贵州省2022-2023学年高三上学期开学联合考试理科数学试题

贵州省高三年级联合考试 数学（理科） 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 3．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，且，其中为实数，则（ ） A． B． C． D． 2．设集合，则（ ） A． B． C． D． 3．目前，全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．某校高三年级选择“物理、化学、生物”，“物理、化学、政治”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是200，320，280．现采用分层抽样的方法从上述学生中选出40位学生进行调查，则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是（ ） A．6 B．10 C．14 D．16 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若的图象关于原点对称，则（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，若，则（为坐标原点）的面积是（ ） A． B．1 C．2 D．4 7．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱与上半部分的圆锥的体积的比值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．已知，则（ ） A． B． C． D． 9．已知函数的最小值为，则（ ） A． B． C．e D． 10．已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且．若，则面积的最小值是（ ） A．16 B． C．64 D． 11．已知函数若关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．在长方体中，，点在棱上，且，点在正方形内．若直线与所成的角等于直线与所成的角，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知向量，若，则__________． 14．展开式中的常数项是__________．（用数字作答） 15．甲、乙、丙等五人在某景点站成一排拍照留念，则甲不站两端且乙和丙相邻的概率是__________． 16．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上，．若的最小值是9，则双曲线的离心率是__________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 在数列中，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 18．（12分） 某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩（满分：100分），按分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计该校学生成绩的中位数； （2）已知样本中竞赛成绩在的女生有3人，从样本中竞赛成绩在的学生中随机抽取4人进行调查，记抽取的女生人数为，求的分布列及期望． 19．（12分） 如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，分别是棱的中点． （1）证明：平面平面． （2）若，求二面角的余弦值． 20．（12分） 已知椭圆的离心率是，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，求（为坐标原点）面积的最大值． 21．（12分） 已知函数． （1）求的最小值； （2）证明：． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是． （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若直线与曲线交于两点，点，求的值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若恒成立，求的取值范围． 贵州省高三年级联合考试 数学参考答案（理科） 1．A 因为，所以，所以，则解得． 2．D 由题意可得，则，故． 3．B 由题意可得从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是． 4．C 因为，所以． 5．C 由题意可得．因为的图象关于原点对称，所以，所以．因为，所以． 6．A 由题意可得解得，则的面积为． 7．D 8．B设，则，故． 9．D由题意可得．当时，恒成立，则在上单调递减，从而没有最小值，故不符合题意．当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，则，解得． 10．B因为，所以，所以，即，则．因为，所以，即．因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立．故，即面积的最小值是． 11．C关于的不等式恒成立，等价于函数的图象恒在直线上方．画出的图象，如图所示．当时，要满足，则．当时，设直线与的图象相切，切点为．因为，所以，则，即，解得（舍去），从而，故．要满足，则．综上，的取值范围是． 12．A因为直线与所成的角等于直线与所成的角，所以，所以，即．因为，所以．以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立直角坐标系（图略），则．设，则，即，故点的轨迹是圆被正方形所截的一段圆弧．因为圆的圆心为，半径，所以，则． 13． 因为，所以，即，所以． 14． 展开式的通项为．令，得，则． 15． ． 16． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，则，即．因为，所以，解得，则，故双曲线的离心率是 17．解：（1）因为 所以当时， 所以，所以 当时，满足上式，则． （2）由（1）可得，则， 从而， 故． 18．解：（1）因为， 所以中位数在内． 设中位数为，则，解得． （2）由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 故． 19．（1）证明：连接． 因为四边形是菱形，所以． 由直四棱柱的定义可知平面，则． 因为平面平面，且，所以平面． 由直四棱柱的定义可知． 因为分别是棱的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，则． 故平面． 因为平面，所以平面平面． （2）解：记，以为原点，分别以的方向为轴的正方向，垂直平面向上为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， 故． 设平面的法向量为， 则令，得 设平面的法向量为 则令，得 设二面角为，由图可知为锐角 则 20．解：（1）由题意可得解得． 故椭圆的标准方程为． （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线． 联立整理得， ，所以，即或， 则． 故． 点到直线的距离，则的面积． 设，则， 故，当且仅当时，等号成立， 即面积的最大值为． 21．（1）解：由题意可得， 则函数在上单调递增，且． 由，得；由，得． 则在上单调递减，在上单调递增， 故． （2）证明：要证，即证． 由（1）可知当时，恒成立． 设，则． 由，得；由，得． 则在上单调递增，在上单调递减， 从而，当且仅当时，等号成立． 故，即． 22．解：（1）由（为参数），得， 故曲线的普通方程为． 由，得， 故直线的直角坐标方程为 （2）由题意可知直线的参数方程为（为参数）． 将直线的参数方程代入曲线的普通方程并整理得， 设对应的参数分别是， 则， 故． 23．解：（1）等价于或 解得，即不等式的解集为． （2）恒成立，即恒成立． 因为， 所以，解得或． 即的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$