专题1.3 二次函数（全章常考知识点分类专题）（培优练）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.3 二次函数（全章常考知识点分类专题）（培优练） 【考点目录】 【考点1】二次函数的配方； 【考点2】抛物线对称轴、开口方向、最值； 【考点3】抛物线与坐标轴交点坐标； 【考点4】二次函数的增减性； 【考点5】二次函数的对称性； 【考点6】二次函数图象与性质综合； 【考点7】一次函数、二次函数图象综合； 【考点8】二次函数、反比例函数图象综合； 【考点9】二次函数与一元二次方程； 【考点10】二次函数与不等式； 【考点11】二次函数图形变换（平移、旋转、折叠）； 【考点12】二次函数与将军饮马； 【考点13】实际问题与二次函数； 【考点14】由二次函数图象判断式子符号； 【考点15】二次函数综合问题. 1、 单选题 【考点1】二次函数的配方； 1．（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·期中）抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【考点2】抛物线的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值； 3．（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）顶点为，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东临沂·期末）关于抛物线，下列说法中错误的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标 D．与轴交点坐标 【考点3】抛物线的与坐标轴交点坐标； 5．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）抛物线 上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下表所示∶ ．．． 0 1 2 ．．． 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中，错误的是（   ） A．抛物线与 轴的一个交点坐标为 B．抛物线与 轴的交点坐标为 C．抛物线的对称轴是直线 D．抛物线在对称轴左侧部分 随 的增大而减小 6．（2023·湖北武汉·模拟预测）对于每个非零自然数，抛物线与轴交于，两点，以表示这两点之间的距离，则的值是（    ） A． B． C． D． 【考点4】二次函数的增减性； 7．（2024·上海静安·三模）下列函数中，当时，随增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知函数，且，若不论取何正数时，函数值都随自变量的增大而减小，则满足条件的的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【考点5】二次函数的对称性； 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下： … … … … 则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·新疆塔城·期中）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【考点6】二次函数图象与性质综合； 11．（2024·广西柳州·三模）下列有关函数的说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数图象中，当时，y随x增大而减小 12．（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是． 正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点7】一次函数、二次函数图象综合； 13．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）已知抛物线的图象如图所示，其对称轴为直线，则一次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【考点8】二次函数、反比例函数图象综合； 15．（23-24九年级上·贵州黔南·开学考试）已知在同一直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致可能是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级下·江西南昌·开学考试）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【考点9】二次函数与一元二次方程； 17．（23-24九年级上·山东威海·期末）已知关于x的方程的两个根分别是，若点A是二次函数的图象与y轴的交点，过A作轴交抛物线于另一交点B，则的长为（    ） A．2 B． C． D．3 18．（2023·广东梅州·一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（    ） A． B． C． D．20 【考点10】二次函数与不等式； 19．（23-24九年级上·四川广安·期末）如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中， … … … … 根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 20．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【考点11】二次函数的图形变换（平移、旋转、折叠）； 21．（22-23九年级上·山东日照·阶段练习）将二次函数的图象平移或翻折后经过点的是（    ） A．向左平移2个单位长度 B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向上平移4个单位长度 D．沿x轴翻折 22．（17-18九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，将折叠，使点的对应点落在边上，折痕为．若的长为，的长为，那么与之间的关系图象大约是(　　)    A．    B．   C．   D．   【考点12】二次函数与将军饮马； 23．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 24．（2021·广东深圳·二模）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（    ）    A． B．当时，y随x的增大而增大 C．周长的最小值是＋3 D． 是的一个根 【考点13】实际问题与二次函数； 25．（2024·天津南开·二模）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 26．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点14】由二次函数图象判断式子符号； 27．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论；①；②；③；④当时，．正确结论有（   ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 28．（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，给出下列结论： （1）（2）（3）（4）（5）其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点15】二次函数综合问题. 29．（2023·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，过点作轴，交于点，点在下方的抛物线上（不与点，重合），连接，，设的面积为，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 30．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图二次函数图象与轴交于，两点（点在轴的负半轴），与轴交于一点，过作轴交图象于点，连结，，若，则点的横坐标为　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2、 填空题 【考点1】二次函数的配方； 31．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为 ． 32．（23-24九年级上·广西玉林·阶段练习）二次函数的图象的开口向 ，顶点坐标为 ． 【考点2】抛物线的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值； 33．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）抛物线的顶点坐标 ，当 时，y最小值＝ ． 34．（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）函数的开口向 ，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当 时随的增大而减小． 【考点3】抛物线的与坐标轴交点坐标； 35．（23-24九年级上·浙江杭州·开学考试）已知函数的图象与坐标轴只有两个交点，则 ． 36．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【考点4】二次函数的增减性； 37．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）有六张正面分别写有数字，0，2，3，4的卡片，六张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为n，则抽取的n既能使关于x的方程有实数根，又能使以x为自变量的二次函数当时，y随x的增大而减小的概率为 ． 38．（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为 ． 【考点5】二次函数的对称性； 39．（23-24九年级下·吉林·开学考试）抛物线的对称轴是轴，则的值为 ． 40．（23-24八年级下·重庆江北·期末）已知，，在函数上，当且时，则，，之间的大小关系 ． 【考点6】二次函数图象与性质综合； 41．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 42．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）若关于x的一元二次方程的一根，另一根，则抛物线的顶点到x轴距离的最小值是 ． 【考点7】一次函数、二次函数图象综合； 43．（2024九年级上·浙江·专题练习）直线与y轴交于点P，直线绕点P顺时针旋转得到直线，若直线与抛物线有唯一的公共点，则 ． 44．（2024·山东聊城·二模）如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 【考点8】二次函数、反比例函数图象综合； 45．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）若直线与函数的图像有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，设，则的取值范围是 ． 46．（21-22九年级上·安徽淮北·阶段练习）已知二次函数和反比例函数在同一个坐标系中的图象如图所示，则k的值为 ；不等式的解集是 ． 【考点9】二次函数与一元二次方程； 47．（2024·浙江·一模）若在二次函数中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x …… 0 1 3 …… y …… 2 7 …… 则方程的解是 ． 48．（2024·江苏扬州·三模）设一元二次方程的两实根分别为，且，则将按照从小到大的排列结果为 ． 【考点10】二次函数与不等式； 49．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图是抛物线的部分图象，若，则x的取值范围是 ． 50．（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【考点11】二次函数的图形变换（平移、旋转、折叠）； 51．（23-24九年级上·山东济南·期末）要将函数的图象向右平移个单位长度．再向上平移个单位长度得到的二次函数为，那么 ． 52．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的解析式是 ． 【考点12】二次函数与将军饮马； 53．（22-23九年级上·山东济宁·期中）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 54．