精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2025届高三上学期第一次阶段性考试数学试题

临澧一中2025届高三第一次阶段性考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 命题： 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致为（ ）． A B. C. D. 5. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ） A 4 B. 2 C. 1 D. 0 6. 已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 若正实数是方程的根，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为2 10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 函数的零点所在区间为 B. 若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 C. 函数与函数是相同的函数 D. 若函数满足，则 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 对不等式在上恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数若，则实数___________. 13. 已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___． 14. 设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角的对边分别为的面积为． （1）求； （2）若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD. 16. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，设，数列的前n项和为，求的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 18. 已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G. （1）求点G的轨迹方程； （2）记（1）中轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间： （2）若函数有两个不同的零点， ①求的取值范围， ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临澧一中2025届高三第一次阶段性考试试卷 数学 时量：120分钟 总分：150分 命题： 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将特称命题否定全称命题即可 【详解】命题“，”的否定是“，”， 故选：C 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出两个集合，再求出，进而求出即可. 【详解】由，可得，解得，由于. 故. 因，则. 故. 故选：A. 3. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数和函数单调性的关系求解即可. 【详解】， 若函数在上单调递增， 则在上恒成立， 故在上恒成立， 故. 故选：B 4. 函数的部分图象大致为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，排除B、C，再由时，，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以B、C不符合题意； 又由当时，，所以， 所以A不符合题意，D符合题意. 故选：D. 5. 函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性和对称性，得到函数周期，再运用周期性解题即可. 【详解】函数是定义在R上的偶函数，则，由于， 则，故， 故，所以函数周期为2. 则. 故选：C. 6. 已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先分析出函数单调递增，再根据函数单调性定义得到不等式组，解出即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以函数是增函数， 则函数和均为增函数，且有， 即，解得. 故选：C. 7. 若命题：“，，使得”为假命题，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定为真命题，转化为成立，构造函数利用导数判断单调性即可得解. 【详解】由题意，命题的否定“，，使得”为真命题， 即， 设，则， 所以为增函数， 所以由可知， 故选：B 8. 若正实数是方程的根，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用题干中的方程，构造函数，进行求解. 【详解】由题可知，，即， 令，，在区间上恒成立， 则在上单调递增， ， 因为正实数是方程的根， 所以，即，即. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用方程同构，构造函数，从而得到. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知且，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. 的最大值为1 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，， 所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，时等号成立，故B错误； 对于C，，故，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，由A知，，故， 故，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为2，故D错误. 故选：AC 10. 给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A. 函数的零点所在区间为 B. 若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是 C. 函数与函数是相同的函数 D. 若函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到，结合零点存在定理，可判定A正确；根据指数函数的性质，可判断B正确；根据相同函数的判定方法，可判定C错误；由，求得，结合分组法，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，可得函数为单调递增函数， 可得，，即， 所以函数的零点所在区间为，所以A正确； 对于B中，由指数函数的性质，可得， 若关于x的方程有解，即方程有解， 所以实数m的取值范围是，所以B正确； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以函数与函数不是相同的函数，所以C错误； 对于D中，因为函数满足， 令，可得，解得， 又由，所以D正确. 故选：ABD. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 对不等式在上恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接对函数求导研究即可；对于B，构造函数，求导，利用单调性来判断即可；对于C，将问题转化为在上恒成立，构造函数，求其最大值即可；对于D，将问题转化为证明，，构造函数，利用导数求其最值可得答案. 【详解】对于A，，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数上单调递增， 为的极小值点，A错误； 对于B，， 则，所以函数上单调递减， 又，所以函数有且只有1个零点，B正确； 对于C，若在上恒成立， 得在上恒成立， 则， 令，则， 令，， 当时，，单调递减， ，即， 在上单调递减， 故函数，则，C正确； 对于D， 令， ， 则 在上单调递减， 则，即， ， ，，结合A选项可得， ， ，函数在上单调递增， 则， 即对任意两个正实数，且，若，则，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题难点在选项D，将问题转化为证明，是关键，然后构造出函数来解决问题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数若，则实数___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先计算，再计算即得解. 【详解】解：，所以. 故答案为：2 13. 已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是___． 【答案】[－2，5] 【解析】 【详解】试题分析：，，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，即 考点：充要关系 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件． 2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 14. 设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】由求导公式求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y＝g（x），设F（x）＝f（x）﹣g（x），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F（x）的单调性和最值，从而可判断出的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标． 【详解】解：由题意得，f′（x），f（x0）（x＞0）， 即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞）， 所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为： y﹣（）＝（）（x﹣x0）， 则g（x）＝（）（x﹣x0）+（）， 设F（x）＝f（x）﹣g（x）lnx﹣[（）（x﹣x0）+（）]， 则F（x0）＝0， 所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）（） 当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减， ∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时， 当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减； ∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时， ∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”． 若x0＝e，0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数， 当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0， 故， 即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”， 综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标， 又f（e），所以函数f（x）的“类对称中心点”的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角的对边分别为的面积为． （1）求； （2）若，且的周长为5，设为边BC中点，求AD. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式结合正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）根据三角形的周长，结合余弦定理求出，再向量化即可得解. 【小问1详解】 依题意，， 所以， 由正弦定理可得，， 由余弦定理，，解得， 因为，所以； 【小问2详解】 依题意，， 因为，解得， 因为， 所以， 所以． 16. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设等比数列满足，设，数列的前n项和为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得的首项和公差，由此求得. （2）利用分组求和法求得，结合导数求得的最大值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，则， 又，得，解得，所以. 【小问2详解】 设等比数列的公比为q，则，，所以，， 所以，，则， 所以， 令，则， 由于，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 且，， 所以当时，有最大值且最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，且． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可. 【小问1详解】 由题意，则， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 18. 已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G. （1）求点G的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据为的重心，得，代入，化简即可求解. （2）根据垂心的概念求得，设直线方程，与椭圆联立韦达定理，利用得，将韦达定理代入化简即可求解. 【小问1详解】 设，则，因为重心， 故有：，解得，代入，化简得， 又，故，所以的轨迹方程为. 【小问2详解】 因为的垂心，故有， 又，所以，故设直线的方程为， 与联立消去得：， 由得， 设，则， 由，得，所以， 所以， 所以，化简得， 解得（舍去）或（满足），故直线的方程为. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间： （2）若函数有两个不同的零点， ①求的取值范围， ②证明：. 【答案】（1） 答案见详解 （2）①；②见答案详解. 【解析】 【分析】（1）写出，求导，根据的正负判断的符号，进而求出单调区间. （2）①分离参数求导，有两个交点即可；②把变成整式，作差得到，把中换掉，变量集中，令，得到，求导证明即可. 【小问1详解】 ，定义域为， 当时，，在递增； 当时，，，，， 递增，在递减. 综上所述：当时，递增区间为，无递减区间； 当时，递增区间为，递减区间为. 【小问2详解】 ①有两个不同的零点，有两个根，即有两个根， 令，则， 则时，，递增；时，，递减， 极大值为，当时，，当时，， 的范围为. ②有两个不同的零点，， 两式作差得，，要证，及证， 即证：，同除，得到 不妨设，令，则， 则证明，即证， 令，则， 则在上增，且，，.得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$