精品解析：天津市南开中学2023-2024学年高一下学期第一次学情调查数学试题

高一下学期第一次学情调查数学试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 化简等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量线性运算计算即可． 【详解】， 故选：D． 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列方程求的值. 【详解】， ，则有，解得. 故选：B 3. 已知复数z满足，则复数z的虚部为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出，由此得到虚部. 【详解】 复数的虚部为 本题正确选项： 【点睛】本题考查复数的运算及复数的基本概念，属于基础题. 4. 在中，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量数量积的运算律及投影向量的公式求解即可． 【详解】因为，所以， 所以，即， 在中，，，则， 所以在方向上的投影向量为， 故选：C． 5. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为，则圆锥的表面积为（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，求得圆锥的母线长，从而可得侧面积，再求出底面圆的面积，从而可得圆锥的表面积. 【详解】由扇形弧长等于底面周长可得： ，解得：， 扇形面积，底面面积， 圆锥的表面积为. 故选：D. 6. 若、、为三条不同的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A. 如果，，则 B. 如果，，，，则 C. 如果，，则 D. 如果，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面平行的性质可判断C选项；利用已知条件判断线面、线线、面面的位置关系，可判断ABD选项. 【详解】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，，，则或、相交，B错； 对于C选项，若，，则，C对； 对于D选项，若，，，则或、异面，D错. 故选：C. 7. 如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求. 【详解】在中，， 则， 由正弦定理得， 解得(m）， 又在点测得塔顶的仰角为，即， 在中，(m). 故选：D. 8. 如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，利用几何法找到所成角，结合余弦定理即可求解. 【详解】 取的中点F，连接EF，CF，， 又为的中点， 在长方体中，可得， 所以为异面直线BD与CE所成的角或其补角， 因， 所以， ， 所以在中，由余弦定理得 . 故选：A. 9. 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值. 【详解】如下图所示： ，即，， ，，，， ，、、三点共线，则. ， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题. 10. 在梯形中，，动点和分别在线段和上，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在梯形中，利用向量线性运算,得出关于的函数关系式，可得，设，利用导数得到函数的单调性，进而求得最值，即可得到的取值范围 【详解】 如图，在梯形中， ， 且， ， 由，解得， 设，则， 令，解得， 所以当时， ，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以当时，的最小值为， 又，，即的最大值为， 则的取值范围为. 故选：D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 设是虚数单位，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由虚数的定义及复数模的定义计算即可． 【详解】，所以， 故答案为：． 12. 在中，角的对边分别为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求解即可． 【详解】由余弦定理得，，解得或（舍）， 所以， 故答案为：． 13. 在中，角的对边分别为，且的面积为，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，且的面积为， 则，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 故答案为: . 14. 为庆祝我校建校120周年，数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，，则____________． 【答案】18 【解析】 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，根据平面向量坐标运算求解即可． 【详解】以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 由已知得，， 所以， 所以， 故答案为：18． 15. 如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与分别相切于点，交于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，分别求得和，结合圆锥和球的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，在中，，可得， 连接，如图所示， 由半圆与相切于点，与相切于点，则， 在直角中,， 则绕旋转一周得到一个圆锥，其中底面为以为圆心，以为半径， 圆锥的高为，其体积为， 半圆绕旋转可得以为球心，半径为为半径的球， 其体积为， 所以图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 故答案为：. 16. 在锐角中，角的对边分别为，若，且满足，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角函数的图象求解即可． 【详解】由得，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，， 又为锐角三角形，所以，则，即， 由正弦定理得，，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，则， 所以，即， 所以， 故答案为：． 三、解答题（每小题12分，共36分） 17. 在中，角的对边分别为，若，其中， （1）求角的大小； （2）若的面积为． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由便得到，进行数量积的坐标运算便可得到，从而得出； （2）①利用余弦定理及三角形面积公式计算可求；②利用正弦定理求得，再由三角恒等变换计算可求的值. 【小问1详解】 因为，则， 又， 所以， 由正弦定理得， 即， 又是内角，则, 所以，即, 又是内角，则. 【小问2详解】 ①在中，，由（1）及余弦定理得 ， 又，， 联立解得，或（舍去）； ②由正弦定理可得，， 因为，，所以， 所以， 由可知， 所以， 故. 18. 在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，分别为的中点，为等腰直角三角形，且． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若分为的中点，点在线段上，且．求证：平面平面． （注：只能使用几何法，其他方法一律不给分） 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线及线面平行的判定即可证明； （2）通过转化得异面直线与所成角即为与夹角，由余弦定理求解即可； （3）连接，由线线平行证明线面平行，再根据面面平行的判定证明即可． 【小问1详解】 证明：连接，则为中点， 又点为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角， 在等腰直角三角形中，设，则，，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 连接，如图所示， 因为分为的中点，所以， 因为为的中点，所以， 因点在线段上，且，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又，平面， 所以平面平面． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1）①；② （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用正弦定理角化边，然后利用余弦定理来求解；②利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （2）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 ①由正弦定理得，即， 所以，又， 所以； ②由①，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 ； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，即， 所以或， 当时，，为直角三角形， 当， 则， 得，在三角形中不可能成立， 所以为的直角三角形， 因为点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期第一次学情调查数学试卷 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 化简等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 0 3. 已知复数z满足，则复数z虚部为 A. B. C. D. 4. 在中，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为，则圆锥的表面积为（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 6. 若、、为三条不同的直线，、为两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A. 如果，，则 B. 如果，，，，则 C. 如果，，则 D 如果，，，则 7. 如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为 A. B. C. D. 10. 在梯形中，，动点和分别在线段和上，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 设是虚数单位，，则____________． 12. 在中，角的对边分别为，则____________． 13. 在中，角的对边分别为，且的面积为，，则____________． 14. 庆祝我校建校120周年，数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，，则____________． 15. 如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与分别相切于点，交于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为____________． 16. 在锐角中，角的对边分别为，若，且满足，则的取值范围为____________． 三、解答题（每小题12分，共36分） 17. 在中，角的对边分别为，若，其中， （1）求角的大小； （2）若的面积为． ①求的值； ②求的值． 18. 在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，分别为中点，为等腰直角三角形，且． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若分为的中点，点在线段上，且．求证：平面平面． （注：只能使用几何法，其他方法一律不给分） 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为的费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$