微专题02 二次函数最值问题通关专练-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

微专题02 二次函数最值问题通关专练 一、单选题 1．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．该抛物线的对称轴是直线 B．该抛物线经过原点 C．该抛物线的最小值为 D．当时，y随x增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象性质逐一解答． 【详解】解：该抛物线的对称轴是直线，故A正确； 当x=0时，，该抛物线经过原点，故B正确； ，当x=-1时，抛物线有最小值-2，故C正确； 该抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，y随x增大而减小，故D错误 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的特征、二次函数的最小值、对称轴等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 2．若二次函数有最大值，则“□”中可填的数是（　　） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】先设□处为a，然后根据二次函数的性质得，最后根据可得□中可填的数是． 【详解】解：设□处为a，由题意得二次函数为， ∵二次函数 有最大值， ∴二次函数的图象开口向下即， ∵， ∴a可以是， ∴□中可填的数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 3．代数式 的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将代数式配方，即可求解． 【详解】， ∵， ∴， ∴原式的最小值为4， 故选：C． 【点睛】本题考查了求解代数式的的最值问题，将代数配成完全平方式是解答本题的关键． 4．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（    ） A．1或0 B．1或 C．或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据二次函数，可以得到该函数的对称轴，再根据当时，函数的最大值与最小值的差为3和二次函数的性质，分类讨论列出方程，然后求解即可． 【详解】解：二次函数， ∴该函数的对称轴为直线，函数的最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴函数的最大值为2， ∵当时，函数的最大值与最小值的差为3， ∴当，即时，时，， ， 解得，（舍去）， 当，即时，时，， ， 解得（舍去），， 故选：C． 5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（        ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】将，代入，求出，利用海伦公式，得到，设 ，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：将，代入，得， ∴， ∴． 三角形的面积． 设 ， 它是a的二次函数，开口向下，当时，y取最大值1， 此时，面积S取最大值为． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解并掌握海伦公式，将面积的最大值转化为二次函数求最值． 6．若，则可取得的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】设x-1=2（y+1）=3（z+2）=k，把x，y，z用k的代数式表示，则转化为关于k的二次三项式，求其最小值． 【详解】解：设x-1=2（y+1）=3（z+2）=k， 则x2+2y2+z2=（k+1）2+2（-1）2+（-2）2 =k2-k+7， 当k=时，可取最小值， 故选B. 【点睛】本题考查了二次函数最值，难度适中，关键是设x-1=2（y+1）=3（z+2）=k． 7．设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数C1，C2图像上的点，当a≤x≤b时，总有﹣2≤y1﹣y2≤2恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论： ①函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数” ②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上是“逼近函数” ③0≤x≤1是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间” ④2≤x≤3是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间” 其中，正确的结论有多少个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”， 为“逼近区间”，逐项进行求解判断即可． 【详解】解：①设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1图像上的点， 则， ∵， ∴的值随着x的增大而减小， ∵， ∴当时，取得最大值为；当时，取得最小值为， ∴当时，， ∴函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数”，故①正确； ②设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x图像上的点， 则 ， ∵，对称轴为直线x＝， ∴当x＞时，的值随着x的增大而减小， 又∵3≤x≤5， ∴当时，取得最大值为1；当时，取得最小值为， ∴当3≤x≤5时，， ∴函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上不是“逼近函数”，故②错误； ③设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x图像上的点， 则 ， ∵，对称轴为直线x＝， ∴在上，当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为， ∴当时，，满足， ∴是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间”，故③正确； ④设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x图像上的点， 则 ， ∵，对称轴为直线x＝， ∴在上，当时，取得最大值为，当或时，取得最小值为， ∴当时，，不满足， ∴不是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间”，故④错误， 正确的有①③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值． 8．二次函数的最大值是，那么代数式的化简结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的最大值是， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数解析式和图象的性质，根据题意得到且是解题的关键． 