精品解析：江苏省泰州中学2024-2025学年高三上学期期初调研考试数学试题

2024-2025学年秋学期高三年级期初调研考试 数学学科试卷 （命题：汤晓燕 审题：陈生 时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝ A. {0，1，2} B. {－1，0，1，2} C. {－1，0，2，3} D. {0，1，2，3} 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为2 B. 直线的倾斜角和斜率均存在 C. 若两直线的斜率满足，则两直线互相平行 D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 5. 在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，则图象为如图函数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ） A. 72种 B. 81种 C. 144种 D. 192种 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 最小值为 D. 的最小值为 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 在上单调递减 D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 11. 设，正项数列满足，下列说法正确的有（ ） A. 为中最小项 B. 为中的最大项 C. 存在，使得成等差数列 D. 存在，使得成等差数列 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项展开式中，各项的系数和为___________. 13. 在中，分别为内角对边，若，且，则__________. 14. 已知，若，则的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求： （1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量的概率分布. 16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面． （1）证明：平面平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 18. 已知各项均为正数的数列的前项和为， （1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）求证：： （3）设，是否存在正整数，使得对任意正整数均有恒成立？若存在求出最大值；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4 （1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程. （2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上. （3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年秋学期高三年级期初调研考试 数学学科试卷 （命题：汤晓燕 审题：陈生 时间：120分钟 满分：150分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝ A. {0，1，2} B. {－1，0，1，2} C. {－1，0，2，3} D. {0，1，2，3} 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：求出集合M中不等式的解集，确定出M，找出M与N的公共元素，即可确定出两集合的交集． 解：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}， ∵N={﹣1，0，1，2，3}， ∴M∩N={0，1，2}． 故选A 点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算进行计算，即可求解. 【详解】. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法结合诱导公式、倍角公式即可求解. 【详解】令，则， 所以， 故选：A. 4. 下列四个命题中，正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为2 B. 直线的倾斜角和斜率均存在 C. 若两直线的斜率满足，则两直线互相平行 D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程直接求解可判断A；由倾斜角和斜率的定义可判断B；根据直线平行与斜率的关系可判断C；由倾斜角为时斜率不存在可判断D. 【详解】对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误； 直线的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确； 若两直线的斜率满足，则两直线互相平行或重合，所以C错误； 若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以D错误； 故选：B 5. 在中，是中点且，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知得为等边三角形，结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由，得为等边三角形， 故过点作交于点，则为中点， 所以向量在向量上的投影向量为，与方向相反， 由中点，为中点，有. 故选：C 6. 已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象的特殊值排除即可 【详解】，，由图得，时，排除BD； ，，由图得，时，排除A. 故选：C． 7. 某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ） A. 72种 B. 81种 C. 144种 D. 192种 【答案】D 【解析】 【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案. 【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为， 若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为， 由间接法可知，满足条件的排法种数为种. 故选：D. 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的导函数以后，将问题转化成含参方程有两实根时，求参数的取值范围的问题，参变分离以后得到，令，令利用导数研究函数的图象性质，进而得到的取值范围. 【详解】， 故原命题等价于关于的方程在上有两个不同的实数根， 即关于的方程在上有两个不同的实数根， 令，则， 所以关于的方程在上有两个不同的实数根， 令， 因为在上单调递增，故在上的值域为， 因为在上单调递减，故在上的值域为， 而，从而实数的取值范围是. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式、二次函数的性质和对数运算性质判断各选项即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确； ， 根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误； 因为，即， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最大值，故C错误； ，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确． 故选：AD． 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 点是图象的一个对称中心 C. 在上单调递减 D. 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】AB 【解析】 【分析】将化简，由其周期求得，判断A;将代入解析式验证，判断B；根据正弦函数的单调性判断C；根据正弦函数图象的平移变换判断D. 【详解】由题意知,A正确. ， 故关于对称，B正确. 令，则， 当时，， 令，则， 当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 而，故在上不单调递减，C错误； 将的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象, 而 ，D错， 故选： 11. 设，正项数列满足，下列说法正确的有（ ） A. 为中的最小项 B. 为中的最大项 C. 存在，使得成等差数列 D. 存在，使得成等差数列 【答案】AB 【解析】 【分析】由可得，故构造，利用导数求其单调性，不难发现是最小的项；在构造，为了比较之后每一项与前一项的关系，发现是最大的项，易得BCD选项的对与错 【详解】解：由可得 令， 当递增； 当递减 且 是最小的项； 所以A正确 令 在区间内递减，即；即 即， 所以，综上所述，是最大的项，所以B正确， 由于 是最小的项，是最大的项，则不可能使得成等差数列，故C错误； 由C知，不成等差数列，当时， 因为，所以，则， ，所以不存在成等差数列，故D错误 故选：AB 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的二项展开式中，各项的系数和为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法求二项式展开式中各项的系数和即可. 【详解】当时，二项式展开式各项的系数和为. 故答案为：. 13. 在中，分别为内角的对边，若，且，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由三角函数的基本关系式和，求得，再由正弦定理，得到，根据余弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 又因为， 即，解得， 又由， 根据正弦定理，可得， 由余弦定理可得 ， 整理得，即. 故答案为：. 14. 已知，若，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的对称性，可知，利用函数值相等有，转化成一个变量的函数，利用导数求解出函数的最值，即可求解. 【详解】设，则的图象如图所示， 即的图象与的图象有3个交点，横坐标依次为，且 由余弦函数图象的性质可知，， 又，所以， 令， 则，令，解得或， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 又因为， 所以， 所以， 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求： （1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量的概率分布. 【答案】（1）3 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设出袋中原有个白球，利用古典概型得到关于的方程，求解即可； （2）根据题意分析可知，随机变量的可能取值为，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可得出随机变量的概率分布列. 【小问1详解】 设袋中原有个白球，由题意知：，所以， 解得（舍去），即袋中原有3个白球. 【小问2详解】 由题意，的可能取值为. ； ； ； ； ； 所以，取球次数的分布列为： 1 2 3 4 5 16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面． （1）证明：平面平面； （2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）设的中点为，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而得到平面，然后根据面面垂直的判定定理即得； （2）根据题意以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而求解. 【小问1详解】 设的中点为，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 因为在等边三角形中，为的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 连接，由（1）知，平面， 因为平面，所以， 因为，，， 所以四边形为矩形， 即，，，所以， 设，， ，， 以原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，，， 所以，，，， 设平面和平面的法向量分别为，， 则，， 即， ， 取，，则，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）递减区间为，无递增区间； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数，再利用导数求出的单调区间. （2）等价变形给定不等式得，令并求出值域，再换元并分离参数构造函数，求出函数的最小值即得. 小问1详解】 依题意，函数的定义域为， 求导得，当且仅当时取等号， 即在上单调递减， 所以函数的递减区间为，无递增区间. 【小问2详解】 当时，恒成立， 令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增，则当时，， 令，依题意，，恒成立， 令，求导得，则函数在上单调递增， 当时，，因此， 所以实数m的取值范围. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 18. 已知各项均为正数的数列的前项和为， （1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）求证：： （3）设，是否存在正整数，使得对任意正整数均有恒成立？若存在求出的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析， （2）证明见解析 （3）存在，的最大值为674 【解析】 【分析】（1）由等差数列的定义证明即可，由为等差数列，先求出，然后求解的通项公式即可； （2）由裂项相消法求和证明不等式即可； （3）由裂项相消法求和，然后由恒成立问题求解的最大值，因，则数列单调递增，所以只需求的最小值即可； 【小问1详解】 证明：因为，则当时，， 即， 而，有，即， 所以数列是以为首项为1，公差为1的等差数列， 于是得，即， 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 则， 当时，， 即对任意的，都有. 【小问3详解】 由（1）知，， 则有， 因，则数列单调递增，， 因对任意正整数均有成立， 于是得，解得， 而，则， 所以存在正整数，使得对任意正整数均有总成立，的最大值为674. 19. 已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4 （1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程. （2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上. （3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）详见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）先计算椭圆：，根据相似比得到椭圆的方程. （2）点是椭圆上的一点，则，设，计算 得到证明. （3）根据题意：只需上存在两点关于对称即可，利用韦达定理计算，得到答案. 【详解】（1）根据题意知，椭圆：，，椭圆： 椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，则 椭圆的方程为： （2）点是椭圆上的一点，则， 设 故 所以点一定在双曲线上 （3）：根据题意：只需上存在两点关于对称即可 设，设的中点为 由韦达定理知： 在直线上，则 故， 此时正方形边长为 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$