（22-23九年级上·河南许昌·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【考点13】实际问题与二次函数； 55．（23-24九年级上·全国·单元测试）某公司推出一种高效环保洗涤用品，年初上市后公司经历了亏损到盈利的过程如图的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累积利润万元与销售时间月之间的关系即前个月的利润总和与之间的关系根据图象提供的信息，可求出该公司第个月的利润是 万元．    56．（22-23九年级上·云南昭通·阶段练习）汽车刹车后行驶的距离S（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是．则汽车从刹车到停止所用时间为 秒． 【考点14】由二次函数图象判断式子符号； 57．（2024·吉林·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中．下列结论： ①； ②当时，y随x的增大而减小； ③关于x的方程有实数根，则n是非负数； ④代数式的值大于0． 其中正确的结论是 （填写序号）． 58．（22-23九年级上·福建莆田·期中）二次函数的图像如图所示，下列说法：①；②当时，；③若在函数图像上，当时，；④；⑤，其中正确的有（填写正确的序号） ． 【考点15】二次函数综合问题. 59．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图所示，已知抛物线，与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，过点A作交抛物线于点D，连接，则的度数 ． 60．（2024·江苏苏州·二模）已知关于x的二次函数（a，m为常数，且）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．的面积与的面积相等时，m的值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，利用配方法把二次函数一般式转化为顶点式即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标是， 故选：． 2．D 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，熟练通过配方法，将一般式化成顶点式是解答本题的关键． 由平移的性质可知：抛物线经过平移后，的值不变．将化成顶点式，再通过各选项比较，得到各自平移方法，最后分析出无法通过平移抛物线得到． 【详解】解：．，抛物线向右平移，再向下平移得到抛物线，故不符合题意； ．， 抛物线向右平移，再向下平移得到抛物线，故不符合题意； ．，，抛物线向下平移得到抛物线，故不符合题意； ．，由平移的性质，的值变为，无法通过平移得到，故符合题意． 故选． 3．D 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象，根据二次函数的性质及顶点坐标求解，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【详解】解：∵顶点为， ∴设抛物线解析式为， ∵开口方向、形状与函数的图象相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 故选：． 4．D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 根据的图象与性质解答． 【详解】在中， ∴抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， ∴选项A、B、C均不符合题意； 令，得， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴选项D符合题意． 故选：D． 5．D 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标与自变量和的函数值的对应关系，也考查了利用自变量和对应的函数值确定抛物线的对称轴和增减性，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据表格中信息，可得点，在抛物线上，从而得到A、B正确；又有当 时， ，当 时，，可得抛物线的对称轴为 ，故C正确；根据 ，得到抛物线开口向下，然后利用二次函数的增减性即可判断D错误；即可求解． 【详解】解：根据表格中信息，得： 当 时， ，当时 ， ， ∴点，在抛物线上，故A、B正确，故本选项不符合题意； 根据表格中信息，得： 当 时， ， 当 时，， ∴抛物线的对称轴为 ，故C正确，故本选项不符合题意； ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，故D错误，故本选项符合题意； 故选：D． 6．D 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，依据题意，先利用因式分解的方法得到交点、坐标为，，所以，然后带入计算即可． 【详解】， 抛物线与轴的交点、坐标为，． ． ． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数、一次函数、二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据反比例函数，一次函数，二次函数的图象与性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，当时，随增大而增大，故符合要求； B中，当时，随增大而减小，故不符合要求； C中，当时，随增大而增大，故不符合要求； D中是一条平行于轴的直线，故不符合要求； 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．根据题意可以求得抛物线的对称轴，由可知，抛物线开口向上，从而可以解答本题． 【详解】解：， 该函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴， ∵ ∴对称轴， ∵不论m取何正数时，函数值y都随自变量x的增大而减小， ∴x不大于均符合要求，故选项A符合条件，选项B、C、D不符合条件， 故选：A． 9．A 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据二次函数经过，，可得对称轴，再根据二次函数的对称性可设关于的对称性点为，即得，求出为，再将其代入，即可求出． 【详解】解：由表格可得二次函数经过，， ∴二次函数的对称轴为， 又∵二次函数经过， 设的关于的对称性点为， ∴， 解得 ， 即二次函数经过， 将代入中， 可得， 故选． 10．A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 11．C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 直接根据二次函数的图象性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵函数，， ∴开口向上，正确，故此选项不符合题意； B、∵函数， ∴对称轴是直线，正确，故此选项不符合题意； C、∵函数， ∴顶点坐标是，原说法不正确，故此选项符合题意； D、∵函数， ∴开口向上， 对称轴是直线， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∴当时，y随x增大而减小，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 12．D 【分析】本题考查了抛物线的图像和性质，利用数形结合的思想求解即可． 【详解】把代入，解得：，故①正确； ∵得对称轴为直线 而抛物线与x轴的一个交点坐标为 ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ∴关于的方程的解是，故②正确； ∵ ∴ 当时，，故③正确； 当时，，故④正确； 作原点关于直线的对称点D， 则 连接交直线于P点， ∵ ∴ 此时的值最小， ∴周长有最小值 ∵ ∴周长最小值为，故⑤正确； 故选：D． 13．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的性质，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 先根据二次函数性质得出，进而得出，，判断出一次函数的图象过第一、三、四象限，再判断一次函数与轴交点在与0之间，一次函数与轴交点是1，即可得出答案． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ， ， 根据二次函数图象得， 当时，则， 由图象得， ，， 一次函数的图象过第一、三、四象限， 当时，， ， 一次函数与轴交点在与0之间， 当时，， ， 一次函数与轴交点是1， 故选：C． 14．D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 15．C 【分析】本题考查考查二次函数和反比例函数与系数的关系，正确判断函数的图像和系数的关系是解题的关键；根据二次项系数决定抛物线的开口方向，，共同决定了对称轴的位置，常数项决定了抛物线与轴的交点位置，根据反比例函数图像判断系数即可求解； 【详解】解：根据二次函数图像可知：，，则，二次函数交轴正半轴，故， 反比例函数过二，四象限，故； 则一次函数，， ，则 故一次函数过一，二，三象限； 故选：C 16．C 【分析】本题考查了二次函数的图象，反比例函数的图象，一次函数的图象，先根据二次函数的图象判断出的符号，进而可判断出一次函数与反比例函数图象所在的象限，先根据二次函数的图象判断出的符号是解答此题的关键． 【详解】解：抛物线开口向下， ． 抛物线与轴的交点在轴正半轴， ． 抛物线的对称轴在轴正半轴， ， ， 一次函数的图象经过一二四象限，反比例函数的图象的两个分支分别位于一三象限， 故选：C． 17．A 【分析】本题考查方程的解，二次函数的图象及性质，抛物线与坐标轴的交点． 把解代入方程中，即可求得b，c的值，从而得到二次函数解析式，令得到点A的坐标，由轴与点B在二次函数图象上得到点B的坐标，从而可求得的长． 【详解】∵方程的两个根分别是， ∴， 解得， ∴二次函数为， 令，则， ∴二次函数为的图象与y轴的交点A的坐标为， ∵轴， ∴点B的纵坐标为， 把代入函数，得， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴． 18．A 【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案． 【详解】解：抛物线与一次函数交于两点， 联立，消元得， ， 故选：A 【点拨】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的关键． 19．C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点坐标，利用交点式得到，从而得到二次函数解析式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得结论．掌握二次函数表达式的求法是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线过点、， ∴抛物线的对称轴为， 又∵抛物线过点，， ∴， ∴抛物线与轴的交点为、， 设抛物线解析式为， 整理得： 又∵二次函数 ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，最大值， ∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点， ∴． 故选：C． 20．A 【分析】本题考查函数与不等式的关系，正确应用数形结合思想是解题关键． 令，根据题意画出的图象草图，再据此求解即可． 【详解】令， 一元三次方程的解为，，， 的图象与x轴的交点为，，． 当时，， ， 函数的图象与x轴的交点不含， 的图象草图如下： 从图象上可以看出时，即时，x的取值范围是或． 关于x的不等式的解集是或． 故选：A． 21．B 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征等相关知识点，求出平移和翻折后的解析式是解题的关键． 【详解】解：A. 向左平移2个单位长度得到，当时，，不符合题意； B.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，当时，，符合题意； C.向向上平移4个单位长度得到，当时，，不符合题意； D.沿x轴翻折得到，当时，，不符合题意； 故选B． 22．B 【分析】本题考查了动点问题的图象，勾股定理，折叠的性质，根据勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：∵的长为， 的长为， ∴， 在中，利用勾股定理， 得， 解得：其中； 故选：B． 23．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 24．C 【分析】由题意知，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，抛物线过点，则，即，可判断A的正误；当时，y随x的增大而增大，可判断B的正误；点关于直线的对称点为，即是的一个根，可判断D的正误：当，，即，如图，点关于直线的对称点为，连接，由题意知，，当三点共线时，的和最小，即的和最小为，由勾股定理得，进而可得周长的最小值，进而可判断C的正误． 【详解】解：由题意知，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，抛物线过点， ∴，则，A正确，故不符合要求； 当时，y随x的增大而增大，B正确，故不符合要求； 点关于直线的对称点为，即是的一个根，D正确，故不符合要求； 当，，即， 如图，点关于直线的对称点为，连接，    由题意知，， 当三点共线时，的和最小，即的和最小为， 由勾股定理得， ∴周长的最小值，C错误，故符合要求； 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25．C 【分析】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件；正确； ②根据题意，得，整理，得， 解得，每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ，故每星期的最大利润为6125元．判断即可． 利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件； 正确； ②根据题意，得， 整理，得， 解得， 每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元； 错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ， 故每星期的最大利润为6125元．错误． 故选C． 26．C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 27．C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵时，， ∴， ∴，即，故③错误； 由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，其中正确的结论有①②④共3个， 故选C． 28．B 【分析】根据抛物线与轴交点的各数对（1）进行判断；由抛物线开口方向得到，由抛物线与轴的交点在轴下方得到，由抛物线的对称轴为直线，得到，于是可对（2）进行判断；利用可对（3）进行判断；根据自变量为1时函数值为正数可对（4）进行判断；根据自变量为时函数值为负数可对（5）进行判断． 【详解】解：抛物线与轴有2个交点， ，即，所以（1）正确； 抛物线开口向上， ， 抛物线与轴交于， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，所以（2）错误； ，即，所以（3）错误； 时，， ，所以（4）正确； 时，， ，所以（5）正确． 故选：B． 【点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．（简称：左同右异）；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．当时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 29．D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，由解析式可得点、点的坐标，当最大时，点在处，求出此时的面积即可，确定面积最大时点的位置是解题关键． 【详解】解：∵抛物线的解析式为与x轴交于点，， ∴点， ∵点在轴上， ∴，代入解析式可得， ∴， ∵轴， ∴点， 当点在顶点时，有最大值为， 故选：． 30．C 【分析】易得四边形为平行四边形，则，求得抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性可得，设点的横坐标为，点的横坐标为，于是，再根据根与系数的关系可得，求出即可． 【详解】解：轴，轴， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 二次函数的对称轴为直线， 根据抛物线的对称性可知，点关于直线的对称点为点， 点的横坐标为2，即， ， 设点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：， 点的横坐标为4． 故选：C． 【点拨】本题主要考查平行四边形的判定与性质、二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点坐标，利用平行四边形的性质和抛物线的对称性得出点的横坐标是解题关键． 31． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解：， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 32． 上 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数各种表达式形式的转化是解题的关键． 先将一般式配方成顶点式，然后即可得出答案． 【详解】解：， 二次函数的图象的开口向上， ， 二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：上，． 33． 2 3 【分析】本题考查了的图象和性质，直接根据二次函数的顶点式的顶点为，开口向上，开口向下，最值为，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标， ，即抛物线开口向上， 当时，y最小值， 故答案为：，2，3． 34． 上 【分析】根据二次项系数确定开口方向，利用顶点坐标公式确定顶点坐标和对称轴，结合抛物线的图象在对称轴两边的性质即可得出答案． 【详解】解：函数中， ， 开口方向向上， 顶点坐标是；对称轴是直线， 当时，随的增大而减小． 故答案为：向上，，，． 【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，其中求抛物线的顶点坐标的方法和公式必须熟练掌握． 35．或或 【分析】本题考查了函数与坐标轴的交点问题，分类讨论和两种情况即可求解． 【详解】解：①当时，，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意； ②当时，为二次函数， 若图象经过原点，则，解得：， 此时，，图象与轴还有一个交点，满足题意； 或函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 解得： ， 综上所述：或或； 故答案为： 或或 36． 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 37． 【分析】此题考查二次函数的性质及概率公式，得到满足条件的n的情况数是解决本题的关键． 根据方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象列出关于n的不等式，从而求出n的取值范围，找出符合条件的整数解，最后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：有实数根， ， ∴， ， 又， 对称轴为：， 时，随增大而减小， ， 综上， 可取0，2， ∴P． 故答案为：． 38． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据题意知抛物线开口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于时，满足当时，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数，开口向下，对称轴为直线， 时，满足当时，随的增大而减小， 故答案为：． 39． 【分析】本题考查抛物线的对称轴公式及对称轴特点，熟练掌握抛物线的对称轴公式及对称轴特点是解答此题的关键． 抛物线的对称轴是轴，即对称轴是直线，由对称轴公式列出方程即可求出． 【详解】解：抛物线的对称轴是轴，即对称轴是直线， 由题意知，解得， 故答案为：． 40． 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键． 由抛物线解析式可知开口向下，顶点为，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，设的对称点为，根据，得到，得到，即得． 【详解】∵抛物线开口向下，顶点为，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，，当时，， ∴与关于对称轴对称， 设的对称点为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 41． 【分析】本题考查了二次函数的性质，已知二次函数图象上两点纵坐标的大小：当，点与对称轴的距离越小，值越小；当时，点与对称轴的距离越小，值越大． （1）根据得出点，关于直线对称，再联立方程组求解即可； （2）根据当，点与对称轴的距离越小，值越小，列出式子求值即可得出答案． 【详解】（1）， 点，关于直线对称， ． ， 联立，得 解得． ； 故答案为：； （2）点，在直线两侧，且， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ，． ， ，即． ， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ， ， 解得， ， ， ， 即． 由题意知当时，有最大值0， ，即， 的取值范围是． 故答案为：． 42． 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与轴的交点之间的关系是解答此题的关键． 先根据关于的一元二次方程的一根，另一根求出的取值范围，再得出抛物线顶点的纵坐标表达式，把的取值代入即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一根，另一根， 令 则， 即， 解得，． ∵抛物线的顶点纵坐标为， 当时，； 当a时，， ∵， ∴顶点到x轴距离的最小值是． 故答案为：． 43．或/或 【分析】本题考查了二次函数与直线的交点问题，根据直线解析式可得都经过点，分别讨论直线与y轴重合或与抛物线相切两种情况，通过添加辅助线构造全等三角形可求出直线上的点坐标，进而求解，利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由，可得直线与抛物线交于点， ①直线与y轴重合满足题意，则直线与y轴交点为，如图， ， 为等腰直角三角形， ， ∴点B坐标为， 将代入得， 解得； ②直线不与y轴重合时，设直线解析式为， 令， ， 当时满足题意． ， 把代入得， ∴直线与x轴交点D坐标为，即， 作交直线于点E，过点E作轴于点F， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ∴点E坐标为． 将代入直线解析式得， 解得． ， ． 故答案为：或． 44． 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题．解题的关键将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴抛物线与没有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 45． 【分析】首先作出分段函数的图象，根据函数的图象即可确定的取值范围． 【详解】解：分段函数的图象如图：    故要使直线为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，常数的取值范围为， 根据三个不同的交点，从左到右，其横坐标分别为，，， 由图可知， 则， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一． 46． 或 【分析】把点（1，-2）代入即可求出k的值，根据当或时，抛物线在双曲线的下方，即可求出不等式的解． 【详解】解：∵反比例函数的图像在过点（1，-2） ∴k=1×（-2）=-2； ∵当或时，抛物线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故答案是：2；或． 【点拨】本题主要考查反比例函数和二次函数综合，掌握函数图像的交点坐标与不等式的关系，是解题的关键． 47． 【分析】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，抛物线解析式为，将代入求出，然后代入方程即可求解． 【详解】解：由表格可知抛物线经过， 抛物线解析式为：， 将代入可得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴，整理得： 因式分解可得： 解得：． 故答案为∶ ． 48． 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．