精品解析：宁夏回族自治区银川市金凤区宁夏六盘山高级中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

宁夏六盘山高级中学 2024～2025学年第一学期高三开学测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：连彦萍 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知与均为单位向量，且与夹角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 3. 为了得到函数图象，只需把函数的图象 A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 4. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 已知函数，下面结论错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数是偶函数 7. 已知等差数列的前5项和，且，则公差（ ） A. B. C. D. 8 数列满足，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若是锐角，则是第一象限角 B. C. 若，则为第一或第二象限角 D. 若为第二象限角，则为第一或第三象限角 10. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. cos2－sin2 C. cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D. 11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得 B. 若向量，共线，则点，，，必在同一直线上 C. 边长为的正方形中 D. 若点为的重心，则 12. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量，满足，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若，则__________． 14. 已知a，b，c分别为锐角内角A，B，C的对边，，，，则__________． 15. 若等比数列，，，则______. 16. 设数列的前n项积为，若，（，），则的前n项和___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．（其中第17题10分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知向量， （1）若，求的值； （2）若，求的值. 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值，并指出取得最值时的值. 19 已知． （1）化简：； （2）在中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若，，且的面积，求a、b的值． 20. 已知． （1）化简； （2）若，求． 21. 为等差数列的前项和．已知． （1）求的通项公式． （2）设，求数列的前项和． 22. 已知递增的等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宁夏六盘山高级中学 2024～2025学年第一学期高三开学测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：连彦萍 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，且为第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角平方关系与商数关系即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，又为第二象限角，所以. 故选：A. 2. 已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据结合数量积的运算律即可得解. 【详解】解：因为与均为单位向量，且与的夹角为， 所以. 故选：D. 3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象 A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向左平行移动个单位长度 D. 向右平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】 【详解】，根据左加右减的原则可知，函数是向左平移个单位. 故选：C. 4. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由周期求得，由点的坐标求得（要注意的范围）． 【详解】由题意，， ，，∵，∴， 故选：D． 【点睛】本题考查由函数图象求函数解析式，掌握五点法是解题关键． 5. 如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，即求. 【详解】由题把图形看作平面直角坐标系的一部分则， ∴. 故选：D. 6. 已知函数，下面结论错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上是增函数 C. 函数的图像关于直线对称 D. 函数是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】先化简函数得，然后逐个分析判断即可 【详解】解：， 对于A，的最小正周期为，所以A正确； 对于B，在区间上是减函数，所以B错误； 对于C，因为，所以的图像关于直线对称，所以C正确； 对于D，因为，所以是偶函数，所以D正确， 故选：B 7. 已知等差数列的前5项和，且，则公差（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由可得， ， 故， 所以，解得. 故选：C 8. 数列满足，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差中项可知数列是等差数列，利用等差数列通项公式即可求解. 【详解】由，可知：数列是等差数列， 首项为，公差为：. ∴， ∴. 故选：A 【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列通项公式，属于中档题. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若是锐角，则是第一象限角 B. C. 若，则为第一或第二象限角 D. 若为第二象限角，则为第一或第三象限角 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案. 【详解】A选项，是锐角，即，所以是第一象限角，A选项正确. B选项，根据弧度制的定义可知，B选项正确. C选项，当时，，但不是象限角，C选项错误. D选项，为第二象限角，即， 所以为第一或第三象限角，D选项正确. 故选：ABD 10. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. cos2－sin2 C. cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意，根据二倍角的余弦、正切公式和两角差的正弦公式计算即可. 【详解】选项A：，故A符合题意； 选项B：，故B符合题意； 选项C：，故C不符合题意； 选项D：，故D不符合题意. 故选：AB. 11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得 B. 若向量，共线，则点，，，必在同一直线上 C. 边长为的正方形中 D. 若点为的重心，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量共线的概念即可判断A正确，B错误；利用向量的加法法则和向量的模的计算可判断C错误，利用三角形重心的结论即可判断D正确，问题得解. 【详解】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确； 对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误； 对于选项C，边长为的正方形中，故C错误； 对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确. 故选：AD. 12. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量，满足，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C，由夹角公式可判断B，根据投影向量的求法即可判断D. 【详解】，, ，解得，故A错误； ，， 由于，与的夹角为，故B正确； ，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确, 故选：BD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正余弦的齐次式化为正切函数即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为； 14. 已知a，b，c分别为锐角内角A，B，C的对边，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角形为锐角三角形直接得解. 【详解】由正弦定理可得, 即，解得， 由锐角三角形知，所以 故答案为： 15. 若为等比数列，，，则______. 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求，，可求的值. 【详解】因为数列为等比数列，所以，又， 所以或，因为，所以为或. 故答案为：或 16. 设数列的前n项积为，若，（，），则的前n项和___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用公式，求数列的通项公式，再利用等比数列求和. 【详解】由，，当时， ，可得， 所以，, 当时， 当时，满足. 所以． 故答案为： 【点睛】易错点点睛：本题有两个易错点，第一个是求通项公式，需写出分段函数形式，第二个是根据通项公式求和时，也得讨论和三种情况. 四、解答题：本题共6小题，共70分．（其中第17题10分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知向量， （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行满足的坐标关系即可求解， （2）根据向量垂直满足的坐标关系可得，由模长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知 【小问2详解】 ，， 18. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最大值和最小值，并指出取得最值时的值. 【答案】（1）单调递增区间为，； （2）时，有，时，有. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式先化简函数式，再利用三角函数的性质求单调区间即可； （2）结合（1）的结论，利用整体代换思想及三角函数的图象与性质计算最值即可. 【小问1详解】 ， 令，， 得，， 所以的单调递增区间为，； 【小问2详解】 因为，所以， 所以当，即时， 有， 当时，即时， 有. 19. 已知． （1）化简：； （2）在中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若，，且的面积，求a、b的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式可化简； （2）由（1）可得，再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得，解之得答案. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，即，又，所以， 因为的面积，所以，解得，又，所以， 由，解得，所以. 【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题. 20. 已知． （1）化简； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及诱导公式化简； （2）利用两角和的余弦公式求值. 【小问1详解】 【小问2详解】 ∵，∴， ∵， ∴. 21. 为等差数列的前项和．已知． （1）求的通项公式． （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，求出首项和公差即可求通项； （2）先求出数列的通项，再用裂项的方法求前项和即可. 【小问1详解】 设数列的公差为， 由题意得 解得， 所以是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式． 【小问2详解】 由（1）知， 所以． 设数列的前项和为，则 ． 22. 已知递增的等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解首项和公比即可， （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设等比数列公比为， 由题意有，解得， 所以． 【小问2详解】 ， 所以， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$