精品解析：湖南省长沙市望城区第六中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

机密★启用前 2024年下学期望城区第六中学高二入学考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数是上奇函数，则（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. 我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：） A. 2452年 B. 2750年 C. 3150年 D. 3856年 3. 设为二次函数的图象与其反函数的图象的一个交点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 20 5. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，在三棱锥的平面展开图中，四边形是菱形，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 A. （0,） B. （1,） C. (,） D. （0,） 8. 如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知函数，则下列叙述中，正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数是偶函数 10. 如图，正方体中，，是线段上的两个动点，则下列结论正确的是（ ） A. ，始终在同一个平面内 B. 平面 C. D. 若正方体的棱长和线段的长均为定值，则三棱锥的体积为定值 11. 如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法不正确是（ ） A. 存在某个位置，使得 B. 当二面角的大小为时， C. 与平面所成的最大角为 D. 存在某个位置，使得到平面的距离为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，夹角为45°，且，，则___________. 13. 已知符号表示不超过x的最大整数，若函数（），给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是______. 14. 已知单位向量，与非零向量满足，，则的最大值是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值. （3）已知，化简； （4）已知，，求的值. 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若点满足，且，求面积的最大值； （3）若，求证：是直角三角形. 17. 为了让羽毛球运动在世界范围内更好的发展，世界羽联将每年的7月5日定为“世界羽毛球日”.在今年的“世界羽毛球日”里，某主办方打算一办有关羽毛球的知识竞答比赛.比赛规则如下；比赛一共进行4轮，每轮回答1道题.第1轮奖金为100元，第2轮奖金为200元，第3轮奖金为300元，第4轮奖金为400元.每一轮答对则可以拿走该轮奖金，答错则失去该轮奖金，奖金采用累计制，即参赛者最高可以拿到1000元奖金.若累计答错2题，则比赛结束且参赛者奖金清零.此外，参赛者在每一轮结束后都可主动选择停止作答､结束比赛并拿走已累计获得的所有奖金，小陈同学去参加比赛，每一轮答对题目的概率都是，并且小陈同学在没有损失奖金风险时会一直选择继续作答，在有损失奖金风险时选择继续作答的可能性为. （1）求小陈同学前3轮比赛答对至少2题的概率； （2）求小陈同学用参加比赛获得的奖金能够购买一只价值499元的羽毛球拍的概率. 18. 淮安有轨电车是服务于淮安市的城市轨道交通，一期工程于2014年2月19日开工建设，2015年12月28日正式通车，是全国第七座、江苏第三座开通有轨电车的城市．淮安有轨电车一期工程线路西起市体育馆，沿交通路至大运河广场北侧，经和平路至水渡口广场，向南沿翔宇大道、楚州大道至淮安区马甸连接线，全长20．07公里，共设车站23个．淮安有轨电车一期工程使用超级电容，利用停站时的30秒钟就可把电车上的电池充满，刹车时产生的80%的动能被回收并转化成电能，节能效果最好．正是采用超级电容供电，淮安有轨电车才会成为目前全球最长的无接触网现代有轨电车线路，且有轨电车的高效运行给市民出行带来很大便利．已知淮安有轨电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足．经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当时电车为满载状态，载客量为200人；当时载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为72人．记电车载客量为． （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量： （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车的时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 19. 在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答． （1）若 ，求A； （2）在第（1）问的前提下，若，求△ABC的周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★启用前 2024年下学期望城区第六中学高二入学考试 数学 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数是上奇函数，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的定义可求参数的值. 【详解】因为是上的奇函数，故，所以=0，故， 当时，，，则是奇函数， 所以. 故选：D. 2. 我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（ ）（参考数据：） A. 2452年 B. 2750年 C. 3150年 D. 3856年 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意可知，两边取对数得， 故选：C 3. 设为二次函数的图象与其反函数的图象的一个交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合反函数的性质分析求解. 【详解】∵反函数过点，则函数过点， 结合题意可得：函数过点和， 则，解得， 故选：C. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的性质和向量的模长计算可得. 【详解】， 因为，所以， 所以，所以， 故选：A 5. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分条件与必要条件判断，看条件与结论之间能否互推，条件能推结论，充分性成立，结论能推条件，必要性成立，由此即可求解. 【详解】若方程表示双曲线， 则或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题以双曲线的标准方程及充分必要条件的判断，考查理解辨析能力，属于基础题. 6. 如图，在三棱锥的平面展开图中，四边形是菱形，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将三棱锥的直观图还原，确定出球心，进而算出球的半径得到答案. 【详解】将三棱锥的直观图还原，如图所示， 则，∴，∴．取的中点O，连接，则，∴O为三棱锥外接球的球心，半径，故三棱锥外接球的表面积． 故选：C. 7. 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是 A. （0,） B. （1,） C. (,） D. （0,） 【答案】A 【解析】 【详解】 综上，选A 8. 如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】线段上取点E使得，结合已知可得，进而有，设，，再结合相关三角形面积、线段的数量关系得，进而得，即可求最大值. 【详解】线段上取点E使得，又， 则，故， 所以，则， 设，则. 由上易知，且，而， 所以，则， 结合及，且， 由三角形内角性质，所以， 综上，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：线段上取点E使得，利用向量加减、数乘整理题设条件为，进而得到相关三角形面积、线段的数量关系，结合及三角形面积公式求最值. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 已知函数，则下列叙述中，正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数在上单调递增 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数是偶函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正切函数的对称性判断AC，利用正切函数的单调性判断B，由偶函数的定义，利用特殊值判断D． 【详解】，A正确； 当时，，因此此时单调递增，B正确； 函数的图象不是轴对称图形，函数的图象是由的图象向左平移个单位得到的，所以其图象也不是轴对称图形，C错误； 因为，但不存在，D错误， 故选：AB． 10. 如图，正方体中，，是线段上两个动点，则下列结论正确的是（ ） A. ，始终在同一个平面内 B. 平面 C. D. 若正方体的棱长和线段的长均为定值，则三棱锥的体积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】A．根据点与平面的关系作出判断；B．根据线面平行的判定定理进行分析；C．根据与平面的位置关系作出判断；D．设出正方体棱长以及的长度，根据条件得到到平面的距离，从而可计算出三棱锥的体积并完成判断. 【详解】因为，，同在平面上，而不在平面上，所以，不在同一个平面内，故A错误； 因为，平面，平面，所以平面，故B正确； 因为平面，而平面，所以，连接，交于点，则， 而，平面，平面，所以平面. 因为平面，所以，故C正确； 不妨设正方体的棱长为，，则. 由于平面，则平面，， 所以. 因为，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】易错点睛：空间中线面平行的证明以及三棱锥体积计算的注意事项有： （1）证明线面平行时，注意说明哪一条直线在面内，哪一条直线不在面内； （2）求解三棱锥体积时，注意选择合适的点作为顶点，合适的三角形作为底面积，这样可以很大程度上简化计算. 11. 如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法不正确的是（ ） A. 存在某个位置，使得 B. 当二面角的大小为时， C. 与平面所成的最大角为 D. 存在某个位置，使得到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PD⊂平面PDQ ，PD⊥BC，即可判断； 选项B：取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，即可得△POC为等腰直角三角形，即可判断； 选项C：由题可得PC与平面BCD所成的角为∠PCO，当PC时，由余弦定理知∠PCO＞60°，即可判断； 选项D：若B到平面PDC的距离为，则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾． 【详解】选项A：当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，有PQ⊥平面BCD，DQ⊥BC，∴PQ⊥BC， 又DQ∩PQ＝Q，DQ、PQ⊂平面PDQ，∴BC⊥平面PDQ， ∵PD⊂平面PDQ，∴PD⊥BC，即选项A正确； 选项B：取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC． 当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD， ∵PB＝PD，∴OP⊥BD， ∵平面PBD∩平面BCD＝BD，∴OP⊥平面BCD，∴OP⊥OC， 又OP＝OC，∴△POC为等腰直角三角形， ∴PCOP，即选项B不正确； 选项C：由题可知，△ABD和△BCD均为等边三角形， 由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为∠PCO， ，当 时， 此时 ，即选项C错误； 选项D：∵点B到PD的距离为，点B到CD的距离为， ∴若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD， 则有DB⊥平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．即选项D错误. 故选：BCD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，夹角为45°，且，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量数量积的运算律计算，再开根即可. 【详解】解：因为向量夹角为，，， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知符号表示不超过x的最大整数，若函数（），给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是.其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据新定义分析得到的图象，即可判断①②③；将方程有且仅有3个根转化为与的图象有3个交点，然后结合图象即可判断④. 【详解】因为符号表示不超过x的最大整数，若函数， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以函数的图象如图所示：    对于①，由上面的图象可知，①是正确的， 对于②，由上面的图象可知，②是错误的， 对于③，由上面的图象可知，③是正确的， 对于④，由上面的图象可知，，，， 因为方程有且仅有3个根，等价于与的图象有个交点， 结合图象可知，当或. 故答案为：①③④. 14. 已知单位向量，与非零向量满足，，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，，，由得出的范围，由得出关系，则，根据得出的关系以及取等的条件可得出答案. 详解】设，， 所以 由，可得，即 由，可得 所以 又，所以 则 当时，等号成立. 此时，或 即，或（这与矛盾，故舍去）， 由，则，即 所以，解得 此时 所以 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查根据模的范围求夹角的范围和求向量数量积的最大值，解答本题的关键是由条件得出的范围，由得出关系，再将关系代入中，根据取等条件得出答案，属于中档题. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）已知，求的值. （3）已知，化简； （4）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系，可得的值，代入所求，即可得答案； （2）左右同时平方，根据同角三角函数关系及二倍角公式，即可得答案； （3）根据同角三角函数关系及二倍角公式，化简可得所求=，根据的范围，可得的范围，分析即可得答案； （4）根据两角和的正切公式，结合题干条件，可得的值，根据二倍角正切公式，代入计算，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以 （2）因为，左右同时平方可得：， 所以， 所以 （3）， 因为，所以， 所以， 所以； （4）， 所以 16. 已知分别为三个内角的对边，且. （1）求； （2）若点满足，且，求的面积的最大值； （3）若，求证：是直角三角形. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边角，再根据三角恒等变换化简即可得解； （2）利用向量化结合基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解； （3）由（1）及余弦定理得出关系，再利用正弦定理化边为角，进而可得出答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又， 则， 又， 所以，即， 又且，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 则， 即， 则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 则， 即的面积的最大值为； 【小问3详解】 由（1）及余弦定理得 ，整理得， 由正弦定理得， 则， 得， 所以， 又，所以， 所以，所以， 所以， 所以是直角三角形. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 17. 为了让羽毛球运动在世界范围内更好的发展，世界羽联将每年的7月5日定为“世界羽毛球日”.在今年的“世界羽毛球日”里，某主办方打算一办有关羽毛球的知识竞答比赛.比赛规则如下；比赛一共进行4轮，每轮回答1道题.第1轮奖金为100元，第2轮奖金为200元，第3轮奖金为300元，第4轮奖金为400元.每一轮答对则可以拿走该轮奖金，答错则失去该轮奖金，奖金采用累计制，即参赛者最高可以拿到1000元奖金.若累计答错2题，则比赛结束且参赛者奖金清零.此外，参赛者在每一轮结束后都可主动选择停止作答､结束比赛并拿走已累计获得的所有奖金，小陈同学去参加比赛，每一轮答对题目的概率都是，并且小陈同学在没有损失奖金风险时会一直选择继续作答，在有损失奖金风险时选择继续作答的可能性为. （1）求小陈同学前3轮比赛答对至少2题的概率； （2）求小陈同学用参加比赛获得的奖金能够购买一只价值499元的羽毛球拍的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）前3轮比赛答对至少2题包含三题都答对，或三题中只答对两题，然后由互斥事件和独立事件的概率公式计算； （2）记小陈同学参加比赛获得的奖金为（单位：元），由题意需要分别计算的概率，各个概率可独立事件的概率公式计算，然后相加后可得结论． 【小问1详解】 记“小陈同学前3轮比赛答对至少2题”为事件， 第1轮答错时没有损失奖金风险，故前2轮必答；前3轮比赛答对至少2题包含两种情况： 前2轮全对或前2轮1对1错且小陈同学选择参加第三轮作答且答对， 故. 【小问2详解】 记小陈同学参加比赛获得的奖金为（单位：元）， 在有损失奖金风险时：小陈同学选择继续作答且答对的可能性为，选择继续作答且答错的可能性为，选择停止作答的可能性为， ， ， ， ， 故. 18. 淮安有轨电车是服务于淮安市的城市轨道交通，一期工程于2014年2月19日开工建设，2015年12月28日正式通车，是全国第七座、江苏第三座开通有轨电车的城市．淮安有轨电车一期工程线路西起市体育馆，沿交通路至大运河广场北侧，经和平路至水渡口广场，向南沿翔宇大道、楚州大道至淮安区马甸连接线，全长20．07公里，共设车站23个．淮安有轨电车一期工程使用超级电容，利用停站时的30秒钟就可把电车上的电池充满，刹车时产生的80%的动能被回收并转化成电能，节能效果最好．正是采用超级电容供电，淮安有轨电车才会成为目前全球最长的无接触网现代有轨电车线路，且有轨电车的高效运行给市民出行带来很大便利．已知淮安有轨电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足．经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当时电车为满载状态，载客量为200人；当时载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为72人．记电车载客量为． （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量： （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车的时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？ 【答案】（1），；（2）当发车的时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大． 【解析】 【分析】 （1）时，设减少的人数为，利用间隔为2分钟时的载客量为72人求出后可得函数解析式； （2）根据（1），求出，然后利用基本不等式和函数的单调性分类讨论求出最大值后比较可得． 【详解】（1）由题意当时，设减少的人数为，则， 又，，， ∴，． （2）由（1）当时，， ，当且仅当时等号成立， ∴，即， 当时，是减函数，， 综上，．此时． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，在已知函数的模型的情况下，关键是根据已知数据求出参数，从而得函数函数解析式．然后由函数式确定如何求最值． 19. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答． （1）若 ，求A； （2）在第（1）问的前提下，若，求△ABC的周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）条件选择见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边化角公式，结合三角恒等变换得出； （2）由余弦定理结合基本不等式得出，再由，得出△ABC的周长的取值范围． 【小问1详解】 选①． 由及正弦定理得， ∴， ∴， 由于△ABC中，，， ∴，即， ∴． 选②． 由及正弦定理得， ∴， 由于△ABC中，，， ∴，即， ∴． 选③． 由及正弦定理得， ∴， ∴， 由于△ABC中，，， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 由将，代入余弦定理得， ∴，即， 由于得， ∴，解得，（当且仅当时取等） 又， ∴，即， ∴求△ABC的周长的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$