为，故B错误； 因为，故关于对称，故C错误； 因为，所以，且， 所以既不是奇函数也不是偶函数，故D正确. 故选：D. 5. 如图，在中， 是边上的点，且满足， ， ，则 A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】设则，，易知，由余弦定理可得，解得，故, 故选D 6. 已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，将问题转化为在上无解，进而研究函数性质可得，再求得的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 且， 因为函数有唯一的极值点， 所以有唯一正实数根， 因为，所以，故在上无解， 所以在上无解， 记，，则有， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． 此时时，有最小值， 所以，即， 所以，即的取值范围是. 故选：A 7. 中，，，是外接圆圆心，是的最大值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正余弦定理和向量的数量积求得的代数式，进而求得其最大值. 【详解】过点作、，垂足分别为、， 如图，因为是外接圆圆心，则、分别为、的中点， 在中，， 所以，即， 即， ， 同理， 则 ， 由正弦定理得， 当且仅当时取“=”， 所以的最大值为. 故选：C. 8. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线与x轴交于点P，直线与双曲线交于点，记直线、的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件依次求得两点的坐标，由此可求得的值. 【详解】设椭圆标准方程为，双曲线的标准方程为， 则，由，， 所以，所以椭圆方程可化为， 由，两式相减得， ，则， 根据对称性可知关于原点对称，关于轴对称. 则， 直线的方程为. 将代入得， 由，解得或， 而，，所以， 所以，所以双曲线方程可化为， 由消去并化简得， 设，解得，所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐标，主要是通过联立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.在双曲线和椭圆中，的关系是不相同的. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 不等式“”的一个必要不充分条件是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】AB 【解析】 【分析】 解不等式，利用必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】解不等式得：或， 所以不等式“”的充要条件是或． 根据必要不充分条件的定义可知： 不等式“”的一个必要不充分条件等价于： 或是选项的真子集，所以选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的定义，属于中档题. 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. 若，则最小值为 C. 取最小值时 D. 设，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据题意列式求解，即可得结果；对于B：根据等差数列性质可得，再结合基本不等式分析运算；对于C：根据等差数列通项的正负性分析判断；对于D：利用错位相减法分析运算. 【详解】对于选项A：设等差数列的公差为， 由题意可得：，解得， 所以，故A正确； 对于选项B：若，则，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 但，所以的最小值不为，故B错误； 对于选项C：令，解得， 又因为，可得的最后一个负项为第5项，且无零项， 所以取最小值时，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 可得， 两式相减得： ， 所以，故D错误； 故选：AC. 11. 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线的斜率为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】依题意设，，联立方程组，设而不求，利用韦达定理以及可求出直线的斜率，可判断B的正误，利用抛物线焦半径公式可判断C，D的正误，再利用抛物线焦点三角形面积公式可判断A的正误. 【详解】依题意，焦点， 易知，当的斜率不存在时，，与题意不符，故舍去， 所以，设，， 联立方程组，①， 消化简得，，②， 其中，所以，， 所以，解得，故B选项错误， 将代入②中，可得，解得， 所以，故C选项错误， ，故D选项正确， 由①式，消化简得， 所以，， 所以， 把代入得，，故A选项正确， 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数填入 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方．记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 的值为 __________ ． 【答案】369 【解析】 【分析】直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果． 【详解】解：根据题意得：幻方对角线上的数成等差数列， 则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加正好等于． 根据求和公式得：， 则． 故答案为：． 13. 由球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA，PB，PC，且，，，则球O的半径________． 【答案】 【解析】 【分析】以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体,由于点P，A，B，C都在球O的球面上,得到长方体内接于球O，对角线PF长就是球O的直径，即可得出半径． 【详解】以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体． 由于点P，A，B，C都在球O的球面上，显然长方体内接于球O，其对角线PF长就是球O的直径，所以 故球O的半径 【点睛】一般地，如果半径为R的球O有两两互相垂直的三条弦PA，PB，PC，那么为定值． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，为的内心，且，则的离心率为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形内角平分线定理、三角形内心的性质，结合平面向量线性运算的性质、双曲线的定义和离心率公式进行求解即可. 【详解】如图所示，在焦点三角形中， 处长交于点， 因为为的内心，所以有， ， 因为， 所以有， 因此的离心率为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：运用三角形内角平分线定理、平面向量线性运算、三角形内心的性质是解题的关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 化简求值： （1）化简：； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）4. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和同角的三角函数基本关系式可求值. （2）利用辅助角公式和倍角公式可求值. 【详解】（1）. （2）原式 16. 如图，四棱锥中，，，底面中，，，，是线段上一点，设. （1）若，求证：平面； （2）否存在点，使直线与平面所成角为，若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，或，理由见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，证明，由线线平行证得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角问题. 【小问1详解】 取中点，连接，如图所示， ∵，∴为中点，，且. ∵，， ∴且，∴得四边形为平行四边形， ∴，平面，平面， 故平面. 【小问2详解】 取中点，以为原点，，平面内过点垂直于的直线为轴，过点垂直平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：， 设，，∵ ∴，，，，. ∴， ，， 解得：，，，∴，∴， 设，，又∴， 设平面的法向量为∴， 令，解得，，∴， ∴， 整理得：，解得或， ，所以，解得或. 17. 某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测. （1）从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测，求这件产品中的次品数的分布列和数学期望； （2）若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件知，利用二项分布列及期望公式，即可求出结果； （2）记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品， 则，，，，再利用全概率公式，即可求出结果. 【小问1详解】 由题知，， 所以的分布列为， . 【小问2详解】 记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品， 则，，，， 所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为. 18. 对于函数，（），. （1）当曲线在点处的切线方程为时，求、； （2）当，且时，过曲线上任一点作轴的垂线，与曲线交于点，若点在点的下方，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求得和导数，运用导数的几何意义和切点的含义，可得，的方程，解方程可得，的值； （2）由题意可得已知条件可转化为，，由转化为的函数，由，求得单调性和最值，即可得到所求范围． 【小问1详解】 解：因为，则， ，则， 依题意得，解得． 【小问2详解】 解：已知条件可转化为，， 由得， ， 又，由；由；由． 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则， 则有，又得． 故的取值范围是． 19. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点且斜率为1的直线与曲线：（是参数）交于两点，与直线：交于点. （1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程； （2）若的中点为，比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）；（2），详见解析 【解析】 【分析】 （1）将方程消参得到，即为曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标之间的转化关系，将化为，即为直线的直角坐标方程； （2）联立消去y得，设点，，则由中点公式，得点M的坐标是，由韦达定理得到点M的坐标是(4，3)，联立，求得点N的坐标是，应用两点间距离公式和弦长公式求得与的值，比较可得结果. 【详解】（1）由得： ， 故曲线C的普通方程是； 由及公式得， 故直线的直角坐标方程是. （2）因为直线过点且斜率为1， 所以根据点斜式得，直线的方程为，即. 曲线C：是以点为圆心，为半径的圆， 联立消去y得. 设点，，则由中点公式，得点M的坐标是. 由韦达定理，得，，所以， 所以点M的坐标是(4，3). 联立解得，故点N的坐标是. 所以由两点间的距离公式，得. 所以由弦长公式，得弦长. 因为， 所以.故. 【点睛】该题考查的是有关选修4-4的内容，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向直角坐标方程的转化，直线被曲线所截弦长问题，两点间距离公式，属于中档题目. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$