精品解析：安徽省蚌埠市蚌埠铁路中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

高二数学月考卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 可表示（ ） A. B. C. D. 2. 一部影片在4个单位轮流放映，每个单位放映一场，不同的放映次序有（ ） A. 种 B. 4种 C. 种 D. 种 3. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　） A. 72种 B. 48种 C. 24种 D. 12种 4. 满足关系式的正整数组成的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 5 C. D. 25 6. “杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（ ） A 21 B. 22 C. 23 D. 24 7. 盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某批麦种中，一等麦种占，二等麦种占，一、二等麦种种植后所结麦穗含55粒以上麦粒的概率分别为0.5，0.25，则用这批种子种植后所结的麦穗含有55粒以上麦粒的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于的二项展开式，下列说法正确的有（ ） A. 二项展开式共有个不同项 B. 二项展开式的第项为 C. 二项展开式的各项系数之和为 D. 二项展开式中系数最大的项为第项 10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则A，B相互独立 C. 若A，B不相互独立，则 D. 若，则 11. 箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则下列四个选项中，正确的是（ ） A. 他第3次击中目标的概率是0.9 B. 他恰好击中目标3次的概率是0.930.1 C. 他至少击中目标1次的概率是1-0.14 D. 他恰好有连续2次击中目标的概率为30.930.1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则______. 14. 某学校举行秋季运动会，酷爱运动的小明同学准备在某七个比赛项目中，选择参加其中四个项目的比赛.根据赛程安排，在这七个比赛项目中，100米赛跑与200米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加.则不同的报名方法数为___________.（用数字作答） 15. 一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则______． 16. 已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下： 0 1 2 a 当时，______________________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为： ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 （1）求a，b的值； （2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况． 18. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y， （1）记事件A为“”，求； （2）记事件B为“”，求. 19. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值； （2）求展开式中常数项； （3）计算式子的值． 20. 在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图所示是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年的高温天数（若某天气温达到35℃及以上，则称之为高温天）的频率分布直方图.若某年的高温天数达到15天及以上，则称该年为高温年.假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率. （1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率； （2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店（消费区在户外）的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择.方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞. 21. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，. （1）任取一个零件，计算它是次品概率； （2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望. 22. 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”． （1））求一个试用组为“甲类组”的概率； （2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学月考卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列数和组合数的定义计算即可. 【详解】. 故选：D. 2. 一部影片在4个单位轮流放映，每个单位放映一场，不同的放映次序有（ ） A. 种 B. 4种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列，即可得到答案. 【详解】一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列， 所以不同的放映次序有种， 故选：C 3. 如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有（　　） A. 72种 B. 48种 C. 24种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：先涂A的话，有4种选择，若选择了一种，则B有3种，而为了让C与AB都不一样，则C有2种，再涂D的话，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4x3x2x3=72种，故选A． 考点：本题主要考查分步计数原理的应用． 点评：从某一区域涂起，按要求“要求相邻的矩形涂色不同”，分步完成． 4. 满足关系式正整数组成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数以及排列数的计算公式即可由不等式求解. 【详解】由题意可知且，根据组合数以及排列数的计算公式可得，解得,所以可取3,4,5, 故选：B 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 5 C. D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的系数为． 故选：A 6. “杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，第n行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，再利用二项式的系数的性质可求得结果. 【详解】由题意可知，第n行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数. 因为只有第12项的二项式系数最大， 所以n为偶数，故，解得， 故选：B 7. 盒中有2个红球，3个黑球，2个白球，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，并加入同色球1个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】从盒中任取1球，是红球记为，黑球记为，白球记为， 则，，彼此互斥，设第二次抽出的是红球记为事件B， 则，，，，，， ， 故选：. 8. 某批麦种中，一等麦种占，二等麦种占，一、二等麦种种植后所结的麦穗含55粒以上麦粒的概率分别为0.5，0.25，则用这批种子种植后所结的麦穗含有55粒以上麦粒的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式求解. 【详解】设从这批种子中任选一颗是一、二等种子的事件是, 则, 且两两互斥, 设“从这批种子中任选一颗,所结的穗含 55 颗以上麦粒”, 则. 故选：B 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于的二项展开式，下列说法正确的有（ ） A. 二项展开式共有个不同的项 B. 二项展开式的第项为 C. 二项展开式的各项系数之和为 D. 二项展开式中系数最大的项为第项 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项展开式的项数可判断A选项；利用二项展开式的通项可判断B选项；利用二项展开式各项系数和可判断C选项；利用二项式系数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，的展开式共有个不同的项，A对； 对于B选项，二项展开式的第项为，B错； 对于C选项，二项展开式的各项系数之和为，C对； 对于D选项，展开式通项为，令 当为奇数时，；当为偶数时，. 结合二项式系数性质可知，二项展开式中系数最大的项为第项或第项，D错. 故选：AC. 10. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则A，B相互独立 C. 若A，B不相互独立，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，利用相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式以及条件概率公式，依次判断所给的4个结论即可． 【详解】对于A，若，则，故A错误; 对于B，，,由于，则，相互独立，故B正确； 若，不相互独立，则故，故C错误；对于，，则，，则，故D正确. 故选:BD 11. 箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个红球，2个白球．每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回．设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解. 【详解】，A正确； ， 由全概率公式可知： 所以BC错误，D正确. 故选：AD 12. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则下列四个选项中，正确的是（ ） A. 他第3次击中目标的概率是0.9 B. 他恰好击中目标3次的概率是0.930.1 C. 他至少击中目标1次的概率是1-0.14 D. 他恰好有连续2次击中目标的概率为30.930.1 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据相互独立事件的概念和独立重复试验的概率公式判断． 【详解】∵射击一次击中目标的概率是0.9，∴第3次击中目标的概率是0.9，∴A正确; ∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，∴本题是一个独立重复试验， 根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是0.930.1，∴B不正确; ∵至少击中目标1次的概率是10.14，∴C正确; ∵恰好有连续2次击中目标的概率为30.920.12，∴D不正确. 故选：AC. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】利用均值的性质求解. 【详解】已知，则. 故答案为：5 14. 某学校举行秋季运动会，酷爱运动的小明同学准备在某七个比赛项目中，选择参加其中四个项目的比赛.根据赛程安排，在这七个比赛项目中，100米赛跑与200米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加.则不同的报名方法数为___________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】将符合要求的报名方法可以分为两类，第一类100米，200米，跳高，跳远四项比赛中只参加一项的方法，第二类100米，200米中参加一项且跳高，跳远两项比赛中参加一项的方法，再根据分类加法原理求解. 【详解】符合要求的报名方法可以分为两类，第一类100米，200米，跳高，跳远四项比赛中只参加一项， 第二类100米，200米中参加一项且跳高，跳远两项比赛中参加一项，其中第一类中含4种不同的报名方法， 第二类中的报名方法可分三步完成，第一步从100米，200米中选择一项，第二步从跳高，跳远两项比赛选择一项，第三步从余下的三项比赛中选择两项参赛， 故第二类方法共有种，由分类加法原理可得共有16种方法. 故答案为：16. 15. 一批产品分为一，二，三3个等级，其中一级品的个数是二级品的两倍，三级品的个数是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设二级品有个，则一级品有个，三级品有个，总数为，从而可得概率，进而得分布列后可求解. 【详解】设二级品有个，则一级品有个，三级品有个，总数为，则随机变量的分布列为： 1 2 3 ． 故答案为： 16. 已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下： 0 1 2 a 当时，______________________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据分步列中概率之和为1以及期望的公式即可求解，由方差的公式以及性质即可求解. 【详解】由题意可知：，且，解得， 所以，所以, 故答案为：5 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为： ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 （1）求a，b的值； （2）计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况． 【答案】（1）a＝0.3；b＝0.4；（2）2.3；2；0.81；0.6；甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势． 【解析】 【分析】 (1) 由离散型随机变量的分布列的性质，可求出 ； (2) 由离散型随机变量的分布列的性质，可求出E(ξ)，E(η)，D(ξ)，D(η)，由此可比较甲、乙技术状况. 【详解】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 a＋0.1＋0.6＝1， ∴a＝0.3. 同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4. (2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2， D(ξ)＝(1－23)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6. 由于E(ξ)＞E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势． 18. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y， （1）记事件A为“”，求； （2）记事件B为“”，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用穷举法得到先后抛掷两次，出现点数基本事件总数，从中找出满足的事件数，根据古典概型的概率计算公式即可得到所求的概率； （2）求出事件AB包含的事件数和概率，进而可得条件概率. 【小问1详解】 投掷骰子2次得到的所有结果为： 共16种， 事件A包含的结果有：共10种， 则 【小问2详解】 事件AB包含的结果有：共2种，则， . 19. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题： （1）求的值； （2）求展开式中常数项； （3）计算式子的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，可得，由此求得的值． （2）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项． （3）令代入计算可得． 【详解】解：（1）二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是，即，解得或（舍去）． （2）解：由（1）知，∴， ∴， 由，得，∴展开式中常数项． （3）解：令得． 20. 在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图所示是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年的高温天数（若某天气温达到35℃及以上，则称之为高温天）的频率分布直方图.若某年的高温天数达到15天及以上，则称该年为高温年.假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率. （1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率； （2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店（消费区在户外）的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择.方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞. 【答案】（1）0.0272 （2）该同学应该购买遮阳伞． 【解析】 【分析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率； （2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【小问1详解】 由题意知某年为高温年的概率为：， 设今后4年中高温年出现X年，则， 所以． 所以今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率0.0272； 【小问2详解】 若选择方案一，设今后4年共损失元，则（元）， 若选择方案二，设今后4年共损失元，则（元）， ，所以该同学应该购买遮阳伞． 21. 英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，，有，. 现有三台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，每加工一个零件耗时分钟，第，台加工的次品率均为，每加工一个零件分别耗时分钟和分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时（分钟）的分布列和数学期望. 【答案】（1）0.0525 （2）分布列见解析，期望为32（分钟） 【解析】 【分析】（1）设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”()，根据题设确定对应事件的概率，进而应用全概率公式求概率即可； （2）由题设知，利用贝叶斯公式求对应值的概率，写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”()， 则，且两两互斥. 根据题意， . 由全概率公式，得 . 【小问2详解】 由题意知，则 ， 同理得， 所以加工这个零件耗时的分布列为： 35 32 30 （分钟）. 22. 冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病，而新型冠状病毒(nCoV)是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株人，感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状，发热、咳嗽、气促和呼吸困难等在较严重病例中，感染可导致肺炎，严重急性呼吸综合征，肾衰竭，甚至死亡．假如某医药研究机构合成了甲、乙两种抗“新冠病毒”的药物．经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为，现已进入药物临床试用阶段．每个试用组由4位该病毒的感染者组成．其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，则称该组为“甲类组”． （1））求一个试用组为“甲类组”的概率； （2）观察3个试用组，用表示这3个试用机组“甲类组”的个数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为． 【解析】 【分析】（1）把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示，再利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解. （2）首先判断随机变量服从二项分布，再求其分布列和均值. 【详解】解（1）设表示事件“一个试验组中，服用甲种抗病毒药物有效的人数人”，， 表示事件“一个试验组中，服乙有效的人有人”， 依题意有 所求的概率为 （2）的可能值为，且 ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$