精品解析：江苏省宿迁市泗阳县2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

泗阳县2024年初三开学考试卷 数学 时间：120分钟分值：150分 一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，经过圆心且交于点于点，则的半径是（ ） A. B. 3 C. D. 7. 如图，已知为的直径，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 苯分子中的6个碳原子与6个氢原子H均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根是3，则______． 12. 若方程（k为常数）的两个根相等，则k的值是______． 13. 在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 _____． 14. 若，是方程的两根，则的值为______． 15. 如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，AB＝12，AC＝22，则MD的长为_____． 16. 如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为_____°． 17. 如图，矩形的顶点，，点在轴正半轴上，是上一点，连接，作点关于的对称点，连接，，当时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为______ 18. 如图，线段，点D是线段AB上一动点，以直角的斜边CD为直角边向上作等腰直角，G是斜边DE中点，连接AG，则线段AG的最小值是______cm． 三．解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明．） 19. 解方程： （1） （2）． 20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根．问：求解a的取值范围 21. 五星电器店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 240 290 电压锅 200 260 （1）一季度，五星店购进这两种电器共40台，用去了9000元，并且全部售完，问五星店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台？ （2）为了满足市场需求，二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问五星店有哪几种进货方案？并说明理由； （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案五星店赚钱最多？ 22. 如图，圆的两条弦，相交于点，且，．求：的度数． 23. 如图，点是平分线上一点，，垂足为．与以为圆心，长为半径的圆的位置关系，并证明． 24. 如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 25. 如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求半径． 26. 如图，在中，，． （1）在斜边上求作线段，使，连接； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，求的长． 27. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 28. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧． （1）求a，b，c的值； （2）如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标； （3）如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泗阳县2024年初三开学考试卷 数学 时间：120分钟分值：150分 一、单选题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数的加法运算，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用有理数加法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法以及合并同类项，需要注意不是同类项的一定不能合并． 根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则作答． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不合题意． 故选：C． 3. 如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据“当一元二次方程有实数根时，根的判别式”可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． 故选：D． 4. 将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图象平移的规律：上加下减，左加右减，即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为，即． 故选：C． 5. 如图1所示的是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据，计算即可．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵如图是以点为圆心，分别以，的长为半径，圆心角的扇面，且，， ∴ ， ∴阴影部分的面积为． 故选：B． 6. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，经过圆心且交于点于点，则的半径是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，构建直角三角形是解题的关键．连接，利用垂径定理求解，再令的半径为，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案． 【详解】解：连接． ∵M是弦的中点，且经过圆心O， ∴，且． 在中，令的半径为， ∵， ∴，解得：， 故选D． 7. 如图，已知为的直径，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理．由为的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，即可求得答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 苯分子中的6个碳原子与6个氢原子H均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和以及三角形的内角和．掌握边形的内角和为是解题的关键．根据正六边形的内角和公式求出的度数，再根据等腰三角形的性质求的度数，同理可得的度数，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：六边形是正六边形， ，， ． 同理可得， ． 故选B． 9. 如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连结，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，进一步求出和的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到，由此即得答案． 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连结， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 10. 如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB，进而得到答案． 【详解】解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA， 则AM＝BM＝AB， 在Rt△AOM中，AM＝＝＝， ∴AB＝2AM＝， 则≤过点M的所有弦≤8， 则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于选的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根是3，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键．将代入方程求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是3， ， 解得：； 故答案为：9． 12. 若方程（k为常数）的两个根相等，则k的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据一元二次方程的两个根相等，令判别式为0，解方程求解即可． 【详解】解：∵方程（k为常数）的两个根相等， ∴ 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 13. 在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的相关知识、弧长的计算，设此圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可，熟练掌握圆锥的相关知识是解题关键． 【详解】解：设此圆锥的母线长为， 根据题意得，解得， 即此圆锥的母线长为， 故答案为：． 14. 若，是方程的两根，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，，变形代入计算即可． 【详解】∵，是方程的两根， ∴， ∴ = =1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，利用定义变形代入计算是解题的关键． 15. 如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，AB＝12，AC＝22，则MD的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】延长BD交AC于N，根据等腰三角形三线合一得到BD＝DN，AN＝AB，根据三角形中位线定理得到DM＝NC，代入计算即可． 【详解】解：延长BD交AC于N， ∵AD是∠BAC的平分线，BD⊥AD， ∴BD＝DN，AN＝AB＝12， ∵BM＝CM，BD＝DN，AC＝22， ∴DM＝NC＝（AC﹣AN）＝5， 则MD的长为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理和等腰三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和等腰三角形三线合一是解题的关键． 16. 