9．在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点（其中为任意实数），则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了两条直线交点的求法，勾股定理的应用，二次函数的性质等，用含的式子表示出是解题的关键． 联立两个解析式构成方程组，得出点坐标，根据勾股定理得出，然后根据二次函数的性质可得有最小值． 【详解】由，解得 ∴， ∴， ∴时，有最小值． 故选：． 10．函数的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】化为顶点式，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】， 由于函数开口向上，因此函数有最小值，且最小值为-1． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的最值和顶点式的运算及顶点坐标求法． 11．已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3， ∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3）， ∵1>0，开口向上， ∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大， ∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15， ∴当x=a时，y=15， ∴2（a-1）2-3=15， 解得：a=4或a=-2（舍去）， 故a的值为4． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答． 12．已知二次函数（是常数，且）的最大值为，且该二次函数图像经过点，两点，则的值可能是(    ) A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，得到二次函数的对称轴为，图像开口向下；再由二次函数图像经过点，两点，得到，从而由二次函数增减性知到对称轴距离比到对称轴距离近，列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：二次函数（是常数，且）的最大值为， 当时有，即二次函数的对称轴为，图像开口向下， 二次函数图像经过点，两点， ，即， ，即， 当，即时，，解得； 当，即时，，解得； 四个选项中的数字，只有满足上述要求， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，难度较大，读懂题意，将条件准确转化为相应的代数式求解是解决问题的关键． 13．已知二次函数，当时，y的最大值为，则a的值为（     ） A．或6 B．0或6 C．或2 D．2或6 【答案】A 【分析】根据题意易得二次函数的对称轴为直线，分类讨论，根据二次函数的增减性可进行求解． 【详解】解: 由二次函数可知对称轴为直线，开口向下 ∴当时，y 有最大值1 ； ∵当时，y的最大值为 ∴当时，二次函数在上y 随x的增大而减小， 即当时，有最大值； 则有， 解得或（不符合题意，舍去)； 当时，二次函数在 上y随x的增大而增大, 即当时，有最大值； 则有， 解得:或（不符合题意，舍去)； 综上所述:a的值为或6； 故选：A 【点睛】本题主要考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数图像性质是解题的关键． 14．已知是二次函数且有最大值，则 A．2 B．4 C． D．0 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义可得m2-2=2，再根据二次函数有最大值，即-m＜0，解得m的之即可． 【详解】根据二次函数定义，得：m2-2=2， 解得m=±2， 又∵二次函数有最大值， ∴-m＜0， 当m=2时，y=-m xm2−2是二次函数． 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义和最值的知识，注意二次函数有最大值，二次函数的系数为负． 15．二次函数的图象如图，下列结论：①②③m为任意数数，则④3，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的开口方向得到，利用对称轴在y轴的右侧得到，利用抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点在与之间，所以当时，，则可对②判断；当时，y有最大值，所以，则可对③判断；把代入即可对④判断． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴的右侧， ∴a，b异号， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在与之间， ∴抛物线与x轴的一个交点在与之间， ∴当时，，即， 故②错误； ∵当时，y有最大值， ∴， ∴， 故③错误； ∵， ∴， 又， ∴，即， 故④正确． ∴正确的有：①④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．也考查了二次函数的性质．掌握二次函数的性质的解题的关键． 16．已知，是一次函数图象上的两点，若的最小值为，则a的值为（    ） A． B．9 C．或9 D．9或11 【答案】C 【分析】根据是一次函数图象上的点，得出，设，则，根据的最小值为，得出，求出，分两种情况求出a的值即可． 【详解】解：∵是一次函数图象上的点， ∴， 设，则， ∵的最小值为， ∴， 解得：， 当时，一次函数为， 把代入得：； 当时，一次函数为， 把代入得：； 综上分析可知，a的值为或9，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，解题的关键是根据二次函数的最值，求出b的值． 17．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，甲、乙两人研究h的取值，他们的判断是：甲：h＝﹣1；乙：h＝5．则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两人的判断合在一起也不正确 B．甲、乙两人的判断合在一起正确 C．甲的判断正确，乙的判断不正确 D．甲的判断不正确，乙的判断正确 【答案】B 【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1，x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5；若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可． 【详解】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1＝5， 解得：h＝﹣1或h＝3（舍）； 若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1＝5， 解得：h＝5或h＝1（舍）． 当1＜h＜3时，则x＝h时，y取得最小值1，不符合题意； 综上，h的值为﹣1或5， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 18．二次函数的图像如图所示，则下列结论中不正确的是（  ）． A．图像开口向下 B．时，函数有最大值 C．方程的解是 D．时，函数y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、图像开口向下，选项正确，不符合题意； B、抛物线开口向下，对称轴为：，∴时，函数有最大值，选项正确，不符合题意； C、图像与轴交于，根据抛物线的对称性，可知，图像与轴的另一个交点为：， ∴方程的解是，选项错误，符合题意； D、时，函数y随x的增大而减小，选项正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质．熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键． 19．关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的最小值是（　　） A．-8 B．-5 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先根据得到的范围，再将所求式子变形，用根与系数关系把它表示成的代数式，最后根据k的范围得到所求代数式的最小值． 【详解】解：∵有两个实数根， ∴即， 整理得， 解得； ∵、是的两个实数根， ∴，， ， ， ， ， ∵1，关于k的二次函数开口向上， 又∵对称轴为k=-5，在对称轴的右侧关于k的二次函数随着k的增大而增大， 又∵， ∴时，的值最小为． 故选：C． 【点睛】本题考查元二次方程的根与判别式，利用根与系数关系，将代数式转化为二次函数，利用函数增减性求代数式的最小值是解题关键． 20．设，且函数与有相同的最小值u；函数与有相同的最大值v；则的值（　　） A．必为正数 B．必为负数 C．必为0 D．符号不能确定 【答案】C 【分析】本题给出四个函数的解析式及两条重要信息 与 有相同的最小值；与 有相同的最大值v，将函数化为顶点式，再根据条件列出等式即可求解此题． 【详解】∵， ， 则，得① ∵， ∴， 又∵； 则， 得，② ∵， ∴， ∴， ∴得，， 解得或 (舍去)， 当时， ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，难度较大，解题的关键是将函数的标准形式化为顶点形式． 二、填空题 21．函数y＝x2﹣5的最小值是 ． 【答案】-5 【分析】由x2≥0可得x=0时，函数值最小． 【详解】解：∵x2≥0， ∴x=0时，函数值最小为-5． 故答案为：-5． 【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数性质，掌握求二次函数最值的方法． 22．二次函数 的对称轴为x=1，若关于x的一元二次方程 （c为实数），在﹣1≤x≤4范围内有解，则c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由对称轴为x=1求得b的值，然后结合函数与方程间的关系求得c的取值范围． 【详解】解：∵函数的对称轴为x=1， ∴b=-2， ∴二次函数的解析式为y=x2-2x， 当x=-1时，y=3，当x=1时，y=-1，当x=4时，y=8， ∵函数图象开口向上， ∴当-1≤x≤4时，y的取值范围为-1≤y≤8， ∵关于x的一元二次方程x2+bx-c=0（c为实数）在-1≤x≤4的范围内有解， ∴-1≤c≤8， 故答案为：-1≤c≤8． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 23．已知二次函数，当时，函数y的最大值为 ． 【答案】5 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是：， ∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， ∴函数y的最大值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 24．如图，是等边三角形，，点为边上的动点，，交于点，线段的最大值为 ． 【答案】/0.75 【分析】设根据等边三角形的性质得到，于是得到，根据已知条件得到，等量代换得到，推出，由相似三角形的性质得到，从而得出，再求y的最大值即可得到结论． 【详解】设 ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴, 即 ∵，且， ∴当时，y有最大值为， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，求二次函数的解析式及求其最值，证得是解题的关键． 25．若实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由a+b2=2得出b2=2-a，代入a2+5b2得出a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10，再利用配方法化成a2+5b2=（a-）2+，即可求出其最小值． 【详解】解：∵a+b2=2， ∴b2=2-a≥0， ∴a≤2， ∴a2+5b2=a2+5（2-a）=a2-5a+10=（a-）2+， 当a=2时，代入， 可得：a2+5b2的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据题意得出a2+5b2=（a-）2+是解题的关键． 26．已知实数、满足，则代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据，即可求解． 【详解】∵， ∴，， 则 ∵ ∴当时取得最小值，最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握配方法的应用和非负数的性质. 27．抛物线y＝﹣x2+4x+1的最大值为 ． 【答案】5 【分析】将抛物线的一般式化为顶点式，进而求得最大值． 【详解】∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5， ∴a=-1<0， ∴抛物线y＝﹣x2+4x+1的最大值为5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，化为顶点式是解题关键． 28．如图，等边三角形的边长为16，动点从点出发沿运动到点，连接，作交于点．动点从点运动到点时，点的运动路径长为 ．    【答案】 【分析】 本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质；设，，由，得到关于的函数关系式，即可求出的最大值，从而求出运动路径长． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ， 设，， ， ：：， ， ：：， 即 当时，有最大值， 当运动到中点时，最大是， 当从中点运动到时，又回到， 点的运动路径长为． 故答案为：． 29．二次函数的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 23 7 【分析】已知函数y=-x2+6x+14的标准式，将其化为顶点式为y=-（x-3）2+23，考虑0≤x≤7，即可求解此题． 【详解】解：将化为两点式为y=-（x-3）2+23，0≤x≤7， ∵-1＜0， ∴开口向下， ∴当x=3时，有最大值：ymax=23， 当x=7时，ymin=7． 故答案为：23，7． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．此题要注意x的取值范围，在0≤x≤7范围内求解. 30．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离不大于3，则n的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据点P到y轴的距离不大于3，得到，根据二次函数的性质，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∵点P到y轴的距离不大于3， ∴， ∵，抛物线的对称轴为直线； ∴抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵， ∴当时，有最小值：；当时，有最大值：； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查求二次函数的函数值的范围．熟练掌握点到轴的距离是点的横坐标的绝对值，以及二次函数的性质，是解题的关键． 31．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长量l/mm与温度t/℃之间是二次函数关系：l＝－t2－2t＋49.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃. 【答案】-1 【分析】根据温度越适合，植物高度增长量越大，可判断出增长量最大时的温度最适合这种植物生长，即求当l取最大值时，求t的值.用二次函数的开口方向和顶点坐标即可求最值. 【详解】∵温度越适合，植物高度增长量越大 ∴增长量最大时的温度最适合这种植物生长 由增长量l/mm与温度t/℃之间是二次函数关系：l＝－t2－2t＋49，其中﹣1＜0 故函数有最大值， 当时，l最大，故最适合这种植物生长的温度为﹣1℃ 故答案为﹣1. 【点睛】此题考查的是二次函数的应用和利用二次函数求最值问题. 32．函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决实际问题，如飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式形，则飞机着陆后滑行的最大距离是 m. 【答案】600 【分析】将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得； 【详解】解：∵， ∴时，取最大值 600； 即在飞机着陆滑行中，滑行的最大距离是， 故答案为：600 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的最大距离即为的最大值是解题的关键． 33．当x变化时,分式的最小值是 . 【答案】4 【分析】令分式y==6-，问题转化为考虑函数z=x2+2x+2的最小值，然后用配方法即可求解． 【详解】令y==6-， 问题转化为考虑函数z=x2+2x+2的最小值， ∵z=x2+2x+2=（x+1）2+1 ∴当x=-1时，zmin=1， ∴ymin=6-2=4， 即分式的最小值是：4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了二次函数的最值及分式的化简求值，难度一般，关键是把分式化简后转化为求函数z=x2+2x+2的最小值． 34．函数，当-3≤x≤3时，y的取值范围是 ． 【答案】-34≤y≤-9 【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解； 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴当x＞-2时，y随x的增大而减小，当x＜-2时，y随x的增大而增大， ∵-3≤x≤3， ∴当x=-2时，y取得最大值为-9， 当x=3时，取得最小值为-34（离对称轴越远，函数值越小）， ∴-3≤x≤3时，y的取值范围是-34≤y≤-9； 故答案为：-34≤y≤-9． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确把函数解析式化为顶点式得到二次函数的增减性是解题的关键． 35．如图，在平面直角坐标系中，点和点在y轴上，点M在x轴负半轴上，．当线段OM最长时，点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据的坐标得出线段的表达式，根据二次函数得出其最小值，即OM最长时，然后根据三角形的面积求出的长度，根据点M在x轴负半轴上，可得点的坐标． 【详解】解：∵点和点在y轴上，点在点的上方， ∴， ∴当时，取得最小值， 当最小时，则OM最长， ∵，即， ∴， ∵点M在x轴负半轴上， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 三、解答题 36．某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用． (1)请写出该宾馆每天的利润y（元）与每间客房涨价x（元）之间的函数关系式； (2)设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？ (3)请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？ 【答案】(1) (2)不是，每间客房定价为190元时，宾馆当天的最大利润为8450元； (3)大于60元而小于320时，宾馆就可获得利润． 【分析】(1)每间客房涨价x元，则每间客房的利润为（140-60+x），则函数关系式 ，化简即可； (2)把（1）的函数关系式用配方法化简可得，即可判断最大利润； (3)设y>0时解出x的范围． 【详解】（1）解：由题意得， 即； （2）8000元的利润不是为该天的最大利润，理由如下， ∵， ∴当x=50，即每间客房定价为190元时，宾馆当天的最大利润为8450元． （3）由>0，得<0，即<0， 解得-80<x<180，由题意可知当客房的定价为：大于60元而小于320时，宾馆就可获得利润． 【点睛】本题考查的是二次函数以及一元一次方程的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式和一元二次方程． 37．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，且，抛物线对称轴为直线．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点在线段上运动（点P与A，O不重合），轴，交直线于点M，交抛物线于点N． ①求线段的最大值； ②当点M为的三等分点时，直接写出M的坐标． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）根据抛物线对称轴为直线，求出，根据一元二次方程得出，即可求出，把代入得，求出，即可得出抛物线的表达式； （2）①先求出，求出直线函数表达式为，设，则，得出的函数解析式，将其化为顶点式，即可求解；②根据题意可得：，则， 然后进行分类讨论即可：或． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴， 解得：， 当时，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：①把代入得：， ∴， 设直线函数表达式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线函数表达式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大值为． ②根据题意可得：， ∴， ∵点M为的三等分点， ∴或， 当时， 解得：（舍去），， ∴， 当时， ， 解得：，（舍去）， ∴， 综上：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，解题的关键是掌握求二次函数解析式的方法和步骤，将其化为顶点式，会求二次函数最值，具有分类讨论的思想． 38．如图1，某公园在园区内搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上，其内侧形状可近似看作如图2所示的抛物线的一部分，为地面上拱门的两个端点，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，管理人员计划在地面上两处各竖立一根立柱，使立柱的最高点刚好触到抛物线拱门上，经测量，米，米，米．已知在一条直线上，，图中所有的点都在同一平面内． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的最高点到地面的距离． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值． （1）由题意可知，二次函数对称轴为，设二次函数顶点式为，再将两点坐标代入即可求出本题答案； （2）由（1）可知二次函数最值即为本题答案． 【详解】（1）解：∵为地面上拱门的两个端点，以所在直线为x轴，， ∴二次函数对称轴为， ∴设二次函数顶点式为， ∵，， ∴，， ∵， ∴和， 将和代入中得： ， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴二次函数顶点坐标为：， ∴抛物线的最高点P到地面的距离为：4． 39．已知． (1)求整式； (2)当整式取最大值时，求此时的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】（1）根据题意可得，再去括号，然后合并同类项，即可求解； （2）根据二次函数的性质可得当时，A取最大值7，再代入，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ， ∴当时，A取最大值7， ∴ 【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算，二次函数的性质，熟练掌握整式的加减混合运算法则，二次函数的性质是解题的关键． 40．分别在下列范围内求函数的最大值或最小值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)时，；时， 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解． （1）先求出抛物线的顶点坐标，然后根据二次函数的性质进行求解即可； （2）根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ 顶点坐标为， ∵在范围内，且， ∴ 当时y有最小值，， ∵是范围的中点，在两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值． （2）解：∵ ， ∴ 顶点坐标为， ∵不在范围内（如图所示），又因为函数的图象是抛物线的一部分，且当时，y随x的增大而增大， ∴ 当时，； 当时，． 41．已知二次函数，记在某个范围时，函数的最小值为，最大值为，令，回答以下问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的范围． (3)当时，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质及分类讨论思想成为解题的关键． （1）先求得抛物线的对称轴，再求得函数的最大值、最小值，然后代入计算即可； （2）由（1）可知满足题意，再根据二次函数的对称性可得满足题意，则满足题意；而显然不符合题意，据此即可解答； （3）分、、、四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为：， ∵， ∴当时，函数有最小值；当时，函数有最大值， ． （2）解：由（1）知，当时，，满足题意； 根据对称性可知：当时，，最小值，最大值，此时； 满足， 当时，，不满题意； 综上，a的取值范围为． （3）解：①时，即， 当， 当， ，解得：（不符，舍去）； ②当时，，， ，解得：； ③当时，此时， ， 当时，取到最小值， （舍去）或， ④当时．此时， ， 当时，取到最小值，解得：（舍去）或（舍去）． 综上所述：或． 42．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣5），与x轴交于点A和点B，其中点B的坐标为（5，0），抛物线对称轴为直线x＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜x＜5时，y的取值范围为 　 　； （3）点P为该二次函数在第四象限内图象上的一动点，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，设线段PQ长为l，求l的最大值，并写出此时点P的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）最大值为，点P坐标为（，）． 【分析】（1）先求出点A坐标，然后设抛物线交点式解析式，再将点C（0，5）代入求解． （2）抛物线开口向上，顶点为最低点，x=2时y取最小值，52＞20，x=5时y取最大值． （3）先求出BC所在直线解析式，然后用直线上点纵坐标-抛物线上对应点纵坐标． 【详解】解：（1）∵点B坐标为（5，0），抛物线对称轴为直线x=2， ∴点A坐标为（1，0）， 设抛物线解析式为y=a（x+1）（x5），将（0，5）代入解析式得5=a（0+1）（05）， 解得：a=1， ∴y=（x+1）（x5）=x24x5． （2）把x=2代入解析式可得y=222×45=9，9为函数最小值， ∵52＞20， ∴当x=5时，y=525×45=0， ∴9≤y＜0． 故答案为：9≤y＜0． （3）设BC所在直线为y=kx+b， 将（5，0），（0，5）代入可得： ， 解得， ∴y=x5， 设点P横坐标为m，则点P坐标为（m，m24m5），点Q坐标为（m，m5）， ∴l=（m5）（m24m5）=m2+5m， 当m=时，l有最大值，最大值为l=（）2+5×（）=． m=时，m24m5=（）24×（）5= ， 此时点P坐标为（，）． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，二次函数的性质，求一次函数的解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过数形结合求解． 43．在直角坐标系中，二次函数（a，b是常数，）的图象经过和两点． （1）求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）当，n（m，n是实数，）时，该函数对应的函数值分别为M，N．若，求证：． 