精品解析：吉林省长春市第七十二中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

2024—2025学年上学期九年级（大）开学测试 数学试卷 一、单选题 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟知（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：A． 2. 要使分式 有意义，x必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于0时，分式才有意义． 由分式有意义的条件，得，求解即可． 【详解】∵要使分式 有意义， ∴ ∴． 故选：D． 3. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体，石墨烯（）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当，时，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当，时，无法判定四边形是平行四边形，符合题意； C、当，时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，不符合题意． 5. 已知点，，都在直线上，则₁，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数解析式得出随着的增大而增大，结合即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵点，，都在直线上，且， ∴， 故选：D． 6. 在平行四边形 中，，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与系数间的关系，解题的关键是熟练掌握函数的性质． 先由函数中y随x的增大而减小得到，且函数的图象经过第二、四象限，然后可知函数的反比例系数大于零，从而得知反比例函数图象经过第一、三象限，即可得到结果． 【详解】解：函数中y随x的增大而减小， ，且函数的图象经过第二、四象限， 函数的反比例系数大于零， 反比例函数图象经过第一、三象限， 故选：B． 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点M，且，则k的值为（　　） A. 4.5 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等．连接，根据反比例函数k的几何意义可得出， ，再结合，即可求出，最后根据反比例函数的图象在第四象限，即可求出结果． 【详解】解：如图，连接． ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ． ∵， ∴， ∴． ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题 9. 一支长的蜡烛点燃后每小时燃烧掉，用表示燃烧后蜡烛的长度，表示燃烧的时间，那么y与之间的关系式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了变量间的关系，理解题意，找到题中的等量关系是解题的关键．根据题意，经过时间，燃烧掉的长度为，剩下的蜡烛长度等于原始长度减去燃烧掉的蜡烛长度即得解． 【详解】解：根据题意得，经过，燃烧掉的长度为，蜡烛原始长度为， 经过，燃烧后蜡烛的长度． 故答案为：． 10. 如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，根据平行四边形的性质得，，，则，由角平分线的定义得，从而有，再根据等角对等边的性质可得，根据线段和差，再求出的周长即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 11. 在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占，环境卫生成绩占，个人卫生成绩占．八年级一班这三项成绩分别为70分，80分和90分，求该班卫生检查的总成绩________分． 【答案】80 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：该班卫生检查的总成绩（分）． 故答案为：80． 12. 在矩形中，交于点，已知，___________°． 【答案】 【解析】 【分析】先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出，由邻补角关系即可求出结果．本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 即是等边三角形， ， ； 故答案为：． 13. 若直线 与 轴的交点为，则关于 的一元一次方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，根据直线 与 轴的交点为，可得关于 的一元一次方程交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：直线 与 轴的交点为， 则关于 的一元一次方程交点的横坐标就是方程的解， 即， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，下列结论：①；②；③；④的最小值为2，其中正确的结论有_________．（填序号）． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】连接交于，易证四边形是矩形，证明即可判断①；延长交于，根据矩形的性质即可判断②；由已知条件得出，结合不一定等于，即可判断③；由矩形的性质得出，再由垂线段最短即可求出的最小值，即可判断④． 【详解】解：如图，连接交于， ， 在正方形中，， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 延长交于， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴不一定等于，故③错误； ∵， ∴当时，最小，即最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④错误； 综上所述，正确的有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算—化简求值，分式的化简求值．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再结合分式有意义的条件选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解：原式 ∵， 代入得原式． 16. 解方程： ． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查解分式方程，根据解分式方程的一般步骤求解即可，最后进行检验． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 系数化为1得：， 检验：时，， ∴原方程的解为． 17. 如图，已知一次函数的图象经过，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）若为轴上一点，且的面积为6，求点的坐． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法求一次函数解析式； （2）设点坐标为，根据三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【小问1详解】 设一次函数的解析式为， 把点，分别代入得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 设点坐标为， 的面积为6， ， 即 解得或， 或． 18. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】（1）原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 （2）该公司原计划最多应安排8名工人施工 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； 【小问2详解】 解：设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，只用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中，以线段为边画一个面积是6的平行四边形． （2）在图②中，以线段为边画一个面积是4的菱形． （3）在图③中，以线段为边画一个面积是5的正方形形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）作一个底为3 ，高为2的平行四边形即可； （2）作一个对角线为2、4的菱形即可； （3）作一个边长为的正方形即可． 【小问1详解】 解：根据底×高，作一个底为3 ，高为2的平行四边形即可，如图， 【小问2详解】 解：根据对角线的乘积，作一个对角线为2、4的菱形即可，如图， 【小问3详解】 解：∵， 作一个边长为的正方形即可，如图， 【点睛】本题考查作平行四边形和菱形、正方形，利用面积公式求解是关键． 20. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；再根据为线段的中点，全等三角形的判定，则，根据矩形的判定，即可； （2）过点作于点，根据勾股定理，求出的长，再根据四边形的面积等于，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积等于， ∵，， ∵点是对角线的中心， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 21. 某学校组织了一次“五城联创”知识竞赛活动，根据初赛成绩分别从三个年级中选出了10名同学参加决赛，成绩统计如下： 决赛成绩（单位：分） 七年级 82 86 88 81 88 97 80 74 90 89 八年级 85 88 87 97 85 76 88 80 86 88 九年级 81 83 79 79 79 92 99 88 89 86 （1）补全下面的表格 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 ________ 87 八年级 ________ 88 ________ 九年级 79 （2）从以下两个方面对三个年级的成绩进行评价： ①从平均数和众数方面分析，________年级成绩较好； ②从中位数和众数方面分析，________年级成绩较好； （3）学校决定根据决赛成绩，从某个年级中选出3人参加总决赛，你认为该选取哪个年级的学生参赛？并写出理由． 【答案】（1）见解析 （2）①八；②七 （3）应从九年级选出3人参加决赛，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数和众数： （1）根据众数、平均数、中位数的定义求解可得； （2）根据众数、平均数、中位数的意义解答即可； （3）九年级参加比赛的前三名同学的成绩最高可得答案． 【小问1详解】 解：∵七年级成绩为88的人数最多， ∴七年级众数为88， 八年级的平均数为， 把八年级的成绩从低到高排列为76，80，85，85，86，87，88，88，88，97 ∴八年级的中位数为， 完成表格如下： 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 88 87 八年级 86 88 九年级 79 【小问2详解】 解：①从平均数和众数方面分析，八年级成绩较好； ②从中位数和众数方面分析，七年级成绩较好； 故答案为：八，七； 【小问3详解】 解：应从九年级选出3人参加决赛，理由如下： 由表格可知九年级参加比赛的前三名同学的成绩最高， ∴应从九年级选出3人参加决赛． 22. 甲、乙两人在一条直线道路上分别从，两点同时出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向点前进（甲到达点时停止运动），乙也立即向点返回，在整个运动过程中，甲、乙均保持匀速运动，甲、乙两人之间的距离（米与乙运动的时间（秒）之间的关系如图所示， （1）、两点的距离是______米． （2）求甲、乙的速度分别是多少米/秒？ （3）当甲到点时，乙距点的距离是多少米？ 【答案】（1） （2）甲的速度为，乙的速度为 （3）甲到点时，乙距点的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解图象信息是本题的关键． （1）由图象可得A、B两点的距离； （2）由图象可得甲从A到达B运动的时间为375秒，即可求甲的速度，由两人经过200秒相遇，即可求解； （3）分别求出甲、乙从相遇到甲到B点走的路程，即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可得A、B两点的距离为1500米， 故答案为：1500； 【小问2详解】 解：由题可得，甲从A到达B运动的时间为375秒， ∴甲的速度为：， 又∵甲乙两人从出发到相遇的时间为200秒， ∴乙的速度为：； 【小问3详解】 解：∵甲从相遇的地点到达B的路程为：米， 乙在两人相遇后运动175秒的路程为：米， ∴甲到B点时，乙距B点的距离为：米． 23. 已知正方形的边长为8，点E是对角线上的一点． （1）如图①，若点E到的距离为6，则点E到的距离为 ； （2）连接，过点E作，交于点F． ①如图②，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形； ②如图③，在①的条件下，连接，求的值． 【答案】（1）6 （2）①证明：如图②中，连接． 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形． ② 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，掌握相关图形的判定和性质是解题的关键． （1）过点E作于M，利用角平分线的性质定理解决问题即可． （2）①连接，证明，，可得结论；②证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 解：如图①中，过点E作于M，于N． 四边形是正方形， ∴， ，， ∴， ∴点E到的距离为6， 故答案为：6． 【小问2详解】 ①略； ②解：如图③中， 四边形，四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，，由勾股定理有， ． 24. 定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的关联点，直线是点的关联直线．特别地，当时，直线为常数）的关联点为．如图，已知点，，，． （1）①点的关联直线的解析式为 ；②直线的关联点的坐标为 ； （2）设直线的关联点为点，直线的关联点为点，点在轴上，且，求点的坐标． （3）点是折线段（包含端点，上的一个动点．直线是点的关联直线，当直线与四边形恰有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂关联点和关联直线的定义，数形结合解题是关键． （1）利用待定系数法求得直线的解析式，根据关联点和关联直线的定义可得结论； （2）先根据关联点求和的坐标，根据面积和列式可得的坐标； （3）根据点的位置，分三种情况讨论，结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为：， 把点，，代入得，解得， 直线的解析式为：， 点的关联直线的解析式为； 直线的关联点的坐标为：； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：点，，， 直线的解析式为， 直线的解析式为， ，，， 直线的解析式为， 设点， 过作轴于，轴于， ， ， ， 解得或， 或，； 【小问3详解】 解：①当在线段上时， 直线的解析式为， ，， 关联直线， 把代入， ， 解得，此时与平行四边形有一个交点， 时，直线与四边形恰有两个公共点； ②当在线段上时， 直线的解析式为， ，， 关联直线， 把代入， ， 解得， 时，直线与四边形恰有两个公共点； ③当在线段上时，直线与四边形始终有两个公共点； 综上所述：或时，直线与四边形恰有两个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期九年级（大）开学测试 数学试卷 一、单选题 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使分式 有意义，x必须满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体，石墨烯（）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂．其中0.000001科学记数法表示是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知点，，都在直线上，则₁，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形 中，，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，y随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点M，且，则k的值为（　　） A. 4.5 B. C. 7 D. 二、填空题 9. 一支长的蜡烛点燃后每小时燃烧掉，用表示燃烧后蜡烛的长度，表示燃烧的时间，那么y与之间的关系式是___________． 10. 如图，在平行四边形中，平分，，，则平行四边形的周长是_____． 11. 在学校的卫生检查中，规定各班的教室卫生成绩占，环境卫生成绩占，个人卫生成绩占．八年级一班这三项成绩分别为70分，80分和90分，求该班卫生检查的总成绩________分． 12. 在矩形中，交于点，已知，___________°． 13. 若直线 与 轴的交点为，则关于 的一元一次方程的解为__________． 14. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，下列结论：①；②；③；④的最小值为2，其中正确的结论有_________．（填序号）． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，从1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 16. 解方程： ． 17. 如图，已知一次函数的图象经过，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）若为轴上一点，且的面积为6，求点的坐． 18. 某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． （1）求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ （2）负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，只用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中，以线段为边画一个面积是6的平行四边形． （2）在图②中，以线段为边画一个面积是4的菱形． （3）在图③中，以线段为边画一个面积是5的正方形形． 20. 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 某学校组织了一次“五城联创”知识竞赛活动，根据初赛成绩分别从三个年级中选出了10名同学参加决赛，成绩统计如下： 决赛成绩（单位：分） 七年级 82 86 88 81 88 97 80 74 90 89 八年级 85 88 87 97 85 76 88 80 86 88 九年级 81 83 79 79 79 92 99 88 89 86 （1）补全下面的表格 年纪 平均数 众数 中位数 七年级 ________ 87 八年级 ________ 88 ________ 九年级 79 （2）从以下两个方面对三个年级的成绩进行评价： ①从平均数和众数方面分析，________年级成绩较好； ②从中位数和众数方面分析，________年级成绩较好； （3）学校决定根据决赛成绩，从某个年级中选出3人参加总决赛，你认为该选取哪个年级的学生参赛？并写出理由． 22. 甲、乙两人在一条直线道路上分别从，两点同时出发，相向而行，当两人相遇后，甲继续向点前进（甲到达点时停止运动），乙也立即向点返回，在整个运动过程中，甲、乙均保持匀速运动，甲、乙两人之间的距离（米与乙运动的时间（秒）之间的关系如图所示， （1）、两点的距离是______米． （2）求甲、乙的速度分别是多少米/秒？ （3）当甲到点时，乙距点的距离是多少米？ 23. 已知正方形的边长为8，点E是对角线上的一点． （1）如图①，若点E到的距离为6，则点E到的距离为 ； （2）连接，过点E作，交于点F． ①如图②，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形； ②如图③，在①的条件下，连接，求的值． 24. 定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的关联点，直线是点的关联直线．特别地，当时，直线为常数）的关联点为．如图，已知点，，，． （1）①点的关联直线的解析式为 ；②直线的关联点的坐标为 ； （2）设直线的关联点为点，直线的关联点为点，点在轴上，且，求点的坐标． （3）点是折线段（包含端点，上的一个动点．直线是点的关联直线，当直线与四边形恰有两个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $