专题1.1 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.1 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数全章知识结构图 【知识点2】二次函数有关概念 （1）定义：一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. （2）、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数.【知识点3】二次函数的解析式 （1）三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是（h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图像与x轴交点的横坐标 ． （2）待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 【知识点4】二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【知识点5】二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边； 当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 【知识点6】二次函数图象的变换 （1）图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： （2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 【知识点7】二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. （1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； （2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； （3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【知识点8】二次函数与不等式 （1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； （2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【知识点9】二次函数的应用 （1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. （2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. （3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. （4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】求二次函数的解析式 【例1】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【变式1】．（2024·陕西汉中·二模）二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于，两点，则二次函数的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】（23-24九年级下·四川广元·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为 ． 【题型2】二次函数的图象与性质 【例2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． (1)求抛物线表示的函数解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 【变式1】（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）已知、．抛物线与线段至少有一个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为 （用“”或“”进行连接） 【题型3】二次函数的图形变换（平移、折叠、旋转） 【例3】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图是二次函数 的大致图象．   (1)求该图象顶点的坐标； (2)该图象经过怎样的平移可以得到函数的图象？ (3)将该图象绕原点旋转 ，直接写出所得图象对应的表达式． 【变式1】（2019·浙江台州·一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 【变式2】（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 【题型4】二次函数的图像与各项系数之间的关系 【例4】（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点且则下列结论：① ，②，③，④，其中正确结论的序号是（　 　）    A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【变式1】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，与一次函数的图象交于，下列结论正确的有（    ） ①； ②； ③使不等式成立的x的取值范围是或； ④若关于x的一元二次方程有实数根，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（2024·山东青岛·二模）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ①；②；③； ④；⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 【题型5】二次函数与一元二次方程 【例5】（23-24九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)点、在函数图象上， （填、、）； (3)当时，x的取值范围是 ； (4)关于x的一元二次方程的解为 ； (5)求二次函数解析式． 【变式1】（2022·江苏无锡·二模）已知二次函数的图像与x轴分别交于A、B两点，图像的顶点为C，若，则a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是 【题型6】二次函数与不等式 【例6】（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【变式2】（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【题型7】实际问题与二次函数 【例7】（23-24九年级下·辽宁沈阳·开学考试）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地，2023年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)当______时，元． (2)设2023年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ (3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？ 【变式1】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 月． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【例2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 2、拓展延伸 【例1】（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（    ） ①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． ②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则． ③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】二次函数全章知识结构图 【知识点2】二次函数有关概念 （1）定义：一般地，形如(a、b、c是常数，)的函数叫做二次函数，自变量x的取值范围为全体实数. （2）、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项，、b分别称为二次项系数和一次项系数.【知识点3】二次函数的解析式 （1）三类解析式 一般式：(a、b、c是常数，)； 顶点式：()，二次函数的顶点坐标是（h，k)； 交点式：()，其中x1，x2是图像与x轴交点的横坐标 ． （2）待定系数法求解析式 ①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）； ②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）； ③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 【知识点4】二次函数的图象与性质 开口 方向 a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h 顶点 与 最值 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0（或k或)； a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0（或k或). 增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。 a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。 对称性 1.图象是轴对称图形； 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上； 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等. 【知识点5】二次函数的图象与各项系数之间的关系 (1)的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上；，抛物线开口向下. 的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大. (2)、b的符号共同决定对称轴的位置 当时，，对称轴为y轴； 当a、b同号时，，对称轴在y轴左边； 当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”） (3)c决定抛物线与轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. 【知识点6】二次函数图象的变换 （1）图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下： （2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式. 【知识点7】二次函数与一元二次方程 二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根. （1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； （2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； （3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 【知识点8】二次函数与不等式 （1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集； （2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集. 【知识点9】二次函数的应用 （1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内. （2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积. （3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题. （4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】求二次函数的解析式 【例1】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线经过，，三点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法．把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． 解：将，，代入抛物线中得： ， 解方程组得：， ∴抛物线的解析式为：． 【变式1】．（2024·陕西汉中·二模）二次函数（b、c为常数）的图象与x轴交于，两点，则二次函数的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 先用待定系数法求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可求解． 解：把，分别代入，得 ， 解得：， ∴ ∵ ∴当时，y有最小值，最小值为， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级下·四川广元·开学考试）在平面直角坐标系中，抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 解：， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 【题型2】二次函数的图象与性质 【例2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． (1)求抛物线表示的函数解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积 （1）分别把，代入函数中，可求得点，，将点D坐标代入函数，求出k的值，即可解答； （2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为，因此轴，，过点D作于点E，则，根据三角形的面积公式可求出；把代入函数中，求得，因此，再根据即可解答． 解：（1）把代入函数中，得， 解得， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵抛物线为常数）经过点， ∴，解得， ∴抛物线表示的函数解析式为； （2）∵抛物线的函数解析式为， ∴顶点P的坐标为， ∵， ∴轴，， 过点D作于点E，则， ∴； 把代入函数中，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 【变式1】（23-24九年级下·浙江杭州·开学考试）已知、．抛物线与线段至少有一个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线与线段至少有一个交点可知时，，当时，，从而可求的取值范围． 本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 解：根据题意可知，当时，， 即，解得， 当时，， 即， ， ， ， ， 综上分析，抛物线与线段至少有一个交点，则的取值范围是． 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·北京海淀·期中）若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系为 （用“”或“”进行连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】二次函数的图形变换（平移、折叠、旋转） 【例3】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图是二次函数 的大致图象．   (1)求该图象顶点的坐标； (2)该图象经过怎样的平移可以得到函数的图象？ (3)将该图象绕原点旋转 ，直接写出所得图象对应的表达式． 【答案】(1) (2)先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，图象的平移，旋转的性质，掌握二次函数顶点式的计算方法，图形平移的规律，二次函数图象绕等知识是解题的关键． （1）运用配方法将二次函数一般式变为顶点式即可求解； （2）运用函数图象的平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”即可求解； （3）二次函数绕原点旋转 ，则开口相反，顶点坐标变为原来坐标的相反数，由此即可求解． 解：（1）∵， ∴顶点坐标是． （2）∵， ∴先向左平移1个单位长度得到，再向上平移4个单位长度得到， ∴向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度． （3）∵，即，顶点坐标为， ∴该图象绕原点旋转 ，则，顶点坐标为， ∴旋转后所得图象对应的表达式为． 【变式1】（2019·浙江台州·一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3 【答案】A 【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答． 解：抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3， 即y＝﹣x2+2x+3， 故选A． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点． 【变式2】（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 【题型4】二次函数的图像与各项系数之间的关系 【例4】（23-24九年级上·广东惠州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点且则下列结论：① ，②，③，④，其中正确结论的序号是（　 　）    A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系、二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点以及抛物线与x轴的交点个数确定．根据抛物线开口向下得到，由对称轴位置得出，由抛物线与轴的交点在轴的正半轴得出，即可判断①；根据抛物线与的交点个数得出，即可判断②；由得出，代入函数解析式可得即可判断③；设两点的横坐标为、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可判断④． 解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ，故①错误，不符合题意； 抛物线与轴有两个交点， ， ，故②错误，不符合题意； 当时，， ，， ， ， ， ，故③正确，符合题意； 设两点的横坐标为、，则，， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有③④， 故选：D 【变式1】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，与一次函数的图象交于，下列结论正确的有（    ） ①； ②； ③使不等式成立的x的取值范围是或； ④若关于x的一元二次方程有实数根，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质和一元二次方程的根与系数，根据图像可知，结合对称轴得，即可判定①和②错误；进一步结合交点和图像位置关系可知其取值范围，判定③正确；结合一元二次方程的根与系数即可求得④正确． 解：由图像知， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，则， ∴，则①错误； ，则②错误； ∵一次函数的图象与抛物线交于，， ∴不等式成立的x的取值范围是或，则③正确； ∵一元二次方程有实数根， ∴，解得，则④正确； 故选：B． 【变式2】（2024·山东青岛·二模）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ①；②；③； ④；⑤将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；当时，，结合可判断④正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故⑤正确． 解：图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故①正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， ，故②错误； ， ， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即，故④正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    故⑤正确； 综上：正确的有①③④⑤， 故答案为：①③④⑤． 【题型5】二次函数与一元二次方程 【例5】（23-24九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 5 0 0 m … (1)二次函数图象的开口方向 ，顶点坐标是 ，m的值为 ； (2)点、在函数图象上， （填、、）； (3)当时，x的取值范围是 ； (4)关于x的一元二次方程的解为 ； (5)求二次函数解析式． 【答案】(1)向上；；5 (2) (3) (4)或4 (5) 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）由表格可见，函数的对称轴为x=1对称轴右侧，y随x的增大而增大，故可求出开口方向与顶点坐标，再根据对称性求出m ； （2）根据点Q离函数的对称轴近，即可判断y的大小； （3）根据表格的特点及二次函数的性质即可判断； （4）根据表格可得或4时，，即可求解； （5）根据待定系数法求解即可． 解：（1）由表格可见，函数的对称轴为，对称轴右侧，y随x的增大而增大，故抛物线开口向上， 顶点坐标为，根据函数的对称性m=5； 故答案为：向上；；5； （2）从P、Q的横坐标看，点Q离函数的对称轴近，故； 故答案为：； （3）从表格看，当时，x的取值范围是：， 故答案为：； （4）从表格看，关于x的一元二次方程的解为：或4， 故答案为：或4； （5）∵二次函数经过点，，，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【变式1】（2022·江苏无锡·二模）已知二次函数的图像与x轴分别交于A、B两点，图像的顶点为C，若，则a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，则可求得AB的长，且求得顶点C的坐标，根据抛物线的对称性，△ABC是等腰直角三角形，则顶点C到x轴的距离等于AB的一半，即可求得a的值． 解：令， 解得：，（）， 则， ∵， ∴顶点C的坐标为， ∵A、B两点关于抛物线的对称轴对称，且， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴顶点C到x轴的距离等于AB的一半， 即， 解得：a=3或a=4（舍去）， 经检验是方程的解且符合题意， 即a=3． 故选：A． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的性质等知识，根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半建立方程是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是 【答案】， 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键是掌握抛物线与轴的交点坐标的横坐标即为一元二次方程的解．图象法求一元二次方程的解即可． 解：根据图像可知，二次函数解析式对称轴为， 故可得函数与轴交于， 故方程的解是，， 故答案为：，． 【题型6】二次函数与不等式 【例6】（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用待定系数法求出二次函数的解析式，再化成顶点式即可求解； （）把代入得，，解方程得到，，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点式，二次函数的性质，利用是解题的关键． 解：（1）∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线为， ∴此抛物线的顶点坐标为； （2）把代入得，， 解得，， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线与轴交于点，与轴交于点，过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为，当为锐角三角形时，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，依据题意，当为锐角三角形时，则，进而计算可以得解．能根据锐角三角形的性质进行判断是解题的关键． 解：如图， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，得；当时，得：， ∴，， ∴， ∵过点作垂直于轴的直线与抛物线有两个交点，在抛物线对称轴右侧的交点记为， 当时，， 解得：或， ∴点， ∵为锐角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质及点的坐标特征，二次函数与不等式． （1）根据对称轴，即可求出a的值； （2）根据，列出关于m的不等式即可解得答案． 解：（1）二次函数的对称轴为直线， ， ， 故答案为：1； （2）点，都在二次函数的图象上， ， ， 即 ， 或． 故答案为： 或． 【题型7】实际问题与二次函数 【例7】（23-24九年级下·辽宁沈阳·开学考试）加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地，2023年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元． (1)当______时，元． (2)设2023年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ (3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？ 【答案】(1)500 (2)当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使最小 (3)当a为20时，2025年的总种植成本为28920元 【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值； （1）先求出当时，与的函数关系式，然后将代入求出相应的的值即可； （2）分别讨论两段对应的的最小值，然后比较大小即可解答本题； （3）根据2025年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可． 解：（1）当时，设与的函数关系式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即当时，与的函数关系式为， 当时，， 解得， 即当为时，是35元． 故答案为：500； （2）当时，， 当时，取得最小值42000，此时； 当时，， 当时，取得最小值43000，此时； ， 当种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，使最小． （3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为（元）， 则甲种蔬菜的种植成本为（元）， 由题意得：， 设， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投球问题，实际问题与二次函数，如图，实际是求的长，而已知，所以只需求出即可，就是点的横坐标． 解：如图， 把点纵坐标代入中得： (舍去负值)，即， 所以． 故选：C． 【变式2】（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 月． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益每千克售价每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份． 解：设月份出售时，每千克售价为元，每千克成本为元， 根据图像，设， ， ， ， 根据图像，设， ， ， ， ， ， ， ， 故当时，有最大值， 故答案为： 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为 (2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 解：（1） 设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2） 销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【点拨】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 【例2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”，其“倍值点”为．下列说法不正确的序号为 ． ①函数是“倍值函数”； ②函数的图象上的“倍值点”是和； ③若关于x的函数的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是； ④若关于x的函数的图象上存在唯一的“倍值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了新定义问题，二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值问题．根据“倍值函数”的定义，逐一判断即可． 解：①函数中，令，则，无解，故函数不是“倍值函数”，故①说法错误； ②函数中，令，则， 解得或， 经检验或都是原方程的解， 故函数的图象上的“倍值点”是和，故②说法正确； ③在中， 令，则， 整理得， ∵关于x的函数的图象上有两个“倍值点”， ∴且， 解得且，故③说法错误； ④在中， 令，则， 整理得， ∵该函数的图象上存在唯一的“倍值点”， ∴， 整理得， ∴对称轴为，此时n的最小值为， 根据题意分类讨论， ，解得； ，无解； ，解得或（舍去）， 综上，k的值为0或，故④说法错误； 故答案为：①③④． 2、拓展延伸 【例1】（2024·内蒙古·中考真题）下列说法中，正确的个数有（    ） ①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． ②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则． ③为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的图象和性质即可判断①；过点O作，垂足分别为M，N，连接，先证明四边形是矩形，再利用勾股定理，垂径定理求解即可判断②；先证明，进而得出点C的坐标，即可求解，进而判断③；先由一元二次方程根与系数的关系得出的值，再根据题意得出一元二次方程，求出a的值，进而求解即可判断④． 解：∵二次函数的图象经过两点， ∴当时，， ∵m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且， ∴，故①正确； 如图，过点O作，垂足分别为M，N，连接， ∴M、N分别为的中点，， ∵弦互相垂直， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，故②正确； 当点C在第一象限时，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∵点C是反比例函数的图象上一点， ∴； 当点C在第二象限时，同理可得 ∴； 综上，或，故③错误； 设矩形两边分别为m，n， ∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等， ∴， ∴， 解得（负舍）， ∴， ∵矩形对角线，故④正确； 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象和性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，反比例函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【例2】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 解：（1）抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）如图，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． （3）如图，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点，设且 、 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$