【答案】（1）；；（2）；（3）见解析 【分析】（1）将点和代入解析式，待定系数法求解析式即可； （2）根据（1）的结论求得开口方向，对称轴，进而求得当时，的最大值和最小值，即求的取值范围； （3）根据题意列出的代数式，进而对进行化简，根据二次函数的性质求最值即可 【详解】（1）根据题意，将点和代入解析式，得， 解得 函数的表达式为： 顶点坐标为，对称轴为 （2） 对称轴为， 抛物线的开口向上，离对称轴越远的点所对应的函数值越大， 而 时，取得最大值为： 顶点坐标为，抛物线的开口向上， 时，取得最小值为 当时， （3）根据题意，，， 即 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，第三问中对进行化简，根据二次函数的性质求最值是解题的关键． 44．数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长的铁丝剪成两段． (1)把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于，应该怎么剪这根铁丝？ (2)若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？ 【答案】(1)应该把铁丝剪成和的两段 (2)最小值是 【分析】（1）设剪成的两段铁丝一段长为，另一段为，根据题意列出一元二次方程方程，解方程求解即可； （2）设剪成的两段铁丝一段长为，另一段为，先表示出圆的半径，再分别求得面积，根据二次函数的性质求得面积和的最小值即可求解． 【详解】（1）设剪成的两段铁丝一段长为，另一段为，由题意，得 解得：，， 当时， 当时， 答：应该把铁丝剪成和的两段． （2）设剪成的两段铁丝一段长为，另一段为， 则两圆的半径分别为：， 两圆的面积分别是： ， 两圆的面积之和： 化简整理，得： 当时，两圆面积之和达到最小值，最小值是（单位：） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，根据题意列出方程是解题的关键． 45．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若，， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标． 【答案】(1)①；②, (2) 【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标； ②求出直线的解析式，设点，则，表示出的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解； （2）由得，，抛物线的解析式为，可得顶点P的坐标为，点N的坐标为，作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点，得点的坐标为，点的坐标为，当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，此时，延长与直线相交于点H，则，在中，，，由勾股定理可得，即，解得，（舍去），即可得点P的坐标为． 【详解】（1）解：①若，，则抛物线， ∵抛物线与x轴相交于点， ∴，解得， ∴抛物线为， ∴顶点P的坐标为； 当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G， 设点，则， ∴， ∴当时，取得最大值1， 此时，点，则； （2）解：∵抛物线与x轴相交于点， ， 又， ，， ∴抛物线的解析式为． ∴， ∴顶点P的坐标为， ∵直线与抛物线相交于点N， ∴点N的坐标为， 作点P关于y轴的对称点，作点N关于x轴的对称点， 得点的坐标为，点的坐标为， 当满足条件的点E，F落在直线上时，取得最小值，此时． 延长与直线相交于点H，则． 在中，，， ∴， 解得，（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出函数解析式是解本题的关键． 46．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，设抛物线的顶点为．直线与抛物线交于，两点． (1)求，的值； (2)若点在线段上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，的延长线交抛物线于点，求线段的最大值． 【答案】(1)k＝4，b＝﹣2； (2)； 【分析】（1）由y＝x2﹣2bx﹣4＝（x﹣b）2﹣b2﹣4，可得点A坐标为（b，﹣b2﹣4），由y＝kx的对称性可得点B坐标为（﹣b，b2＋4），把x＝﹣b代入y＝kx得y＝﹣kb，联立方程x2﹣2bx﹣4＝kx化简得x2﹣（2b＋k）x﹣4＝0，根据xA＋xB＝2b＋k＝0，可得k＝﹣2b，将k＝﹣2b代入﹣kb＝b2＋4得2b2＝b2＋4，求解可得b的值，进而可求出k的值； （2）由（1）得y＝x2＋4x﹣4，y＝4x，设点P横坐标为m，则可表示出C点，D点坐标 则可用含m的代数式表示出，则可求出PD＋OC的最大值为． 【详解】（1）解：∵y＝x2﹣2bx﹣4＝（x﹣b）2﹣b2﹣4， ∴点A坐标为（b，﹣b2﹣4）， 由y＝kx的对称性可得点B坐标为（﹣b，b2＋4）， 把x＝﹣b代入y＝kx得y＝﹣kb， ∴﹣kb＝b2＋4， 联立方程x2﹣2bx﹣4＝kx化简得x2﹣（2b＋k）x﹣4＝0， ∵xA＋xB＝2b＋k＝0， ∴k＝﹣2b， 把k＝﹣2b代入﹣kb＝b2＋4得2b2＝b2＋4， 解得b＝﹣2或b＝2（舍）． ∴k＝4，b＝﹣2． （2）解：由（1）得y＝x2＋4x﹣4，y＝4x， 设点P横坐标为m，则点P坐标为（m，4m），点C坐标（m，0），点D坐标（m，m2＋4m﹣4）， ∴， ∴PD＋OC的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图象，二次函数的最值问题，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 47．已知抛物线y=x−（m−1）x+2m−1． (1)当m=0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； (2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)不在 (2)（2，5） 【分析】（1）根据m的值求出二次函数解析式，求出x=2时的二次函数的函数值并与4比较即可判断． （2）根据二次函数的解析式用m表示二次函数的顶点坐标，根据二次函数的最值确定当m=5时，二次函数的顶点移动到最高处，再代入计算即可求出此时二次函数的顶点坐标． 【详解】（1）解：当m=0时，抛物线的解析式为． ∴当x=2时，． ∵， ∴当m=0时，点（2，4）不在该抛物线上． （2）解：∵抛物线的解析式为y=x−（m−1）x+2m−1， ∴抛物线的顶点坐标为． ∴当m=5时，抛物线顶点的纵坐标取得最大值，即抛物线的顶点移动到最高处． ∴此时抛物线顶点坐标为（2，5）． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握这些知识点是解题关键． 48．某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低，根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75，在确保每棵果树平均产量不低于40的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为y，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．    (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当增种果树多少棵时，果园的总产量w（）最大？最大产量是多少？ 【答案】(1)（且x为整数） (2)50，6050 【分析】（1）由题意，设y与x之间的函数关系式为，将，，代入得，，解得，即，由，即，解得，即且x为整数； （2）由题意知，，根据二次函数的图象与性质求解，作答即可． 【详解】（1）解：由题意，设y与x之间的函数关系式为， 由题意知，当，，即， 将，，代入得，，解得， ∴， ∵，即，解得， ∴， ∴（）； （2）解：由题意知，， ∵， ∴当，最大，值为6050， ∴当增种50棵时，总产量最大，为6050． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 49．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线在第一象限的一个动点，点Q在线段上，且点Q始终在点P正下方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出二次函数的解析式． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设经过点B、C的直线解析式为，求出经过点B、C的直线解析式为，设点，点，求出，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴可设抛物线解析式为， 将点，代入，得， ∴解得， ∴抛物线解析式为：． （2）解：设经过点B、C的直线解析式为， 将点，代入，得， ∴解得， ∴经过点B、C的直线解析式为， 设点，点， ∴， ∴当时，有最大值2． 50．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标； （3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣5；（2）H（，﹣）；（3）P（，0），Q（0，﹣） 【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式； （2）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出； （3）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标． 【详解】（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5， （2）设H（t，t2﹣4t﹣5）， ∵CE∥x轴， ∴点E的纵坐标为﹣5， ∵E在抛物线上， ∴x2﹣4x﹣5＝﹣5， ∴x＝0（舍）或x＝4， ∴E（4，﹣5）， ∴CE＝4， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣5， ∴F（t，t﹣5）， ∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+， ∵CE∥x轴，HF∥y轴， ∴CE⊥HF， ∴S四边形CHEF＝CE•HF＝﹣2（t﹣）2+， ∴H（，﹣）； （3）如图2， ∵K为抛物线的顶点， ∴K（2，﹣9）， ∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9）， ∵M（4，m）在抛物线上， ∴M（4，﹣5）， ∴点M关于x轴的对称点M'（4，5）， ∴直线K'M'的解析式为y＝， ∴P（，0），Q（0，﹣）． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，四边形的面积的计算方法，对称性，解的关键是利用对称性找出点P，Q的位置． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 二次函数最值问题通关专练 一、单选题 1．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．该抛物线的对称轴是直线 B．该抛物线经过原点 C．该抛物线的最小值为 D．当时，y随x增大而减小 2．若二次函数有最大值，则“□”中可填的数是（　　） A．2 B．1 C．0 D． 3．代数式 的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为3，则a的值为（    ） A．1或0 B．1或 C．或 D．0或 5．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（        ） A． B． C． D．5 6．若，则可取得的最小值为（    ） A． B． C． D．7 7．设P(x，y1)，Q(x，y2)分别是函数C1，C2图像上的点，当a≤x≤b时，总有﹣2≤y1﹣y2≤2恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论： ①函数y＝2x﹣5，y＝3x﹣1在﹣6≤x≤﹣2上是“逼近函数” ②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤5上是“逼近函数” ③0≤x≤1是函数y＝x2﹣2，y＝2x2﹣x的“逼近区间” ④2≤x≤3是函数y＝2x﹣4，y＝x2﹣3x的“逼近区间” 其中，正确的结论有多少个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．二次函数的最大值是，那么代数式的化简结果是（ ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点（其中为任意实数），则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 10．函数的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D． 11．已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知二次函数（是常数，且）的最大值为，且该二次函数图像经过点，两点，则的值可能是(    ) A． B． C．0 D．1 13．已知二次函数，当时，y的最大值为，则a的值为（     ） A．或6 B．0或6 C．或2 D．2或6 14．已知是二次函数且有最大值，则 A．2 B．4 C． D．0 15．二次函数的图象如图，下列结论：①②③m为任意数数，则④3，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．已知，是一次函数图象上的两点，若的最小值为，则a的值为（    ） A． B．9 C．或9 D．9或11 17．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数y的最小值为5，甲、乙两人研究h的取值，他们的判断是：甲：h＝﹣1；乙：h＝5．则下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两人的判断合在一起也不正确 B．甲、乙两人的判断合在一起正确 C．甲的判断正确，乙的判断不正确 D．甲的判断不正确，乙的判断正确 18．二次函数的图像如图所示，则下列结论中不正确的是（  ）． A．图像开口向下 B．时，函数有最大值 C．方程的解是 D．时，函数y随x的增大而减小 19．关于的一元二次方程有两个实数根，，则代数式的最小值是（　　） A．-8 B．-5 C．1 D．2 20．设，且函数与有相同的最小值u；函数与有相同的最大值v；则的值（　　） A．必为正数 B．必为负数 C．必为0 D．符号不能确定 二、填空题 21．函数y＝x2﹣5的最小值是 ． 22．二次函数 的对称轴为x=1，若关于x的一元二次方程 （c为实数），在﹣1≤x≤4范围内有解，则c的取值范围为 ． 23．已知二次函数，当时，函数y的最大值为 ． 24．如图，是等边三角形，，点为边上的动点，，交于点，线段的最大值为 ． 25．若实数，满足，则的最小值为 ． 26．已知实数、满足，则代数式的最小值是 ． 27．抛物线y＝﹣x2+4x+1的最大值为 ． 28．如图，等边三角形的边长为16，动点从点出发沿运动到点，连接，作交于点．动点从点运动到点时，点的运动路径长为 ．    29．二次函数的最大值是 ，最小值是 ． 30．若点在二次函数的图象上，且点P到y轴的距离不大于3，则n的取值范围是 ． 31．科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长量l/mm与温度t/℃之间是二次函数关系：l＝－t2－2t＋49.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为 ℃. 32．函数是描述现实世界中变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决实际问题，如飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式形，则飞机着陆后滑行的最大距离是 m. 33．当x变化时,分式的最小值是 . 34．函数，当-3≤x≤3时，y的取值范围是 ． 35．如图，在平面直角坐标系中，点和点在y轴上，点M在x轴负半轴上，．当线段OM最长时，点M的坐标为 ． 三、解答题 36．某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用． (1)请写出该宾馆每天的利润y（元）与每间客房涨价x（元）之间的函数关系式； (2)设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？ (3)请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？ 37．如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，且，抛物线对称轴为直线．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点在线段上运动（点P与A，O不重合），轴，交直线于点M，交抛物线于点N． ①求线段的最大值； ②当点M为的三等分点时，直接写出M的坐标． 38．如图1，某公园在园区内搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上，其内侧形状可近似看作如图2所示的抛物线的一部分，为地面上拱门的两个端点，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，管理人员计划在地面上两处各竖立一根立柱，使立柱的最高点刚好触到抛物线拱门上，经测量，米，米，米．已知在一条直线上，，图中所有的点都在同一平面内． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的最高点到地面的距离． 39．已知． (1)求整式； (2)当整式取最大值时，求此时的值． 40．分别在下列范围内求函数的最大值或最小值． (1)； (2)． 41．已知二次函数，记在某个范围时，函数的最小值为，最大值为，令，回答以下问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的范围． (3)当时，求的值． 42．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣5），与x轴交于点A和点B，其中点B的坐标为（5，0），抛物线对称轴为直线x＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜x＜5时，y的取值范围为 　 　； （3）点P为该二次函数在第四象限内图象上的一动点，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，设线段PQ长为l，求l的最大值，并写出此时点P的坐标． 43．在直角坐标系中，二次函数（a，b是常数，）的图象经过和两点． （1）求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； （2）当时，求的取值范围； （3）当，n（m，n是实数，）时，该函数对应的函数值分别为M，N．若，求证：． 44．数学课外活动小组进行如下操作实验，把一根长的铁丝剪成两段． (1)把每段首尾相连各围成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于，应该怎么剪这根铁丝？ (2)若把剪成两段的铁丝围成两个圆，两圆面积之和的最小值是多少？ 45．已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为P，与x轴相交于点和点B． (1)若，， ①求点P的坐标； ②直线（m是常数，）与抛物线相交于点M，与相交于点G，当取得最大值时，求点M，G的坐标； (2)若，直线与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当的最小值为5时，直接写出顶点P的坐标． 46．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，设抛物线的顶点为．直线与抛物线交于，两点． (1)求，的值； (2)若点在线段上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，的延长线交抛物线于点，求线段的最大值． 47．已知抛物线y=x−（m−1）x+2m−1． (1)当m=0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； (2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标． 48．某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低，根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75，在确保每棵果树平均产量不低于40的前提下，设增种果树x（且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为y，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．    (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当增种果树多少棵时，果园的总产量w（）最大？最大产量是多少？ 49．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线在第一象限的一个动点，点Q在线段上，且点Q始终在点P正下方，求线段的最大值． 50．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标； （3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$