精品解析：安徽省芜湖市2024届高三5月教学质量统测数学试题

2024届芜湖市高中毕业班教学质量统测 数学试题卷 本试题卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 角为第三象限角的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，可得为第一象限角，所以A不符合题意； 对于B中，由，可得为第三象限角，反正也成立，所以B符合题意； 对于C中，由，可得为第二象限角，所以C不符合题意； 对于D中，由，可得为第四象限角，所以D不符合题意. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再根据交集运算即可. 【详解】由，得，所以, 所以. 故选：D. 3. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的周期性和函数的奇偶性，即可求解. 【详解】由时，函数，可得， 因为函数是定义在上的偶函数，且， 可得. 故选：C. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知最大值为2，最小值为，，进而求出，再将最高点带入可求. 【详解】由图可知， 所以，排除B,D. 当时，， 所以， 将最高点代入可得 所以， 即， 取，则. 所以，A正确； 当时，， 所以， 将最高点代入可得， 所以， 即， 取,则， 所以，C错误. 故选：A. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越小，说明模型拟合的效果越好 C. 一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D. 在列联表中，若所有数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质，可得判定A错误；根据决定系数和相关系数的性质，可得判定B错误，C正确；根据独立性检验的计算公式，可判定D错误. 【详解】对于A中，若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X的分布比较集中，所以A错误； 对于B中，在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越大，说明模型拟合的效果越好，所以B错误； 对于C中，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，所以如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强，所以C正确； 对于D中，在列联表中，若所有数据均变成原来的2倍， 则， 此时是原来的2倍，所以D错误. 故选：C. 6. 已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为，结合“点差法”，即可求解. 【详解】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为， 可得. 由，两式相减得， 整理得，可得， 即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 7. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC的边长为1，点P为的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，求出相应向量的坐标，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】根据题意，以为坐标原点，所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 因为正的边长为1，且点为的中点，所以， 点在以为圆心，为半径的圆上， 则, 所以， 则， 所以. 故选：B. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用导数研究其单调性，进而比较；对作差，运用对数的运算性质和基本不等式可得的大小关系.综合可得三者之间的大小关系. 【详解】设， 则在上恒成立， 所以在单调递减， 所以， 即， 所以， 因为 ， 所以， 综上：. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数a，b满足，，则复数ab的可能取值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2i D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，复数是方程的两个根，进而求解即可. 【详解】因为复数满足, 所以复数是方程的两个根， 在复数范围内，解方程得, 所以或或或, 当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 故选：BCD. 10. 已知等差数列的前n项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若为常数列，则一定为等比数列 D. 若且，则公差d的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，则，所以A正确； 对于B中，若，，则， 则构成首项为2，公差为4的等差数列， 所以，所以B不正确； 对于C中，若为常数列，只有当时，数列为等比数列， 当时，数列不构成等比数列，所以C不正确； 对于D中，若且，令，可得， 即，可得， 所以，解得， 当时，公差的最小值为，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知双曲线C：的离心率为e，其左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线l交双曲线C于P，Q两点，交两条渐近线于M，N两点（P，M在第一象限），MN的中点为R，则（ ） A. 若直线l斜率，则 B. 的周长为 C. 以为直径的圆与以为直径的圆相交 D. 若点M恰为以为直径的圆与渐近线的一个交点，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率比较，可得判定A正确；结合双曲线的定义可判定B正确；结合双曲线的定义以及圆的位置关系，可判定C不正确；联立方程组，求得点，连接并延长交于，则，再利用双曲线的定义，可判定D正确. 【详解】对于A项，由双曲线，可得其渐近线的方程为， 要使得过点的直线l交双曲线C于P，Q两点，交两条渐近线于M，N两点， 则满足，所以，所以A正确； 对于B项，由双曲线的定义，可得，， 两式相减得， 所以 ，所以B项正确； 对于C项，设的中点为S，则， 即两圆半径之和，所以两圆外切，所以C项错误； 对于D项，联立方程组，且，解得， 因为，则， 连接并延长交于，则，为中点， 又由的中点为，则，从而，所以， 从而，因此，所以D项正确. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为15，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，然后根据题意列出方程求解n即可. 【详解】的二项展开式的通项为, 依题意, 解得, 故答案为：. 13. 在△ABC中，，，将△ABC沿AC旋转，当点B到达点的位置时，平面平面，则三棱锥外接球表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】作，证得平面，得到，把三棱锥可放置在边长分别为的长方体中，设三棱锥外接球的半径为，结合长方体的性质，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，面内作，因为，所以为的中点， 因为平面平面，且平面平面，且平面， 所以平面，又平面，所以， 由题意知，可得，且，所以， 对棱相等的三棱锥可放置在边长分别为的长方体中， 可得，，， 设三棱锥外接球的半径为，可得， 故外接球表面积为． 故答案为：. 14. 已知向量，，其中，令，则实数t的取值范围是________，对任意和上述，满足恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】化简得到，结合三角函数的性质，求得的取值范围，再由向量，，得到，根据题意，转化为或对任意恒成立，即可求解. 【详解】由， 因为，可得， 当，即时，； 当或时，即或时，， 所以实数的取值范围为； 又由，可得， 由向量，， 可得， 因为， 又因为，可得，对任意恒成立， 即，即或， 即或对任意恒成立， 因为在上为单调递减函数，所以， 所以或，即实数的取值范围为． 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：对于平面向量与三角、不等式的综合问题的求解策略： 1、若题目的条件中给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量的坐标运算公式，得到三角函数的关系式，进而得以求解； 2、若题目条件中给出三角函数表示向量的坐标，要求的是向量的数量积或向量的模，或者其他向量的表达形式，解题思路是结合向量的运算，利用三角函数的图象与性质，以及有界性，进而得解； 3、对于向量的最值与范围的求法方法：①几何法：充分利用几何图形的特征，结合向量的线性运算和向量的数量积的运算解决；②代数法：将平面向量的最值或范围转化为坐标运算，目标函数，利用代数方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求：的值； （2）若，的面积，求的周长． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的基本关系式和倍角公式，化为“齐次式”，即可求解； （2）根据题意，利用三角形的面积公式，求得，结合题意和余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 解：由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式， 可得. 【小问2详解】 解：由，可得，， 因为的面积，可得． 又由余弦定理：，可得， 所以，所以的周长为8． 16. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的动点，平面ABC，． （1）求证：平面； （2）若C是的中点，E是BC的中点，，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证平面，只需证,，只需证平面，即证，由题易证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面 的法向量，然后根据平面与平面的夹角的向量计算公式计算即可. 【小问1详解】 ∵是⊙O的直径，∴，∵平面，平面ABC，∴． 又∵，平面，∴平面． ∵平面，∴． 又∵，，平面，∴平面． 【小问2详解】 ∵，，∴D为的中点． 以A为坐标原点，的垂线为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示． 设， 则，， 故， 平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，即 令得,, 即． 设平面与平面所成角为， 则 ∴平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）判断函数零点的个数． 【答案】（1）在单调递增，在单调递减 （2）两个 【解析】 【小问1详解】 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减． 【小问2详解】 易知函数的定义域为 ∵ ∴ 当时，，， ∴， ∴单调递减， 当时， ， ∴单调递减， ∴ ∴单调递增． 综上：在上单调递增，在单调递减． ∴ ∵， ∴在有唯一零点． ∵， ∴在有唯一零点； 综上所述在有两个零点. 【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，一般有两种方法： （1）直接讨论.讨论函数的单调性、极值、最值，进而知道函数的大致图象，数形结合可以判断函数零点个数； （2）转化为两个函数图象的交点个数. 18. 已知抛物线C：上一点到其准线距离为1． （1）求抛物线C的方程； （2）①如图1所示，点O为坐标原点，过点作直线与抛物线C切于点M，N，直线MN与y轴交于点G，求点G的坐标； ②在①的条件下，如图2所示，若点A在地物线E：上，直线AM、AN与抛物线E分别交于B，P两点，求证：BP与抛物线C相切． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，进而得到抛物线方程； （2）①求导，得到切线的斜率，然后写出切线方程，带入并化简得到直线MN的方程，进而求解G的坐标；②同①求出的切线方程，假设交点，，经计算化简得，可证其判别式为0，从而证明直线BP与抛物线C相切． 【小问1详解】 由题意知抛物线C准线方程为， 所以抛物线C方程为, 【小问2详解】 ①设切点,, 抛物线C方程可转化为，所以 因此可设直线AM方程为 设直线AN方程为 带入得： 所以直线MN方程为 令，得， 所以点G的坐标为． ②设直线AM方程为 设直线AN方程为 考虑直线与相切， 消去y得 得， 即 所以，（*） 再联立直线与， 消去x得 设交点，， 则 所以，同理 又因为： 也即：，联立，消去y 得 所以 ， 代入（*）式，得 代入 得 所以直线BP与抛物线C相切． 【点睛】思路点精：本题的关键在于表示出直线AM、AN的方程，再由与抛物线相切，得到的一元二次方程判别式为0.同理表示出BP的方程，与抛物线联立，只需验证判别式为0即可证明BP与抛物线相切。 19. 有一个摸球游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中． （1）若、，重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差； （2）若，． ①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记为第n次是甲摸球的概率，求； ②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量Y表示所需摸球的次数，这里Y服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布．帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每次试验成功的概率为，失败的概率为，若将试验进行到恰好出现r（r为常数）次成功时结束试验，以随机变量Y表示所需试验的次数，则Y是一个离散型随机变量，称Y服从以r、p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记作．帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布．根据定义，我们能够得到这里的，，．求． 【答案】（1）分布列见解析，方差 （2）①；②4 【解析】 【分析】（1）由题可得，再由二项分布的概率计算公式求出各个概率，从而得到分布列，再由方差公式计算可得方差； （2）①由题意得到，构造等比数列即可求得； ②求出Y的分布列，再由方程公式和极限与组合数的运算计算即可求得. 【小问1详解】 由题意，，且的可能取值为 ，， ，， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 所以方差 【小问2详解】 ①在题中，为第n次是甲摸球的概率，又设为第n次是乙摸球的概率，设为第n次是乙摸球的概率，则有，且，，， 根据题意，我们还能得到： 化简得：， ∴，又， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴，即∴ ②∵，∴的可能取值为 Y的分布列为： Y 2 3 4 5 n ， 又因为时，，，． 根据分布列的性质有 ，代入上式得： ． 【点睛】关键点点睛：本题第二问第一小问的关键是构造出这样的等比数列，从而求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届芜湖市高中毕业班教学质量统测 数学试题卷 本试题卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效. 4．考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 角为第三象限角的充要条件是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则当较小时，对应的正态曲线“矮胖”，随机变量X的分布比较分散 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型回归效果，越小，说明模型拟合的效果越好 C. 一元线性回归模型中，如果相关系数，表明两个变量的相关程度很强 D. 在列联表中，若所有数据均变成原来的2倍，则不变（，其中） 6. 已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为菜洛三角形，已知正三角形ABC的边长为1，点P为的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数a，b满足，，则复数ab的可能取值为（ ） A. 1 B. 2 C. 2i D. 10. 已知等差数列的前n项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若为常数列，则一定为等比数列 D. 若且，则公差d的最小值为 11. 已知双曲线C：的离心率为e，其左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过点的直线l交双曲线C于P，Q两点，交两条渐近线于M，N两点（P，M在第一象限），MN的中点为R，则（ ） A. 若直线l斜率，则 B. 的周长为 C. 以为直径的圆与以为直径的圆相交 D. 若点M恰为以为直径的圆与渐近线的一个交点，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为15，则________． 13. 在△ABC中，，，将△ABC沿AC旋转，当点B到达点的位置时，平面平面，则三棱锥外接球表面积为________． 14. 已知向量，，其中，令，则实数t的取值范围是________，对任意和上述，满足恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求：的值； （2）若，的面积，求的周长． 16. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的动点，平面ABC，． （1）求证：平面； （2）若C是的中点，E是BC的中点，，求平面与平面所成角的余弦值． 17. 已知函数． （1）讨论函数在区间上的单调性； （2）判断函数零点的个数． 18. 已知抛物线C：上一点到其准线距离为1． （1）求抛物线C的方程； （2）①如图1所示，点O为坐标原点，过点作直线与抛物线C切于点M，N，直线MN与y轴交于点G，求点G的坐标； ②在①的条件下，如图2所示，若点A在地物线E：上，直线AM、AN与抛物线E分别交于B，P两点，求证：BP与抛物线C相切． 19. 有一个摸球游戏，在一个口袋中装有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同，每次从中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后再将球放回口袋中． （1）若、，重复上述摸球试验5次，用X表示5次中摸出红球的次数，求X的分布列及方差； （2）若，． ①当甲在游戏的过程中，又来了乙和丙，他们一起玩摸球游戏，第一次由甲摸球，若甲摸到红球，则下一次甲继续摸球，否则随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到红球，则下一次还是他自己继续摸球，否则也随机在另外两人中等可能地指定一人摸球，如此进行下去，记为第n次是甲摸球的概率，求； ②第二天，甲独自一人继续摸球游戏，每次从袋中摸一个球，记录摸出球的颜色，然后将球放回口袋中，当第2次摸到红球时停止游戏，否则游戏一直继续进行下去，以随机变量Y表示所需摸球的次数，这里Y服从的分布称作帕斯卡分布或负二项分布．帕斯卡分布的定义如下：在重复、独立的伯努利试验中，若每次试验成功的概率为，失败的概率为，若将试验进行到恰好出现r（r为常数）次成功时结束试验，以随机变量Y表示所需试验的次数，则Y是一个离散型随机变量，称Y服从以r、p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记作．帕斯卡分布是统计学上一种离散概率分布，常用于描述生物群聚性，医学上也用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布．根据定义，我们能够得到这里的，，．求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $