第1课 二次函数-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第1课 二次函数 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的标准形式 2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 3.会用待定系数法求二次函数的表达式. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次函数函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2.二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 知识点02 根据实际问题列二次函数表达式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，理解题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 知识点03 待定系数法求二次函数的表达式 用待定系数法求二次函数的表达式步骤: (1)设二次函数的表达式; (2) 根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。 (3)解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。 ( 能力拓展 )考点01 二次函数函数的概念 【典例1】已知是二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【即学即练1】下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2 C． D．y＝x2﹣x（x﹣1） 考点02 根据实际问题列二次函数表达式 【典例2】如图，将一根长30cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x2+30x B．y＝﹣x2+15x C．y＝x2﹣30x D．y＝﹣2x2+15 【即学即练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t（单位：秒），△APQ的面积为y．则y关于t的函数表达式为 　　. 考点03 待定系数法求二次函数的表达式 【典例3】已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝5，求这个二次函数的解析式． 【即学即练3】已知二次函数y＝ax2+c（a≠0），当x＝1时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝2，求该函数解析式． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1） C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2 2．下列函数：①y＝3﹣；②y＝；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．二次函数y＝x2+2x﹣3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 4．若关于x的函数y＝3xm﹣1﹣x+1是二次函数，则m的值为（　　） A．2 B．0 C．不等于0 D．3 5．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2 6．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（　　） A．y＝4000（1﹣x） B．y＝4000（1﹣x）2 C．y＝8000（1﹣x） D．y＝8000（1﹣x）2 7．函数是二次函数，则a的值是 　　． 8．边长为2的正方形，如果边长增加x，则面积S与x之间的函数关系式是S＝　　． 9．若二次函数y＝﹣ax2，当x＝2时，y＝；则当x＝﹣2时，y的值是　　． 10．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3．则这个二次函数的表达式是　　． 11．关于x的函数y＝（m+1）x2+（m﹣1）x+m，当m＝0时，它是　　函数；当m＝﹣1时，它是　　函数． 12．已知y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝1，则当y＝9时，x＝　　． 13．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0），当x＝﹣5时，y＝0；当x＝1时，y＝0，则函数的解析式为　　． 14．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3，求这个二次函数的解析式． 题组B 能力提升练 15．若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 16．如图，等边三角形ABC边长为20cm，点D在边AB上（不与A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E．当BD＝x cm时，△ADE的周长比△ABC的周长减少了y1cm面积减少了y2cm2，当x在一定范围内变化时，y1和y2都随x的变化而变化，则y1与x，y2与x满足的函数关系分别是（　　） A．反比例函数关系，一次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 17．若函数为关于x的二次函数，则m的值为 　　． 18．已知函数y＝（m2﹣3m）的图象是抛物线，则m＝　　． 19．已知函数y＝（|m|﹣1）x2+（m﹣1）x﹣m﹣1． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 20．已知y＝y1﹣y2，y1与x2成正比，y2与x+2成反比，当x＝1时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝7； （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x＝2时，求y的值． 题组C 培优拔尖练 21．下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 22．已知函数y＝（m+3）+（m+2）x+3（其中x≠0）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）当m为何值时，y是x的一次函数？ 23．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝4时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝﹣8；当x＝2时，y＝1；求这个二次函数的解析式． 24．已知y＝y1+y2．若y1与x2成正比例关系，y2与成反比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3；当x＝1时，y＝﹣3．求y与x的函数关系式？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课 二次函数 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的标准形式 2.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 3.会用待定系数法求二次函数的表达式. ( 知识精讲 ) 知识点01 二次函数函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2.二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 知识点02 根据实际问题列二次函数表达式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，理解题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 知识点03 待定系数法求二次函数的表达式 用待定系数法求二次函数的表达式步骤: (1)设二次函数的表达式; (2) 根据已知条件，得到关于待定系数的方程组。 (3)解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式。 ( 能力拓展 )考点01 二次函数函数的概念 【典例1】已知是二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1 【思路点拨 】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【解析 】解：由是二次函数，得 ， 解得m＝1， 故选：B． 【点睛 】本题考查了二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数． 【即学即练1】下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝x2 C． D．y＝x2﹣x（x﹣1） 【思路点拨 】直接利用二次函数解析式的一般形式y＝ax2+bx+c（a≠0）进行分析得出答案． 【解析 】解：A、y＝3x，是一次函数，故此选项不符合题意； B、y＝x2，是二次函数，故此选项符合题意； C、，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、y＝x2﹣x（x﹣1）＝x，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛 】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 考点02 根据实际问题列二次函数表达式 【典例2】如图，将一根长30cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x2+30x B．y＝﹣x2+15x C．y＝x2﹣30x D．y＝﹣2x2+15 【思路点拨 】根据铁丝的长度及弯成的长方形的一边长，可得出与该边相邻的一边长为（15﹣x）cm，利用长方形的面积公式，即可找出y与x之间的函数关系式． 【解析 】解：∵铁丝的长度为30cm，且弯成的长方形的一边长为x cm， ∴与该边相邻的一边长为＝（15﹣x）cm． 根据题意得：y＝x（15﹣x）， 即y＝﹣x2+15x． 故选：B． 【点睛 】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 【即学即练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动．P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t（单位：秒），△APQ的面积为y．则y关于t的函数表达式为 　y＝﹣t2+5t（0≤t≤5）　. 【思路点拨 】利用时间＝路程÷速度，可求出点P，Q到达终点的时间，当运动时间为t秒时，AP＝t，AQ＝10﹣2t，利用三角形的面积公式，即可得出y关于t的函数表达式． 【解析 】解：∵10÷2＝5（秒），5÷1＝5（秒）， ∴点P，Q同时到达终点． 当运动时间为t秒时，AP＝t，BQ＝2t，AQ＝AB﹣BQ＝10﹣2t， ∴y＝AP•AQ， ∴y＝t•（10﹣2t）， 即y＝﹣t2+5t（0≤t≤5）． 故答案为：y＝﹣t2+5t（0≤t≤5）． 【点睛 】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于t的函数表达式是解题的关键． 考点03 待定系数法求二次函数的表达式 【典例3】已知二次函数y＝x2+bx+c，当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝5，求这个二次函数的解析式． 【思路点拨 】把2组对应值分别代入y＝x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可． 【解析 】解：根据题意得，解得， 所以二次函数的解析式为y＝x2+2x+2． 【点睛 】本题考查了待定系数法求二次函数解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【即学即练3】已知二次函数y＝ax2+c（a≠0），当x＝1时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝2，求该函数解析式． 【思路点拨 】利用待定系数法求二次函数解析式解答即可． 【解析 】解：∵x＝1时，y＝﹣1，x＝2时，y＝2， ∴， 解得． 故函数解析式为y＝x2﹣2． 【点睛 】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1） C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2 【思路点拨 】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论． 【解析 】解：A、当a＝0时，y＝bx+c不是二次函数； B、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x是二次函数； C、y＝不是二次函数； D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1为一次函数． 故选：B． 【点睛 】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 2．下列函数：①y＝3﹣；②y＝；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨 】利用二次函数定义进行分析即可． 【解析 】解：①y＝3﹣；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个， 故选：C． 【点睛 】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的左右两边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 3．二次函数y＝x2+2x﹣3的一次项系数是（　　） A．1 B．2 C．﹣2 D．3 【思路点拨 】先找出多项式中的一次项，根据系数的定义即可解答． 【解析 】解：多项式y＝x2+2x﹣3的一次项为2x，其系数为2． 故选：B． 【点睛 】本题主要考查了二次函数的定义，求多项式中某项的系数，掌握多项式中的项的定义和系数的定义是解题关键． 4．若关于x的函数y＝3xm﹣1﹣x+1是二次函数，则m的值为（　　） A．2 B．0 C．不等于0 D．3 【思路点拨 】形如y＝a2x+bx+c（a≠0）的函数是二次函数，根据定义解答即可． 【解析 】解：∵函数y＝3xm﹣1﹣x+1是二次函数， ∴m﹣1＝2， 解得m＝3， 故选：D． 【点睛 】此题考查了二次函数的定义，熟记定义是解此题的关键． 5．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（　　） A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2 【思路点拨 】设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有y人患了这种传染病，即可得出y与x的函数关系式． 【解析 】解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2． 故选：A． 【点睛 】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出传染人数是解题关键． 6．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（　　） A．y＝4000（1﹣x） B．y＝4000（1﹣x）2 C．y＝8000（1﹣x） D．y＝8000（1﹣x）2 【思路点拨 】根据两次降价后的价格等于原价乘以（1﹣每次降价的百分率）2，列出函数关系式，即可求解． 【解析 】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是y＝4000（1﹣x）2． 故选：B． 【点睛 】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 7．函数是二次函数，则a的值是 　﹣1　． 【思路点拨 】根据二次函数的定义列出a﹣2≠0，且a2﹣a＝2，进而求得答案． 【解析 】解：∵函数y＝（a−2）是二次函数， ∴a﹣2≠0，且a2﹣a＝2， ∴a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛 】本题主要考查二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题的关键． 8．边长为2的正方形，如果边长增加x，则面积S与x之间的函数关系式是S＝　x2+4x+4　． 【思路点拨 】依据新正方形的面积＝新边长2，即可求解． 【解析 】解：新正方形的边长是x+2，则面积S＝（x+2）2＝x2+4x+4． 【点睛 】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 9．若二次函数y＝﹣ax2，当x＝2时，y＝；则当x＝﹣2时，y的值是　　． 【思路点拨 】根据题意把当x＝2时，y＝代入二次函数y＝﹣ax2求a的值，然后再把x＝﹣2代入函数解析式求y值． 【解析 】解：∵当x＝2时，y＝， ∴﹣4a＝， 解得，a＝﹣． ∴y＝x2 ∴当x＝﹣2时，y＝． 【点睛 】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，反过来，给出了x的值再求y，是比较常见的题目． 10．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3．则这个二次函数的表达式是　y＝﹣x2+2x+3　． 【思路点拨 】根据当x＝2时，y＝3，直接代入函数解析式，得出b的值，即可得出答案． 【解析 】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3， ∴3＝﹣22+2b+3， 解得：b＝2， ∴这个二次函数的表达式是：y＝﹣x2+2x+3． 故答案为：y＝﹣x2+2x+3． 【点睛 】此题主要考查了代数式求值，得出b的值是解题关键． 11．关于x的函数y＝（m+1）x2+（m﹣1）x+m，当m＝0时，它是　二次　函数；当m＝﹣1时，它是　一次　函数． 【思路点拨 】把m＝0，m＝﹣1分别代入函数关系式，再根据函数的定义来判断． 【解析 】解：当m＝0时，函数解析式变化成y＝x2﹣x，是一个二次函数； 当m＝﹣1时，函数变化成y＝﹣2x﹣1，是一次函数． 【点睛 】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式． 12．已知y与x2成正比例，且当x＝2时，y＝1，则当y＝9时，x＝　±6　． 【思路点拨 】本题可先根据“当x＝2时，y＝1”来确定二次函数的解析式，然后将y＝9代入抛物线中，求出x的值． 【解析 】解：根据题意得，设y＝kx2，因为当x＝2时，y＝1，所以4k＝1，得k＝， 所以当y＝9时，x2＝9，得：x＝±6． 【点睛 】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法． 13．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0），当x＝﹣5时，y＝0；当x＝1时，y＝0，则函数的解析式为　y＝x2+4x﹣5　． 【思路点拨 】设交点式y＝a（x+5）（x﹣1），展开得到y＝ax2+4ax﹣5a，所以4a＝4，然后求出a即可得到抛物线解析式． 【解析 】解：设抛物线解析式为y＝a（x+5）（x﹣1）， 所以y＝ax2+4ax﹣5a， 所以4a＝4，解得a＝1， 所以抛物线解析式为y＝x2+4x﹣5． 故答案为y＝x2+4x﹣5． 【点睛 】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 14．已知二次函数y＝﹣x2+bx+3，当x＝2时，y＝3，求这个二次函数的解析式． 【思路点拨 】把x＝2，y＝3代入y＝﹣x2+bx+3，可求出b的值，即可求出二次函数的解析式． 【解析 】解：把x＝2，y＝3代入y＝﹣x2+bx+3， ∴3＝﹣22+2b+3， ∴b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+3． 【点睛 】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是求出b的值． 题组B 能力提升练 15．若函数y＝mx（x﹣1）﹣x2是关于x的二次函数，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1 【思路点拨 】根据二次函数的定义解答即可． 【解析 】解：∵y＝mx（x﹣1）﹣x2＝mx2﹣mx﹣x2＝（m﹣1）x2﹣mx是关于x的二次函数， ∴m﹣1≠0， ∴m≠1， 故选：C． 【点睛 】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数． 16．如图，等边三角形ABC边长为20cm，点D在边AB上（不与A，B重合），过点D作DE∥BC交AC于点E．当BD＝x cm时，△ADE的周长比△ABC的周长减少了y1cm面积减少了y2cm2，当x在一定范围内变化时，y1和y2都随x的变化而变化，则y1与x，y2与x满足的函数关系分别是（　　） A．反比例函数关系，一次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系 【思路点拨 】求出y1与x，y2与x满足的函数关系式，由一次函数定义，二次函数定义，即可判断． 【解析 】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∵DB＝x， ∴AD＝AB﹣BD＝（20﹣x）cm， ∴△ADE周长＝3AD＝3（20﹣x）cm， ∵△ABC的周长＝3AB＝60cm， ∴y1＝60﹣3（20﹣x）﹣60＝3x， ∵△ADE的面积＝AD2＝（20﹣x）2，△ABC的面积＝AB2＝×202， ∴y2＝×202﹣（20﹣x）2＝﹣x2+10x， ∴y1与x，y2与x满足的函数关系分一次函数关系，二次函数关系． 故选：D． 【点睛 】本题考查等边三角形的判定和性质，一次函数定义，二次函数定义，关键是求出y1与x，y2与x满足的函数关系式，掌握一次函数定义，二次函数定义． 17．若函数为关于x的二次函数，则m的值为 　2　． 【思路点拨 】首先根据二次函数的定义得m2﹣1≠0且m2﹣m＝2，由此解出m即可． 【解析 】解：∵函数为关于x的二次函数， ∴m2﹣1≠0且m2﹣m＝2， 由m2﹣1≠0，解得：m≠±1， 由m2﹣m＝2，解得：m＝﹣1或m＝2， 综上所述：m的值为2． 故答案为：2． 【点睛 】此题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 18．已知函数y＝（m2﹣3m）的图象是抛物线，则m＝　﹣1　． 【思路点拨 】根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案． 【解析 】解：由函数y＝（m2﹣3m）的图象是抛物线，得 ， 解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛 】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，注意二次项的系数不等于零是解题关键． 19．已知函数y＝（|m|﹣1）x2+（m﹣1）x﹣m﹣1． （1）若这个函数是关于x的一次函数，求m的值． （2）若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围． 【思路点拨 】（1）根据一次函数的定义可得：|m|﹣1＝0且m﹣1≠0，然后进行计算即可解答； （2）根据二次函数的定义可得：|m|﹣1≠0，然后进行计算即可解答． 【解析 】解：（1）由题意得：|m|﹣1＝0且m﹣1≠0， 解得：m＝±1且m≠1， ∴m＝﹣1， ∴当m＝﹣1时，这个函数是关于x的一次函数； （2）由题意得：|m|﹣1≠0， 解得：m≠±1， ∴当m≠±1，这个函数是关于x的二次函数． 【点睛 】本题考查了二次函数的定义，一次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，一次函数的定义是解题的关键． 20．已知y＝y1﹣y2，y1与x2成正比，y2与x+2成反比，当x＝1时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝7； （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x＝2时，求y的值． 【思路点拨 】（1）根据y1与x2成正比，y2与x+2成反比，可设y1＝ax2，y2＝，又y＝y1﹣y2，得到y关于x的函数关系式，再进一步代入x，y的值得到方程组，从而求得函数关系式； （2）将x＝代入函数解析式求得函数值即可． 【解析 】解：（1）根据题意，y1＝ax2，y2＝， 又y＝y1﹣y2，则y＝ax2﹣， 又当x＝1时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝7；． 得， 解得． ∴y关于x的函数解析式为：y＝x2+． （2）当x＝2时，y＝4+＝； 【点睛 】此题首先根据题意分别建立y1与x，y2与x的函数关系式，再进一步得到y与x之间的函数关系式，然后代入得到关于a，b的方程组，从而求解． 题组C 培优拔尖练 21．下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润y（元）与每件进价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【思路点拨 】①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【解析 】解：①，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； ②y＝2π×5x＝10πx，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； ③y＝（x﹣80）（100﹣2x）＝100x﹣2x2﹣8000+160x＝﹣2x2+260x﹣8000，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 【点睛 】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． 22．已知函数y＝（m+3）+（m+2）x+3（其中x≠0）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）当m为何值时，y是x的一次函数？ 【思路点拨 】（1）根据二次函数的定义得到得m+3≠0且m2+m﹣4＝2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当m+3＝0时，y是x的一次函数；当m2+m﹣4＝0且m+2≠0时，y是x的一次函数；当m2+m﹣4＝1且m+3+m+2≠0时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【解析 】解：（1）根据题意得m+3≠0且m2+m﹣4＝2，解得m＝2， 即当m为2时，y是x的二次函数； （2）当m+3＝0时，即m＝﹣3时，y是x的一次函数； 当m2+m﹣4＝0且m+2≠0时，y是x的一次函数，解得m＝； 当m2+m﹣4＝1且m+3+m+2≠0时，y是x的一次函数，解得m＝； 即当m为﹣3或或时，y是x的一次函数． 【点睛 】本考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义． 23．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝4时，y＝3；当x＝﹣1时，y＝﹣8；当x＝2时，y＝1；求这个二次函数的解析式． 【思路点拨 】把三组对应值分别代入y＝ax2+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到二次函数解析式． 【解析 】解：根据题意，将x＝4，y＝3；x＝﹣1，y＝﹣8；x＝2，y＝1代入y＝ax2+bx+c， 得：， 解得：， 故二次函数的解析式为：y＝﹣x2+x﹣． 【点睛 】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解 24．已知y＝y1+y2．若y1与x2成正比例关系，y2与成反比例关系，且当x＝﹣1时，y＝3；当x＝1时，y＝﹣3．求y与x的函数关系式？ 【思路点拨 】y2与成反比例关系，即y2与3x+2成正比例关系．分别设y1＝k1x2，y2＝k2（3x+2），并把y1、y2代入y＝y1+y2中，然后把所给两组数分别代入求出k1、k2，即可求出y与x的函数关系式． 【解析 】解：设y1＝k1x2，y2＝k2（3x+2）． ∵y＝y1+y2， ∴y＝k1x2+k2（3x+2）， 把x＝﹣1，y＝3；x＝1，y＝﹣3代入， 得， 解得． ∴y＝2x2﹣3x﹣2． 【点睛 】确定函数解析式的关键是正确理解图象上的点与函数解析式的关系． 27．关于x的函数y＝（a2+2a+3）x2+3ax+1，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数；丙说：此函数是不是二次函数与a的取值有关．你认为谁的说法正确？为什么？ 【思路点拨 】将原函数的二次项系数a2+2a+3配方得到（a+1）2+2，由非负项的特点可知（a+1）2≥0，即有a2+2a+3≥2≠0，到此相信你能判断出谁的说法正确了． 【解析 】解：乙的说法对．理由如下： 对a2+2a+3配方可得（a+1）2+2， 因为无论a取何值，（a+1）2≥0， 即有（a+1）2+2≥2， 所以a2+2a+3≥2≠0， 故无论a取何值，该函数一定是二次函数． 【点睛 】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$