方程的两实数根α、β可看作抛物线与直线的两交点的横坐标，然后画出大致图象可确定正确选项． 【详解】解：方程的两实数根α、β可看作抛物线与直线的两交点的横坐标， 而抛物线与x轴的交点坐标为和， 如图， 所以． 故答案为：． 49． 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，得到，解得，结合抛物线开口方向，和，得到解集为． 本题考查了抛物线的对称性，与不等式的关系，熟练掌握对称性，不等式性质是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， 故， 解得， 结合抛物线开口方向，和，得到解集为． 故答案为：． 50． 1 或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质及点的坐标特征，二次函数与不等式． （1）根据对称轴，即可求出a的值； （2）根据，列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线， ， ， 故答案为：1； （2）点，都在二次函数的图象上， ， ， 即 ， 或． 故答案为： 或． 51． 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，代数式求值，先把配方得到，根据题意反向平移，即把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为，于是可得到，，，代入代数式即可计算即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：， 把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到抛物线的解析式为， ∴，，， ∴， 故答案为：． 52． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，以及几何变换，掌握二次函数图象旋转和平移的法则是解题关键．．先将抛物线配方得到顶点式，从而得到顶点坐标，根据旋转的性质可知，抛物线开口向下，的顶点坐标为，进而得到旋转后的抛物线解析式，再根据“上加下减”的法则，即可得到答案． 【详解】解：， 抛物线开口向上，的顶点坐标为， 将抛物线先绕原点旋转，则抛物线开口向下，的顶点坐标为， 即抛物线为， 再向下平移5个单位，则， 即得到的抛物线的解析式是， 故答案为：． 53． 【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可． 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 54． 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 周长的最小值就是的最小值， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为 故答案为：． 【点拨】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 55．5.5 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． 设累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系为，把和代入求得函数的解析式，再代入7和8作差即可得到结论． 【详解】解：设累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系为， 把和代入得，， 解得， ， 当时，， 当时，， 万元， 答：该公司第8个月的利润是万元， 故答案为：． 56．2 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 当汽车停下来时，最大，故将写成顶点式，则顶点横坐标值即为所求． 【详解】解：∵， ∴当秒时，S取得最大值，即汽车停下来． 故答案为：2． 57．①②④ 【分析】本题考查了二次函数的符号问题，二次函数与方程关系，二次函数图像性质，解题的关键是能根据题目中的已知条件找到相关的数量关系． ①将代入即可得到b的范围； ②将代入即可； ③把代入可判断n的正负； ④将代入即可； 【详解】解：①将代入得， ， ， ，即.结论正确，故①符合题意； ②对称轴为直线， ，， ， 又， ， ， ，开口向下， 时，即对称轴右侧，y随x的增大而减小.结论正确，故②符合题意； ③把代入得． 方程有实数根， ， 即， ， ， ， ， ， 是负数，n为非负数不正确.故③不符合题意； ④将代入， ， ， ， ，， ， 即，④正确，故④符合题意； 故答案为：①②④． 58．①④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是结合图象逐条分析．解决该题型题目时，结合图象上的点找出二次函数各系数间的关系是关键． 根据抛物线对称轴可判断①；根据图象知当时图象位于x轴下方或在x轴上，可判断②；根据函数对称轴即可判断增减性，可判断③；由图象过可判断④；由时，，可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，当时，；当时，； ∴抛物线对称轴解为，即， 得：，故①正确； 当时，，故②错误； 当时，，故③错误； ∵抛物线过， ∴将代入得：，故④正确； 将代入得：，故⑤错误； 故答案为：①④． 59．/度 【分析】先求出，得到，，由勾股定理得到，求出直线解析式为，进而直线解析式为，联立求出，则，证明，求出，则，可证明是等腰直角三角形，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于E， 在中当时，解得或， ∴， ∴， 在中当时，， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴可设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合，正确作出辅助线构造相似三角形，从而通过证明是等腰直角三角形是解题的关键． 60．或或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求出点和点的坐标，根据的面积与的面积相等，得到，进行求解即可． 【详解】解：， 当时，， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， 解得：或或； 故答案为：或或 1 学科网（北京）股份有限公司 $$