如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC的度数为_____°． 【答案】132 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，根据周角的定义即可得到结论． 【详解】由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°， ∴∠ABC＝360°﹣120°﹣108°＝132°， 故答案为：132． 【点睛】本题考查的是正多边形的内角计算，圆周角概念，正确的理解题意，通过图形分析求解是解题的关键． 17. 如图，矩形的顶点，，点在轴正半轴上，是上一点，连接，作点关于的对称点，连接，，当时，的延长线恰好经过点，则点的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了对折和相似三角形，解题关键是正确得出比例式．先求得，进而得，，即可得，得，再解得：，，即可得答案． 【详解】解：如图， 由矩形，，， 得， 由点关于的对称点，的延长线恰好经过点， 得，， , ， 得， 即， 解得：，， 故， 故． 故答案为：． 18. 如图，线段，点D是线段AB上一动点，以直角的斜边CD为直角边向上作等腰直角，G是斜边DE中点，连接AG，则线段AG的最小值是______cm． 【答案】 【解析】 【分析】连接CG，BG，作GM⊥BC于N，证明四边形GMBN为矩形，进而证明△GMD与△GNC全等，由此可知G在∠ABC的角平分线上，作AH⊥BG于点H，根据垂线段可知，当G与H垂直时AG最短． 【详解】 解：连接CG，BG，作GM⊥BC于N，延长BC作GN⊥BC， ∵△DCE为等腰直角三角形，G为DE中点， ∴CG=GD，∠CGD=90°， ∵GM⊥AB，GN⊥BC，∠ABC=90°， ∵四边形GMBN为矩形， ∴∠MGN=90°=∠CGD， ∴∠MGD=∠NGC， ∵∠GMD=∠GNC=90°，CG=GD， ∴△GMD≌△GNC（AAS）， ∴GM=GN， ∴G在∠ABC的角平分线上， ∴∠GBA=45°， 作AH⊥BG于点H，根据垂线段可知，当G与H重合时AG最短， ∵∠ABG=45°，∠AHB=90°， ∴AG的最小值（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考查垂线段最短，全等三角形的证明，角平分线的性质，能够构造适合的辅助线是本题的关键． 三．解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明．） 19. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴，． 20. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根．问：求解a的取值范围 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”．根据方程的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ． ． 21. 五星电器店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 240 290 电压锅 200 260 （1）一季度，五星店购进这两种电器共40台，用去了9000元，并且全部售完，问五星店在该买卖中购进电饭煲和电压锅各多少台？ （2）为了满足市场需求，二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，问五星店有哪几种进货方案？并说明理由； （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案五星店赚钱最多？ 【答案】（1）购进电饭煲25台，电压锅15台； （2）有三种方案：①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，购买电压锅26台；③购买电饭煲25台，购买电压锅25台； （3）购进电饭煲23台，电压锅各27台时，五星店赚钱最多． 【解析】 【分析】（1）设购进电饭煲x台，电压锅y台，根据“五星店购进这两种电器共40台，用去了9000元，”列出方程组，即可求解； （2）设购进电饭煲a台，则电压锅（50-a）台，根据“二季度五星店决定用不超过11000元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的数量不少于电压锅的，”列出不等式组，即可求解； （3）根据总利润=单个利润×购进数量，分别求出各进货方案的利润，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进电饭煲x台，电压锅y台，根据题意得： ，解得：， 答：五星店在该买卖中购进电饭煲25台，电压锅15台； 【小问2详解】 解：设购进电饭煲a台，则电压锅（50-a）台，根据题意得： ，解得：， 又a为正整数， ∴a可取23，24，25， ∴有三种方案：①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，购买电压锅26台；③购买电饭煲25台，购买电压锅25台； 【小问3详解】 设五星店赚钱数额为w元， 当a=23时，w=23×（290-240）+27×（260-200）=2770； 当a=24时，w=24×（290-240）+26×（260-200）=2760； 当a=25时，w=25×（290-240）+25×（260-200）=2750； 综上所述，当a=23时，w最大， 即购进电饭煲23台，电压锅各27台时，五星店赚钱最多． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组；（2）根据数量关系，列出关于a的一元一次不等式组；（3）根据总利润=单个利润×购进数量，分别求出各进货方案的利润． 22. 如图，圆的两条弦，相交于点，且，．求：的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质．掌握等弧所对圆周角相等是解题关键． 由等弧所对圆周角相等可得出，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 23. 如图，点是平分线上一点，，垂足为．与以为圆心，长为半径的圆的位置关系，并证明． 【答案】相切，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定定理，过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键． 【详解】解：相切，理由如下， 过点P作于点E， ∵点是平分线上一点， ∴， 即为的半径， ∴与相切． 24. 如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及弓形面积计算， ()由圆周角定理得出，得出，由得出 ，由圆周角定理得出 ，即可得出结论； ()连接，，可证明，，得到，利用勾股定理可求得，再由分割法可求得阴影部分的面积； 熟练掌握圆周角定理及分割法计算弓形面积是解题的关键． 【小问1详解】 证明:∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 如图，连接，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ， ． 25. 如图，在中，，D是边上一点，以为直径的与相切于点E，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，求半径． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定性质，即可解答； （2）连接，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系，相似三角形的判定与性质，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 是的切线， ． ， ， ． ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接，如图， ， ， ， ． 是直径， ， ． ， ， ， ． ． ． ， 即的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系，连接经过切点的半径是解决此题常用的辅助线． 26. 如图，在中，，． （1）在斜边上求作线段，使，连接； （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：所作线段如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点O，则问题可求解； （2）根据含30度直角三角形的性质可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点O为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键． 27. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】（1）①②或3 （2）该方程的“关爱码”为或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； 【小问3详解】 解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 28. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧． （1）求a，b，c的值； （2）如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标； （3）如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，求的最小值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于，求得的解析式，设，则，利用相似三角形的判定与性质可得答案； （3）在轴上取一点，使得，连接，由相似三角形的判定与性质可得，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：将代入， 得， ， 抛物线的解析式为， 令，则， ， 令，则， ，， ，即； ∴，， 【小问2详解】 过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于， 设：，将，代入得解得：，， ：， 设，则， ， ， ， ， 将代入， ， ， ， ， ， 舍，， ； 【小问3详解】 在轴上取一点，使得，连接， 根据旋转得性质得出：， ∵， ， ， ， ， ， ， ，当B、、F三点共线时，此时最小=， 最小值为：． 【点睛】此题考查的是二次函数的综合题意，涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数与面积的问题、待定系数法求解析式，旋转的性质等知识．正确的作出辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $