专题05 有理数乘除法【八大考点+知识串讲】-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题05 有理数乘除法 考点类型 知识一遍过 （一）有理数乘法 （1）有理数的乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数同0相乘，都得0. ③倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。【注意】0没有倒数。（数的倒数是） （2）确定乘积符号： ①若a＜0,b＞0,则ab < 0 ; ②若a＜0,b＜0,则ab > 0 ; ③若ab＞0,则a、b同号 ④若ab＜0,则a、b异号 ⑤若ab = 0,则a、b中至少有一个数为0. （3）多个有理数相乘的法则及规律： ①几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。 ②几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. [注意]在乘法计算时，遇到带分数，应先化为假分数；遇到小数，应先化成分数，再进行计算。 （二）有理数乘法运算定律 有理数的乘法运算律 ①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即。 ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即。 ③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 即。 （三）有理数除法 （1）有理数除法法则： ①除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。 ②两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 【注意】0除以任何不为0的数，都得0。 （2）除法步骤： ①将除号变为乘号。 ②将除数变为它的倒数。 ③按照乘法法则进行计算。 考点一遍过 考点1：有理数乘法——两个有理数 典例1：已知x，y均为有理数，现规定一种新运算“”，满足．例如：． (1)求的值． (2)求的值． 【变式1】与互为相反数，求的值． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 考点2：有理数乘法——多个有理数 典例2：计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】计算并写出必要的计算过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点3：有理数乘法——实际应用 典例3：某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 【变式1】某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题： (1)该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表盈利为正，亏损为负，单位：元． 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计 350 1900 4600 表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏，盈亏是多少． (2)该蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，月平均每月亏损2万元，月平均每月亏损1万元，月平均每月盈利5万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何． 【变式2】“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)，若9月30日的游客人数为1万人，进园的人均消费为 元． 日期(10月) 1 日 2日 3 日 4 日 5 日 6日 7 日 人数变化单位： 万人 (1)10月4日的游客人数为________万人； (2)七天内游客人数最多的是________；游客人数为________万人 (3)此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．请帮该景区计算“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是多少万元? 【变式3】出租车司机老王某天上午营运全是在东西走向的解放路上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：）如下：． (1)将第几名乘客送到目的地时，老王刚好回到上午出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地后，老王将回到出发地休息，若汽车耗油量为，这天上午老王耗油多少升？现油价7.5元/升，共花费多少油钱呢？ (3)出租车的收费如下：不超过3千米收费8元，超过3千米，超过的部分每千米收费2元，请计算王师傅今天上午纯收入多少元？ 考点4：有理数乘法——运算定律 典例4：利用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式1】用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【变式3】计算：（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 考点5：有理数除法——倒数概念 典例5：填空：（1）0是 的相反数；（2）的绝对值为 ；（3）3的倒数是 ． 【变式1】倒数等于它本身的数是 ，平方等于它本身的数是 ，绝对值等于它本身的数是 ，相反数等于它本身的数是 ． 【变式2】的倒数是（    ） A． B．－2.5 C． D． 【变式3】一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 考点6：有理数除法——基础运算 典例6：计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点7：有理数除法——实际应用 典例7：在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差—数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数是6，且除以5余数为4，则称这个数为“差一数”．例如：，，所以34是“差一数”；，，所以27不是“差一数”． (1)判断69和97是否为“差—数”？并说明理由； (2)求大于500且小于600的所有“差—数”． 【变式1】今年上林县的稻谷喜获丰收，老李家的一片地收割的稻谷用规定可装稻谷的袋子共装了12袋，经过称重，这12袋稻谷的重量（单位：）记录如下；（超出的记作“”） 、、、、、、、、、、、 (1)老李家的这片地一共收割了多少千克稻谷？ (2)平均每袋装了多少千克稻谷？ (3)若每千克稻谷卖元，求老李家这片地的稻谷一共可卖多少元？ 【变式2】“滴滴”司机沈师傅从上午8:00~9:10在东西方向的黄龙大道上营运，共连续运载十批乘客，若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运这十批乘客里程如下：（单位：千米） ，，，，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在距离第一批乘客出发地的东面还是西面？相距多少千米？ (2)上午8:00~9:10沈师傅开车的平均速度是多少？ 【变式3】小丽有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，回答下列问题： (1)从中取出3张卡片，如何抽取才能使这3张卡片上的数字先两个相乘，再除以第3个的结果最大？最大值是多少？ (2)从中取出3张卡片，如何抽取才能使这3张卡片上的数字先两个相除，再乘第3个的结果最小？最小值是多少？ 考点8：有理数乘除法——混合运算 典例8：计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算下面各题，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 【变式2】乘除计算： (1) (2) (3)； (4) 【变式3】计算： (1)×(−5) ÷ (−)×5 (2)2÷(−)×÷(−5) (3)(+5)÷(−4)×(−)÷(−3) (4)(−)÷(−3)×|−1|×(−2) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数乘除法 考点类型 知识一遍过 （一）有理数乘法 （1）有理数的乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 ②任何数同0相乘，都得0. ③倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。【注意】0没有倒数。（数的倒数是） （2）确定乘积符号： ①若a＜0,b＞0,则ab < 0 ; ②若a＜0,b＜0,则ab > 0 ; ③若ab＞0,则a、b同号 ④若ab＜0,则a、b异号 ⑤若ab = 0,则a、b中至少有一个数为0. （3）多个有理数相乘的法则及规律： ①几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。 ②几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0. [注意]在乘法计算时，遇到带分数，应先化为假分数；遇到小数，应先化成分数，再进行计算。 （二）有理数乘法运算定律 有理数的乘法运算律 ①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即。 ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 即。 ③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 即。 （三）有理数除法 （1）有理数除法法则： ①除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。 ②两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 【注意】0除以任何不为0的数，都得0。 （2）除法步骤： ①将除号变为乘号。 ②将除数变为它的倒数。 ③按照乘法法则进行计算。 考点一遍过 考点1：有理数乘法——两个有理数 典例1：已知x，y均为有理数，现规定一种新运算“”，满足．例如：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则依次计算即可． 【详解】（1）解： ， 即的值为； （2）解： ． 【点睛】本题考查新定义运算、去绝对值、有理数的混合运算等，解题的关键是掌握新定义的运算法则． 【变式1】与互为相反数，求的值． 【答案】-2 【分析】由题意得，再结合绝对值的非负性，可得，，，进而求得，，最后计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ 【点睛】本题主要考查的相反数的定义，绝对值的非负性，正确运用绝对值的非负性是解题的关键． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)13 【分析】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． （1）根据有理数乘法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式3】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)5，15 (2)， (3)+，，2 (4)0 【分析】（1）根据同号两数相乘的法则计算即可得出答案； （2）根据异号两数相乘的法则计算即可得出答案； （3）根据同号两数相乘的法则计算即可得出答案； （4）根据0乘以任何数都得0，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5，15； （2）解：， 故答案为：，； （3）解：， 故答案为：，，2； （4）解：， 故答案为：0． 【点睛】本题考查的是有理数乘法运算，有理数乘法法则：两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘，0乘以任何数都得0． 考点2：有理数乘法——多个有理数 典例2：计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)700 【分析】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法的运算法则． （1）将带分数化为假分数，根据有理数乘法的运算法则求解即可； （2）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算； （3）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)35 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式2】计算并写出必要的计算过程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)700 (2) (3) (4)3 【分析】本题考查的是乘法运算，分数的混合运算，掌握运算顺序以及简便运算方法是解本题的关键； （1）利用乘法的结合律进行简便运算即可； （2）先计算乘法运算，再计算加减运算即可； （3）利用乘法分配律的逆用进行简便运算即可； （4）先利用乘法的分配律进行乘法运算，再计算加减运算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)0 【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查了有理数乘法的简便运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 考点3：有理数乘法——实际应用 典例3：某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 【答案】(1)； (2)； (3)元． 【分析】（）根据表格求出月日的库存即可； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； 此题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，月日晚库存千克， 故答案为：； （2）解：根据题意得，元， ∴当天是赔钱， 规定赚钱为正，当天赚元， 故答案为：； （3）解：根据题意得，元， 答：月日到月日该个体户共赚元钱． 【变式1】某蛋糕店在某一时段的销售情况如下，请分别完成下列问题： (1)该蛋糕店在一周的销售中，盈亏情况如表盈利为正，亏损为负，单位：元． 星期 一 星期 二 星期 三 星期 四 星期 五 星期 六 星期 日 合计 350 1900 4600 表中星期四的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期四的盈亏数，并说明星期四是盈还是亏，盈亏是多少． (2)该蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，月平均每月亏损2万元，月平均每月亏损1万元，月平均每月盈利5万元，则该蛋糕店去年总的盈亏情况如何． 【答案】(1)盈利元 (2)盈利万元 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用以及正负数的实际意义： （1）根据合计可计算出星期四的数值，以此可判断出是盈还是亏； （2）根据题意可得到正负数，进行运算即可； 正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意可得： 星期四的数值为：， ∴星期四是盈利元； （2）解：蛋糕店去年月平均每月盈利3万元，即三个月盈利（万元）， 月平均每月亏损2万元，即三个月亏损（万元）， 月平均每月亏损1万元，即两个月亏损（万元）， 月平均每月盈利5万元，即四个月盈利（万元）， 则（万元）， 即该蛋糕店去年情况为盈利万元． 【变式2】“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)，若9月30日的游客人数为1万人，进园的人均消费为 元． 日期(10月) 1 日 2日 3 日 4 日 5 日 6日 7 日 人数变化单位： 万人 (1)10月4日的游客人数为________万人； (2)七天内游客人数最多的是________；游客人数为________万人 (3)此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．请帮该景区计算“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是多少万元? 【答案】(1) (2)月日； (3)765万元 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用， （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）分别求得每天的实际人数后即可求得答案； （3）结合（1）（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）10月1日游客人数为（万人）， 10月2日游客人数为（万人）， 10月3日游客人数为（万人）， 10月4日游客人数为（万人）， 即10月4日的游客人数为2.8万人， 故答案为：2.8； （2）10月5日游客人数为（万人）， 10月6日游客人数为（万人）， 10月7日游客人数为（万人）， 则七天内游客人数最多的是10月3日，游客人数为3.2万人， 故答案为：10月3日；3.2； （3） （万元）， 即该景区计算“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是918万元． 【变式3】出租车司机老王某天上午营运全是在东西走向的解放路上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午行车里程（单位：）如下：． (1)将第几名乘客送到目的地时，老王刚好回到上午出发点？ (2)将最后一名乘客送到目的地后，老王将回到出发地休息，若汽车耗油量为，这天上午老王耗油多少升？现油价7.5元/升，共花费多少油钱呢？ (3)出租车的收费如下：不超过3千米收费8元，超过3千米，超过的部分每千米收费2元，请计算王师傅今天上午纯收入多少元？ 【答案】(1)将第5名乘客送到目的地，老王刚好回到上午出发点 (2)这天上午老王耗油8.8升，共花费66元 (3)王师傅上午纯收入36元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．理解题意，正确的列出算式，是解题的关键． （1）分别求出送完每个乘客后的位置，即可得出结果； （2）求出老王行驶的总路程，乘以每千米的油耗，得到总油耗，再乘以单价，求出花费的油钱即可； （3）根据收费规则，列出算式进行求解即可． 【详解】（1）解：乘客1：； 乘客2：， 乘客3：， 乘客4：， 乘客5：， ∴将第5名乘客送到目的地，老王刚好回到上午出发点； （2）由（1）知将第5名乘客送到目的地，老王刚好回到上午出发点； ∴将送完第8名乘客，老王离出发地的距离为：， ∴总路程为：（千米）； ∴总油耗为：（升）； 总花费为：（元）； （3）（元）， （元）． 答：王师傅上午纯收入36元． 考点4：有理数乘法——运算定律 典例4：利用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了利用运算律进行有理数的简便运算等知识． （1）逆用分配律进行计算即可求解； （2）逆用分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，有理数乘法分配律： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可； （3）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解即可； （4）逆用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，有理数的加减计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减计算法则求解即可； （5）根据有理数乘法计算法则求解即可； （6）根据有理数乘法分配律进行求解即可； （7）先计算，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ． 【变式3】计算：（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解； （3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解； （4）根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点5：有理数除法——倒数概念 典例5：填空：（1）0是 的相反数；（2）的绝对值为 ；（3）3的倒数是 ． 【答案】 0 1.8 【分析】(1)根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数仍为0，即可解答； (2)根据求一个数的绝对值的方法，即可求得； (3)根据求一个数的倒数的方法，即可求得． 【详解】解：（1）0是0的相反数； （2）的绝对值为：； （3）3的倒数是． 故答案为：；；． 【点睛】此题考查了相反数的定义，求一个数的绝对值及倒数的方法，熟练掌握和运用相反数的定义，求一个数的绝对值及倒数的方法是解决本题的关键． 【变式1】倒数等于它本身的数是 ，平方等于它本身的数是 ，绝对值等于它本身的数是 ，相反数等于它本身的数是 ． 【答案】 ±1 1和0 非负数 0 【分析】根据倒数的定义、平方、绝对值的意义、相反数的定义，即可得到答案． 【详解】解：倒数等于它本身的数是， 平方等于它本身的数是1和0， 绝对值等于它本身的数是非负数， 相反数等于它本身的数是0． 故答案为：；1和0；非负数；0； 【点睛】本题考查了倒数的定义、平方、绝对值的意义、相反数的定义，解题的关键是掌握所学的知识进行解题． 【变式2】的倒数是（    ） A． B．－2.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值和倒数，掌握绝对值和倒数的定义成为解题的关键． 先求出，再根据互为倒数的两个数的积为1即可解答． 【详解】解：，的倒数是． 故选C． 【变式3】一个数的倒数是，则这个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：一个数的倒数是，所以这个数是， 故选：D． 考点6：有理数除法——基础运算 典例6：计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了有理数的除法的运算，解题关键在于熟知除以一个数等于乘以它的倒数． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即： （）， （1）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （2）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； （3）根据有理数乘法及有理数除法法则进行求解即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)13 (2) (3)0 (4) 【分析】此题是有理数的除法，主要考查了有理数除法的法则，进行计算时，先判断符号，再绝对值相除． （1）先判断出符号，再绝对值相除即可； （2）先判断出符号，再绝对值相除即可； （3）零除以任何一个不为零的数，商为零， （4）先判断出符号，再绝对值相除，既有分数，又有小数，一般把小数化为分数直接约分即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： （4）解：． 考点7：有理数除法——实际应用 典例7：在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差—数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数是6，且除以5余数为4，则称这个数为“差一数”．例如：，，所以34是“差一数”；，，所以27不是“差一数”． (1)判断69和97是否为“差—数”？并说明理由； (2)求大于500且小于600的所有“差—数”． 【答案】(1)是“差—数”，不是“差—数”， (2)524、559、594 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用以及新定义题的理解，灵活运用新定义的特征是解答本题的关键． （1）直接根据“差一数”的定义计算判断即可； （2）根据题意可得：所求数加1能被35整除，据此可先求出大于500且小于600的能被35整除的数，进一步即得结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴是“差—数”； ∵，， ∴不是“差—数”； （2）解：∵“差一数”这个数除以7余数为6，且除以5余数为4， ∴这个数加1能被35整除， ∵大于500且小于600的能被35整除的数为525、560、595， ∴大于500且小于600的所有“差一数”为524、559、5 【变式1】今年上林县的稻谷喜获丰收，老李家的一片地收割的稻谷用规定可装稻谷的袋子共装了12袋，经过称重，这12袋稻谷的重量（单位：）记录如下；（超出的记作“”） 、、、、、、、、、、、 (1)老李家的这片地一共收割了多少千克稻谷？ (2)平均每袋装了多少千克稻谷？ (3)若每千克稻谷卖元，求老李家这片地的稻谷一共可卖多少元？ 【答案】(1)老李家的这片地一共收割了546千克稻谷 (2)平均每袋装了千克稻谷 (3)老李家这片地的稻谷一共可卖1365元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的运算的应用： （1）利用有理数的加法运算法则及有理数混合运算法则即可求解； （2）利用有理数的除法运算法则即可求解； （3）利用有理数的乘法运算法则即可求解； 熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， （千克）， 答：老李家的这片地一共收割了546千克稻谷． （2）（千克）， 答：平均每袋装了千克稻谷． （3）（元）， 答：老李家这片地的稻谷一共可卖1365元． 【变式2】“滴滴”司机沈师傅从上午8:00~9:10在东西方向的黄龙大道上营运，共连续运载十批乘客，若规定向东为正，向西为负，沈师傅营运这十批乘客里程如下：（单位：千米） ，，，，，，，，， (1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅在距离第一批乘客出发地的东面还是西面？相距多少千米？ (2)上午8:00~9:10沈师傅开车的平均速度是多少？ 【答案】(1)出发地的东面的4千米处 (2)平均速度是48千米小时 【分析】（1）计算沈师傅行驶路程的代数和即可得解； （2）计算出每段行驶路程的绝对值的和后，再除以时间，即为沈师傅开车的平均速度． 【详解】（1）解：根据题意得： 千米， 所以沈师傅距离第一批乘客出发地的东面的4千米处； （2）解：根据题意得： 千米， 上午8:00~9:10，所用时间为（小时）， 千米/小时， 答：开车的平均速度是48千米小时． 【变式3】小丽有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，回答下列问题： (1)从中取出3张卡片，如何抽取才能使这3张卡片上的数字先两个相乘，再除以第3个的结果最大？最大值是多少？ (2)从中取出3张卡片，如何抽取才能使这3张卡片上的数字先两个相除，再乘第3个的结果最小？最小值是多少？ 【答案】(1)抽取，最大值为 (2)抽取，最小值为 【分析】（1）根据题意结合有理数的乘除运算法则可进行求解； （2）根据题意结合有理数的乘除运算可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可知抽取，则最大值为． （2）解：由题意可知抽取，最小值为． 【点睛】本题主要考查有理数的乘除运算的应用，解题的关键是理解题意． 考点8：有理数乘除法——混合运算 典例8：计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】计算下面各题，能简算的要简算． ① ② ③ ④ 【答案】①；②；③；④ 【分析】①按照去括号及加减运算法则计算即可； ②按照乘法运算法则计算即可； ③按照乘法分配律进行计算即可； ④按照先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的即可； 【详解】解：① ② ③ ④ 【点睛】本题考查混合运算及简便计算，准确理解法则是解决本题的关键． 【变式2】乘除计算： (1) (2) (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． （4） ． 【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，乘法分配律的应用，掌握“同级运算，按照从左至右的运算顺序进行计算与乘法分配律的应用”是解本题的关键． 【变式3】计算： (1)×(−5) ÷ (−)×5 (2)2÷(−)×÷(−5) (3)(+5)÷(−4)×(−)÷(−3) (4)(−)÷(−3)×|−1|×(−2) 【答案】(1)25 (2) (3) (4)-1 【分析】（1）原式先把除法转换为乘法后，再进行乘法运算即可； （2）原式先把除法转换为乘法后，再进行乘法运算即可； （3）原式先把除法转换为乘法后，再进行乘法运算即可； （4）原式先把除法转换为乘法后，再进行乘法运算即可． 【详解】（1）解： = = =25； （2）解： = =； （3）解： = = =； （4）解： = =． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$