精品解析：河南省信阳市淮滨县城关中学2024-2025学年九年级上学期学生入班学情调研测试数学试题

2024年河南省信阳市淮滨县城关中学学生入班学情调研测试 九年级数学试卷(2024年8月21日) 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在下列以线段a,b,c的长为三边长的三角形中,能构成直角三角形的是(　　) A. a=1b=2,c=3 B. a=2,b=3,c=4 C. a=4,b=5,c=6 D. a=5,b=12,c=13 2. 使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A. x≥4 B. x＞4 C. x≤4 D. x＜4 3. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 4. 我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 5. 在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（　　） A. 9.7，9.9 B. 9.7，9.8 C. 9.8，9.7 D. 9.8，9.9 6. 某企业为了推选代表队参加市职业技能大赛，对甲、乙两个车间进行了五次测试，其中甲车间五次成绩的平均数是90分，中位数是91分，方差是2.4；乙车间五次成绩的平均数是90分，中位数是89分，方差是4.4．下列说法正确的是（　　） A. 甲车间成绩的平均水平高于乙车间 B. 甲、乙两车间成绩一样稳定 C. 甲车间成绩优秀的次数少于乙车间（成绩不低于90分为优秀） D. 若选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大 7. 如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ） A B. C. D. 8. 已知正比例函数 的图象上有两点 ，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A. B. C. D. 9. 在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ） A. 10 B. 8 C. 6或10 D. 8或10 10. 如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是AB边上一点,G是AD延长线上一点,BE=DG,连接EG,过点C作EG的垂线CH,垂足为点H,连接BH,BH=8.有下列结论: ①∠CBH=45°;②点H是EG的中点;③EG=4;④DG=2. 其中,正确结论的个数是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 12. 已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为_________________． 13. 矩形两条对角线的夹角为60°，对角线长为14，则该矩形较长的边长为_____． 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为___________． 15. 腰长为5，高为4等腰三角形的底边长为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算下列各式值： （1）； （2）（1﹣）2﹣|﹣2|． 17. 中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折者高几何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 18. 某市篮球队在市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，如图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数． 姓名 平均数(个) 众数(个) 方差 王亮 7 李刚 7 2.8 (1)请你根据图中的数据，填写上表． (2)你认为谁的成绩比较稳定，为什么？ (3)若你是教练，你打算选谁？简要说明理由． 19. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F． （1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为　 　； （2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，且满足，请直接写出点的坐标． 21. 为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运肥料的费用为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）设从A城运往C乡肥料x吨． ①用含x的代数式完成下表： C乡（吨） D乡（吨） A城 x B城 总计 240 260 ②设总运费为y元，写出y与x的函数关系式，并求出最少总运费； （2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少元，这时从A城运往C乡肥料多少吨时总运费最少？ 22. （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，，交于点O，，求证：； （2）如图2，在正方形中，点E，H，F，G分别在边上，，交于点O，，求的长； （3）已知点E，H，F，G分别在矩形的边上，交于点O，，，直接写出下列两题的答案： 如图3，若矩形由两个全等的正方形组成，则 ； 如图4，若矩形由n个全等的正方形组成，则 （用含n的代数式表示）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点． （1）求m和b的值； （2）直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位速度向点运动．设点的运动时间为秒． ①若的面积为10，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年河南省信阳市淮滨县城关中学学生入班学情调研测试 九年级数学试卷(2024年8月21日) 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在下列以线段a,b,c的长为三边长的三角形中,能构成直角三角形的是(　　) A. a=1,b=2,c=3 B. a=2,b=3,c=4 C. a=4,b=5,c=6 D. a=5,b=12,c=13 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据勾股定理的逆定理，分别求a、b、c的平方，然后看是否符合a2+b2=c2，由此判断即可. 详解：A.12+22=5≠32,故构不成直角三角形,故错误； B.22+32=13≠42,故构不成直角三角形,故错误； C.42+52=41≠62,故构不成直角三角形,故错误； D.52+122=169=132,故能构成直角三角形,故正确. 故选D. 点睛：此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理的公式a2+b2与c2是否相等，比较简单. 2. 使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A. x≥4 B. x＞4 C. x≤4 D. x＜4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0， 解得：x＜4 即x的取值范围是：x＜4 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 3. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 4. 我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线的性质，证明对边平行且相等，由此可得到平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，E，N，M，F分别是，，，的中点，连接，， ∵E，N，M，F分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 故选：A． 5. 在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的7次成绩如统计图所示，则这7次成绩的中位数和平均数分别是（　　） A. 9.7，9.9 B. 9.7，9.8 C. 9.8，9.7 D. 9.8，9.9 【答案】B 【解析】 【分析】将这7个数据从小到大排序后处在第4位的数是中位数，利用算术平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】把这7个数据从小到大排列处于第4位的数是9.7，因此中位数是9.7， 平均数为：， 故选B． 【点睛】考查中位数、算术平均数的计算方法，将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数就是这组数据的中位数，平均数则是反映一组数据的集中水平． 6. 某企业为了推选代表队参加市职业技能大赛，对甲、乙两个车间进行了五次测试，其中甲车间五次成绩的平均数是90分，中位数是91分，方差是2.4；乙车间五次成绩的平均数是90分，中位数是89分，方差是4.4．下列说法正确的是（　　） A. 甲车间成绩的平均水平高于乙车间 B. 甲、乙两车间成绩一样稳定 C. 甲车间成绩优秀的次数少于乙车间（成绩不低于90分为优秀） D. 若选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数、中位数以及方差的意义分别对每一项进行分析即可得出答案． 【详解】A、甲车间成绩的平均水平和乙车间相同，故本选项错误； B、因为甲车间的方差是2.4，乙车间的方差是4.4，所以甲车间成绩比较稳定，故本选项错误； C、因为甲车间的中位数是91分，乙车间的中位数是89分，所以甲车间成绩优秀的次数多于乙车间（成绩不低于90分为优秀），故本选项错误； D、选派甲车间去参加比赛，取得好成绩的可能性更大，正确； 故选D． 【点睛】此题考查了平均数、中位数以及方差的意义，解题的关键是熟练掌握基本知识． 7. 如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符号要求． 【详解】A、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以本选项错误； B、若经过第一、二、四象限的直线为y=ax+b，则a＜0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、三、四象限，所以本选项错误； C、若经过第一、三、四象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＜0，所以直线y=bx+a经过第一、二、四象限，所以本选项正确； D、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b经过两点（0，b）、（-，0）．注意：使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确． 8. 已知正比例函数 的图象上有两点 ，且，则下列不等式中恒成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，随着的增大而增大，由，可得，则． 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴，则， 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，不等式的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 9. 在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ） A. 10 B. 8 C. 6或10 D. 8或10 【答案】C 【解析】 【详解】分两种情况： 在图①中，由勾股定理，得 ； ； ∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10． 在图②中，由勾股定理，得 ； ； ∴BC＝BD-CD＝8-2＝6． 故选C． 10. 如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是AB边上一点,G是AD延长线上一点,BE=DG,连接EG,过点C作EG的垂线CH,垂足为点H,连接BH,BH=8.有下列结论: ①∠CBH=45°;②点H是EG的中点;③EG=4;④DG=2. 其中,正确结论的个数是(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】分析：连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，证明△CBE≌△CDG，得到△ECG是等腰直角三角形，证明∠GEC=45°，根据四点共圆证明①正确；根据等腰三角形三线合一证明②正确；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出EG的长，得到③正确；求出BE的长，根据DG=BE，求出BE证明④正确． 详解：连接CG,CE,作HF⊥BC于F,HO⊥AB于O. 在△CBE和△CDG中, ∴△CBE≌△CDG, ∴EC=GC,∠GCD=∠ECB. ∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°, ∴∠DCG+∠ECD=∠ECG=90°, ∴△ECG是等腰直角三角形,∴∠CEH=45°. ∵∠EHC=90°,∠CEH=45°,∴△CEH是等腰直角三角形,∴EH=CH,易证△OHE≌△FHC,∴OH=FH, 又∵∠ABC=∠HOB=∠HFB=90°, ∴四边形OBFH是正方形, ∴∠CBH=45°,①正确. ∵CE=CG,CH⊥EG, ∴点H是EG的中点,②正确. ∵∠HBF=45°,BH=8, ∴FH=FB=4,又BC=6, ∴FC=2, ∴CH==2, ∴EG=2CH=4,③正确. ∵CH=EH=2,∠EHC=90°, ∴EC==4, ∴BE==2, 又DG=BE,∴DG=2,④正确. 故选：D 点睛：本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 12. 已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为_________________． 【答案】y=﹣5x+5． 【解析】 【分析】由对称得到P′（1，﹣2），再代入解析式得到k的值，再根据平移得到新解析式. 【详解】∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′， ∴P′（1，﹣2）， ∵P′在直线y=kx+3上， ∴﹣2=k+3，解得：k=﹣5， 则y=﹣5x+3， ∴把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y=﹣5x+5． 故答案为y=﹣5x+5． 考点：一次函数图象与几何变换． 13. 矩形两条对角线的夹角为60°，对角线长为14，则该矩形较长的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的对角线相等且平分可求得较短边与对角线的一半所构成的三角形为等边三角形，则可求得答案. 【详解】解：如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点0，∠40B=60°， 则OA=OB ， ∴.△AOB为等边三角形， ∴AB=7， Rt△ABC中，由勾股定理得： ， 故答案为. 【点睛】本题主要考查矩形的性质，证得△A0B为等边三角形和应用勾股定理解直角三角形是解题的关键. 14. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】-2＜x＜-1 【解析】 【分析】先将点P（n，2）代入y=-x+1，求出n的值，再将P点坐标代入y=2x+m，求出m，进而求出y=2x+4与x轴的交点坐标，然后找出直线y=-x+1落在y=2x+m的上方且都在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数y=-x+1的图象过点P（n，2）， ∴2=-n+1，解得n=-1， ∴P（-1，2）， 将P（-1，2）代入y=2x+m，得2=-2+m， 解得m=4， ∴y=2x+4， 当y=0时，2x+4=0，解得x=-2， ∴y=2x+4与x轴的交点是（-2，0）， ∴关于x的不等式-x+1＞2x+m＞0的解集为-2＜x＜-1． 故答案为-2＜x＜-1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键． 15. 腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为_____． 【答案】6或或． 【解析】 【分析】根据不同边上高为4分类讨论即可得到本题的答案． 【详解】解：①如图1 当，， 则， ∴底边长为6； ②如图2． 当，时， 则， ∴， ∴， ∴此时底边长为； ③如图3： 当，时， 则， ∴， ∴， ∴此时底边长为． 故答案为6或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算下列各式的值： （1）； （2）（1﹣）2﹣|﹣2|． 【答案】（1）（2）2- 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除法进行计算即可得到答案； （2）先根据平方差公式和绝对值分别化简，再进行计算即可得到答案． 【详解】（1）； （2）（1﹣）2﹣|﹣2|=1﹣2+3﹣（2-）=4﹣2﹣2+=2-． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法、平方差公式和绝对值，解题的关键是掌握二次根式的乘除法、平方差公式和绝对值. 17. 中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折者高几何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 【答案】3.2尺 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：如图．设折断处离地面的高度为x尺， 则AB＝（10－x）尺，BC＝6尺． 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即x2＋62＝（10－x）2 即折断处离地面的高度为3.2尺 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 18. 某市篮球队在市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，如图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数． 姓名 平均数(个) 众数(个) 方差 王亮 7 李刚 7 2.8 (1)请你根据图中数据，填写上表． (2)你认为谁的成绩比较稳定，为什么？ (3)若你是教练，你打算选谁？简要说明理由． 【答案】(1)从左到右依次填7，7，0.4；(2)王亮的成绩比较稳定；(3)选王亮，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义，计算5次投篮成绩之和与5的商即为李亮每次投篮平均数；根据众数定义，王刚投篮出现次数最多的成绩即为其众数；先算出王亮的成绩的平均数，再根据方差公式计算王亮的投篮次数的方差． （2）比较他们两人的方差的大小，方差越小越稳定； （3）从平均数、众数、方差等不同角度分析，可得不同结果，关键是看参赛的需要 【详解】解：(1) 李刚投篮的平均数为：（4+7+7+8+9）÷5=7个， 王亮5次投篮，有3次投中7个，故7为众数； 王亮的方差为：S2=[（6-7）2+（7-7）2+（8-7）2+（7-7）2+（7-7）2]=0.4个 (2)王亮的成绩比较稳定．两人投中个数的平均数相同；从方差上看，王亮投中个数的方差小于李刚投中个数的方差，所以王亮的成绩比较稳定． (3)选王亮，理由是成绩稳定或者选李刚，理由是他具有发展潜力，李刚越到后面投中个数越多． 【点睛】此题是方差题，考查了实际问题，将数学知识与实际生活相联系，有利于培养学生学数学，用数学的意识，同时体现了数学来源于生活，应用于生活的本质． 19. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F． （1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为　 　； （2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）;（2）成立.理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB=OA，又因为AM⊥BE，所以∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，从而求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF. （2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OB=OA，再根据已知条件求证出Rt△BOE≌Rt△AOF，得到OE=OF. 【详解】解：（1）正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AM⊥BE， ∴∠AOB=∠BOE=∠AMB=90°， ∵∠AFO=∠BFM（对顶角相等）， ∴∠OAF=∠OBE（等角的余角相等）， 又OA=OB（正方形的对角线互相垂直平分且相等）， ∴△BOE≌△AOF（ASA）， ∴OE=OF 故答案为OE=OF； （2）成立.理由如下： 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵ ∴∴， ∴ 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，并运用了类比的思想，两个问题都是证明解决问题. 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在轴上，且满足，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：点在直线上， 时，，即点坐标为， 将，代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，有，解得， 点的坐标为， 设点的坐标为， ， ， 解得：， 点的坐标为或． 21. 为了落实党的“精准扶贫”政策，A，B两城决定向C，D两乡运送肥料以支持农村生产．已知A，B两城分别有肥料210吨和290吨，从A城往C，D两乡运肥料的费用为20元/吨和25元/吨；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨． （1）设从A城运往C乡肥料x吨． ①用含x的代数式完成下表： C乡（吨） D乡（吨） A城 x B城 总计 240 260 ②设总运费为y元，写出y与x的函数关系式，并求出最少总运费； （2）由于更换车型，使A城运往C乡的运费每吨减少元，这时从A城运往C乡肥料多少吨时总运费最少？ 【答案】（1）当时，总运费最少，且最少的总运费为10050元． （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）由题意得出解析式，根据解析式得出y随x的增大而增大，结合即可得出答案； （2）由题意得出解析式，结合一次函数的性质，分情况讨论即可得出答案． 【小问1详解】 解：②由题意得： ． ∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，总运费最少，且最少的总运费为10050元． 【小问2详解】 解：由题意得： ． 当时，，当时，运费最少，即A城运往C乡0吨，总运费最少； 当时，，当时，运费最少，即A城运往C乡210吨，总运费最少； 当时，无论从A城运往C乡多少吨肥料（不超过210吨），总运费都是10050元． 22. （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，，交于点O，，求证：； （2）如图2，在正方形中，点E，H，F，G分别在边上，，交于点O，，求的长； （3）已知点E，H，F，G分别在矩形的边上，交于点O，，，直接写出下列两题的答案： 如图3，若矩形由两个全等的正方形组成，则 ； 如图4，若矩形由n个全等的正方形组成，则 （用含n的代数式表示）． 【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）， 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得出； （2）过点A作交于点M，过点B作交于点N，与交于点，则四边形和四边形均为平行四边形，得出，，由（1）得，，即可得解； （3）结合（2）中的结论即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图1，过点A作交于点M，过点B作交于点N，与交于点， 则四边形和四边形均为平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴． 由（1）得，， ∴， ∴． （3）由（2）可得，在正方形中，点E，H，F，G分别在边上，，交于点O，，则， 若矩形由两个全等的正方形组成，则； 若矩形由n个全等的正方形组成，则． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点． （1）求m和b的值； （2）直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒． ①若的面积为10，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①7秒；②当秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）把点代入直线中得：，则点，直线过点，，； （2）①由题意得：，，中，当时，，，，，即可求解；②分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入直线中得：， 点， 直线过点， ，； 【小问2详解】 解：①由题意得：， 中，当时，， ， ， 中，当时，， ， ， ， 的面积为10， ， ， 则的值7秒； ②设点，点、的坐标为：、， 当时，则点在的中垂线上，即， 解得：； 当时，则点在点的正下方，故， 解得：； 当时， 同理可得：或（舍去） 故：当秒或秒或秒时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$