精品解析：北京市第一七一中学2023-2024学年高二下学期期中数学试题

北京市第一七一中学2023-2024学年度第二学期 高二年级数学科目期中调研试题 （时长：120分钟 总分值：150分） 一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知抛物线的准线方程为 ，则该抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中 的系数是（ ） A. 80 B. C. 160 D. 3. 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是 A. 在上为减函数 B. 在 处取得最大值 C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值 4. 设随机变量的概率分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 5. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 设，若，则展开式中系数最大的项是（ ） A. B. C. D. 8. 函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线（ ，）的左焦点为 ，右顶点为 ，过 作 的一条渐近线的垂线， 为垂足．若，则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 10. 定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5题，每题5分，共25分. 11. 已知的展开式的二项式系数之和为16，则 ___________；各项系数之和为___________.(用数字作答) 12. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为__________；__________. 13. 已知函数的定义域为 ，，对任意，则的解集为____________． 14. 把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于 . 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题共6题，共85分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数，若曲线在处的切线方程为. （1）求 ，的值； （2）求函数的单调区间和极值； （3）求函数在上的最大值、最小值. 17. 如图，在长方体中，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面 夹角的余弦值； （3）求点 到平面的距离． 18. 某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下： 牙膏品牌 销售价格 市场份额 （1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率； （2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取 管牙膏进行质检，其中 和 共抽取了管． ①求的值； ②从这管牙膏中随机抽取 管进行氟含量检测．记为抽到品牌 的牙膏数量，求的分布列和数学期望． （3）品牌 的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论） 19. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆 的方程； （2）设过点的直线与椭圆 有两个不同的交点（均不与点 重合），若以线段为直径的圆恒过点 ，求 的值． 20. 已知函数,其中． （1）当时,求曲线在点处的切线方程; （2）当 时,判断的零点个数,并加以证明; （3）当时,证明:存在实数m,使恒成立． 21. 已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P； ①； ②对任意的、，与至少有一个是数列中的项． （1）分别判断数列、 、、 和 、、 、 是否具有性质 ，并说明理由； （2）若数列具有性质 ，求证：； （3）若数列具有性质 ，且不是等比数列，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一七一中学2023-2024学年度第二学期 高二年级数学科目期中调研试题 （时长：120分钟 总分值：150分） 一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知抛物线的准线方程为 ，则该抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据准线方程为 ，可知抛物线的焦点在轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为，根据准线方程求出的值，代入即可得到答案. 【详解】由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴，设抛物线标准方程为：， ∵抛物线的准线方程为 ， ∴，∴， ∴抛物线的标准方程为：， 故选：C. 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，属于基础题. 2. 的展开式中 的系数是（ ） A. 80 B. C. 160 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式求解即可. 【详解】展开式中x的项为. 故选：A. 3. 已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是 A. 在上为减函数 B. 在 处取得最大值 C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可． 详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知： f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0 当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减； 当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减． 可知C正确，A错误； 由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误． 故选C． 点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变. 4. 设随机变量的概率分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析： ，故选B 考点：概率分布 5. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果. 【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种， 所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种， 故选：C. 6. 下列求导的运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的导数公式逐个判断即可 【详解】对A，，故A正确； 对B，，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D错误； 故选：A 7. 设，若，则展开式中系数最大的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的基本定理确定 的数值，再求展开式中系数最大的项． 【详解】在中， 令 ，得， 令 ，得， ； 展开式中系数最大的项为． 故选：D． 8. 函数，当时，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将当时，恒成立，转化为 时恒成立，再令，用导数法求最小值即可. 【详解】因为函数，当时，恒成立， 所以 时，恒成立， 令， ， 当 时，，当 时，， 所以当 时取得最小值e. 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 9. 已知双曲线（ ，）的左焦点为 ，右顶点为 ，过 作的一条渐近线的垂线， 为垂足．若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先利用，求点 的坐标，再利用 与渐近线垂直，构造关于的齐次方程，求离心率. 【详解】由条件可知，，由对称性可设条件中的渐近线方程是，线段 的中垂线方程是，与渐近线方程联立方程，解得，，即， 因为 与渐近线垂直，则， 化简为， 即，即，两边同时除以， 得，解得：（舍）或. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程. 10. 定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出每个选项中函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项. 【详解】对于A选项，，则，由， 即，，因此，存在“自足点”，A满足条件； 对于B选项，，则，由， 可得，其中，令，则，， 所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件； 对于C选项，，则，其中， 因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件； 对于D选项，，则， 由，可得， 因为，， 所以，， 所以，方程无实解，D选项不满足条件. 故选：D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5题，每题5分，共25分. 11. 已知的展开式的二项式系数之和为16，则 ___________；各项系数之和为___________.(用数字作答) 【答案】 ①. 4 ②. 81 【解析】 【分析】根据二项式系数和的公式，求解；再根据赋值法求各项系数之和. 【详解】展开式中的二项式系数的和是，所以， 令 ，，即各项系数和为. 故答案为：； 12. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为__________；__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 根据双曲线的方程，求得半实轴a、半虚轴b的值，代入渐近线方程，即可求得答案；根据M点在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，即可求得答案. 【详解】因为双曲线，半实轴 ，半虚轴, 所以渐近线方程为，即； 因为满足双曲线方程，且在双曲线的左支上，根据双曲线的定义得， 所以-2. 故答案为：；-2 13. 已知函数的定义域为 ，，对任意，则的解集为____________． 【答案】. 【解析】 【分析】构造，根据题意得到在 为单调递增函数，又由，得到，进而得到时，，即可求解. 【详解】设，可得， 因为对任意，所以，所以在 为单调递增函数， 又由，可得， 所以当时，，即不等式的解集为. 故答案为：. 14. 把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种. 【答案】36 【解析】 【详解】试题分析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种. 考点：排列组合，容易题. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于 . 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，①对； 对于②，， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，所以，， 则， 由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 故当时，，则，即在上单调递减， ，则，解得，②对； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， ，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③错； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 三、解答题共6题，共85分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数，若曲线在处的切线方程为. （1）求 ，的值； （2）求函数的单调区间和极值； （3）求函数在上的最大值、最小值. 【答案】（1） （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可； （2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值. （3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可. 【小问1详解】 由题意可知：，则 因为曲线在处的切线方程为， 则，即，解得. 【小问2详解】 因为， 当时，；当时，； 可知函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为， 的极大值为，的极小值为. 【小问3详解】 函数在，上单调递增，在上单调递减， 且， 函数在上的最大值,最小值. 17. 如图，在长方体中，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面 夹角的余弦值； （3）求点 到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判断定理可得答案； （2）建立空间直角坐标系，平面的法向量、平面ABCD的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案； （3）直接利用向量根据点到平面的距离公式得到答案. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 故平面. 【小问2详解】 如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系， 故，，，，，, 设平面的法向量为，则， 取得到，，即， 易知平面ABCD的一个法向量为， 则， 根据图象知二面角的平面角为锐角，故平面与平面ABCD所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2），， 故B到平面的距离为. 18. 某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下： 牙膏品牌 销售价格 市场份额 （1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率； （2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取 管牙膏进行质检，其中 和 共抽取了 管． ①求 的值； ②从这 管牙膏中随机抽取 管进行氟含量检测．记为抽到品牌 的牙膏数量，求的分布列和数学期望． （3）品牌 的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论） 【答案】（1）； （2）①；②分布列： 期望为； （3）． 【解析】 【分析】（1）求出销售价格低于元的频率，用频率来衡量概率； （2）①利用分层抽样的定义求解即可，②随机变量的可能取值为，然后求出各自对应的概率，即可列出分布列，求出期望； （3）求出平均值比较即可 【详解】解：（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元”为事件 ． 由题设，． （2）①由题设，品牌 的牙膏抽取了管， 品牌 的牙膏抽取了管， 所以． （ⅱ）随机变量的可能取值为． ； ； ． 所以的分布列为： 的数学期望为． （3）． （理由：，设品牌 的市场占有额为 ，市场占有额分别为，则 ） 19. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆 的方程； （2）设过点的直线与椭圆 有两个不同的交点（均不与点 重合），若以线段 为直径的圆恒过点 ，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可； （2）设点 坐标及设直线方程，利用结合韦达定理计算即可. 【小问1详解】 由题意可知， 又离心率为， 即椭圆方程为：； 【小问2详解】 设直线，， 则， 因为以线段 为直径的圆恒过点 ，所以， 联立直线与椭圆， 所以，则， 由， ， 整理得或， 易知时不符题意，所以. 20. 已知函数,其中． （1）当时,求曲线在点处的切线方程; （2）当 时,判断的零点个数,并加以证明; （3）当时,证明:存在实数m,使恒成立． 【答案】（1） （2）1个 （3）证明：由题,, , 令 , , 即在上单调递增, , 且 , 故,使得, 即 在上单调递增, 即,单调递减, 即,单调递增, 故, 若恒成立, 只需, 即即可, 故存在实数m,使恒成立. 【解析】 【分析】(1)根据代入解析式,求出,根据点斜式写出切线方程即可; (2)对函数求导求单调性,观察到,根据单调性分析零点个数即可; (3)先对函数求导,再通分,令再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析的正负,即的正负,进而求出的单调性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在实数m,使恒成立. 【小问1详解】 解:由题知, , , , 故在点处的切线方程为, 即; 【小问2详解】 由题,, , , , 故在上单调递增, , 故有1个零点; 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有: (1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积; (2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数; (3)对新的函数进行求导求单调性; (4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函数值相互异号为止; (5)根新函数的单调性即可判断在区间内有零点,设为,判断左右两侧的新函数的函数值正负,即可判断原函数的单调性求出最值. 21. 已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P； ①； ②对任意的 、，与至少有一个是数列中的项． （1）分别判断数列、 、、 和 、、、 是否具有性质，并说明理由； （2）若数列具有性质，求证：； （3）若数列具有性质，且不是等比数列，求的值． 【答案】（1）数列、 、、 不具有性质，数列 、、、 不具有性质，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中定义判断即可得出结论； （2）推导出，设且，分析可知为数列中的项，根据不等式的性质可得出，可得出，，，，利用累乘法可证得结论成立； （3）分析可知当时，、、成等比数列；根据（1）可知满足题意；讨论当时，由（2）可知，，当时，根据题中定义以及不等式的性质推导出，结合等比数列的定义可知不成立，从而可得出的值. 【小问1详解】 解：对于数列、 、、 ，因为，， 所以，数列、 、、 不具有性质； 对于数列 、、、 ，当时，，， 所以，数列 、、、 不具有性质. 【小问2详解】 证明：因为， 因为，则为数列中的项，所以，， 设且，因为，则不是数列中的项， 所以，为数列中的项， 因为， 所以，，，，， 上述等式全部相乘可得，因此，. 【小问3详解】 解：当时，由（2）可知， 由题意可得，这与数列是等比数列矛盾； 当时，由（1）可知，数列、 、、具有性质； 当时，由（2）可知，，① 当时，，所以，不是数列中的项， 因为，， 所以，，，，，所以，， 因为，所以，，， 所以，，，所以，，② 由①②可得，这与数列不是等比数列矛盾，不合题意. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题的关键在于根据题中的定义结合不等式的性质进行推导，在求解第3问时，要充分利用题中定义结合不等式的基本性质进行推导，进而求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $