精品解析：江苏省扬州大学附属中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学试题 一、单项选择题． 1. 已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 2. 若，是第二象限角，则（ ） A B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 4. 已知为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题． 9. 下列等式成立的是（ ） A B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是R上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C 当时，函数有三个零点 D. 当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 11. 已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题． 12. 当时，求的最小值为___________. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则的值为______． 14. 设，函数，当时，函数有______个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为______． 四、解答题． 15. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 16. 已知，，且. （1）求值； （2）求的值. 17. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）设，若不等式对恒成立，求的取值范围． 19. 若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，直接判断和是否为区间上增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数， 求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 一、单项选择题． 1. 已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 2. 若，是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式求得，结合，即可求解. 【详解】解：因为且是第二象限角，可得， 又由. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】原函数求导，再令可得结果. 【详解】因为，所以. 令得：. 故选：A 4. 已知为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可. 【详解】∵为奇函数， ∴， ∴，即，解得， 经检验符合题意，所以. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出，，，即可求解. 【详解】 ，故； ，故，故. 故选：B. 6. 曲线上的点到直线的最短距离是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】令求得，由导数的几何意义知在点的切线斜率为3，然后利用点到线距离公式求出最小距离. 【详解】直线的斜率为， 所以，令得，， 将代入可得，则在点的切线斜率为， 所以切点到直线的距离为：. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得，再根据二倍角余弦公式求解. 【详解】由，可得， 即，即得， . 故选：B. 8. 设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过构造函数，利用的奇偶性和条件得到在上单调递减，再将变形得到，即可求出结果. 【详解】因为，所以，得到， 因为，所以，令， 所以， 因为，所以，所以为奇函数； ，当时，单调递减，因此在上单调递减； ，， 所以 ， 因为，所以 即，所以， 由于在上单调递减，所以，解之得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是构造了函数，从而分析得的性质，由此得解. 二、多项选择题． 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式、正切公式的逆运用可以分别计算出A、D选项，利用二倍角正弦公式的逆运用可以计算出B选项，根据降幂公式可以化简病求出C选项. 【详解】对于A选项，，所以A正确； 对于B选项，，所以B不正确； 对于C选项，，所以C不正确； 对于D选项，，所以D正确； 故选：AD. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若是R上的增函数，则 B. 当时，函数有两个极值 C. 当时，函数有三个零点 D. 当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 【答案】AB 【解析】 【分析】求导得，根据判别式确定导函数的根，即可结合极值定义求解ABC，求解函数的切线方程，联立方程求解交点，即可判断D． 【详解】对于A，是上的增函数， ，，解得，A正确； 对于B，当时，，有两个异根， 函数有两个极值，B正确； 对于C，令，则或， 当时，当，即时，有相等根， 此时有两零点； 当，即时，有相异的两根， 此时有三个零点，C错误； 对于D，当时，， ，又， 在点,处的切线方程为， 由，得或， 当时，在点处的切线与有2个公共点，D错误． 故选：AB． 11. 已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由得到，由与的图象，可以直接判断，；再由得到，结合进一步得到. 【详解】令，则，分别作函数与的图象，如图所示. 不妨设，则由图可得，所以成立，故D正确 因为，所以，故C错误. 又因，所以，即，所以，故A错误，B正确. 故选：BD. 三、填空题． 12. 当时，求的最小值为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】当时，， 当且仅当,即时等号成立. ∴的最小值为10. 故答案为：10. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得函数的周期性，即可结合奇偶性代入求解. 【详解】由，故的周期为2， 故. 故答案： 14. 设，函数，当时，函数有______个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据方程的根，结合复合函数，即可求根求解空1，令，先考虑时，函数在,上有2个零点，再考虑，分与两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案． 【详解】当时，，令，解得， 令，则，故或，此时有2个零点， 设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在,上有2个零点， 时，若，，对称轴为， 函数的大致图象如下： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得， 显然令在上存在唯一负解， 要使恰有3个零点， 只需在上除或外不能再有其他解， 即不能再有除或外的其他解， 故，即，解得，所以． 故答案为：2， 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题． 15. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）3 （2）⋅ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【小问1详解】 由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 16. 已知，，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化成关于的齐次式即可求解； （2）根据平方关系、商数关系以及角的范围可得，由两角和的正切公式以及角的范围即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为，所以，， 所以， 又，所以由，解得， 所以，又，，故， 所以. 17. 如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用两平面法向量数量积为，证明面面垂直； （2）利用法向量方法求解线面角. 【小问1详解】 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，， ，，. 设平面PCD的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 设平面PAC的一个法向量为，则， 即，不妨令，则，， 所以， 因为， 所以，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知，，所以，， 因为，所以，即，解得， 故，所以，由（1）知， 设直线BM与平面PCD所成的角为， 则， 故直线BM与平面PCD所成角的正弦值为. 18. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）设，若不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性； （2）结合（1）可得，令，利用导数解不等式即可. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，的单调减区间为，无单调增区间； 当时，的单调减区间为，单调增区间为． 【小问2详解】 当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为． 因不等式对恒成立，所以． 设， 则的定义域为，且恒成立， 可知：在上单调递增． 因为，所以， 即，可得，即． 综上所述：的取值范围是． 19. 若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数． （1）已知函数，函数，直接判断和是否为区间上的增长函数； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值； （3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数， 求实数a的取值范围． 【答案】（1）是，不是； （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定定义推理判断或者反例判断而得； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【小问1详解】 的定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； 取，，， 所以不是区间上的增长函数. 【小问2详解】 依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数n的最小值为9； 【小问3详解】 由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $