第1章 有理数（复习课件）数学沪科版2024七年级上册

第1章 有理数 沪科版（2024）七年级数学上册 单元考点串讲 目录/CONTENTS 易错易混 典例剖析 考点透视 复习题 技巧总结 考点透视 考点透视 C D 典例剖析 －0.03 正整数 典例剖析 D C 典例剖析 A C 9 典例剖析 典例剖析 D －3.1 典例剖析 C 38 典例剖析 典例剖析 典例剖析 典例剖析 C D 典例剖析 D 1010 典例剖析 易错易混 1.对有理数的概念及分类要理解透彻，分类要做到不重不漏． 2.数轴上点的移动没有明确移动方向，需分类讨论． 3.把减法转化为加法时，忘记将减数变成其相反数，利用分配律计算时，易漏乘或弄错符号；进行有理数混合运算时，易弄错运算顺序和幂的运算符号而出错． 易错点一 对有理数的相关概念理解有误而出错 例 1.下列说法正确的是（ ） A.正数和负数统称为有理数 B.符号不同的两个数互为相反数 C.绝对值等于本身的数只有正数 D.互为倒数的两个数的乘积等于1 错解剖析： 对有理数的相关概念的辨析： 1.要扣住关键词，例如相反数的概念中“只有”两字是关键词，不能少，故B选项错误； 2.要扣住关键数，例如关键数0，在很多概念中不能少，故C选项错误. D 例 2 计算： 类型1 运算顺序不正确而出错例 正解： 原式=（-9）×（-3）×3-3 = 81-3 =78. 易错点二 有理数的运算中常见的错误 错解剖析:乘与除是同一级运算，在没有括号改变运算顺序时，必须按照从左到右的顺序依次计算. 类型2 运算律使用错误而出错 例 3 计算：（-12）÷[（+6）+（-3）]. 错解剖析：有理数的除法没有运算律，只有将除法转换成乘法才能运用乘法的运算律.若不能转化为乘法，则按常规运算顺序和法则计算. 正解：原式=（-12）÷3 =-4. 类型3不理解乘方中底数的括号的意义而出错 错解剖析：在幂的表示中，若底数是负数，则必须用括号括起来；若没有带括号，则负号不属于底数，而属于幂. 例 4 计算 易错点三 本章常见的漏解错误 类型1 数的正负性不确定而漏解 正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12. 因为|b|=7，所以b=7或b=-7. 当a=12，b=7时，a+b=19； 当a=-12，b=-7时，a+b=-19； 当a=12，b=-7时，a+b=5； 当a=-12，b=7时，a+b=-5. 故答案为 19 或-19 或5 或-5. 例 5 已知|a|=12，|b|=7，则 a+b= . 19 或-19 或5 或-5 类型2 数轴上点的位置不确定而漏解 正解：当与-3相距10个单位长度的点在-3的右侧时，-3+10=7； 当与-3相距10个单位长度的点在-3的左侧时，-3-10=-13. 故答案为 7 或-13. 错解剖析：在数轴上与-3相距10个单位长度的点有可能在-3的右侧，也有可能在-3的左侧.由于点的位置不确定，所以应分两种情况考虑. 例 6 在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是 . 7 或-13 例 7 某出租车上午从停车场出发，沿东西方向的大街行驶，到下午6时，行驶记录如下（规定向东记为正，向西记为例 7负，单位：km）：+10，-3，+4，+2，+8，+5，-2，-8，+12，-5，-7.（1）到下午6时，出租车在什么位置？ （2）若汽车每千米耗油0.06 L，则从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油多少升？ 正解： （2）| +10|+|-3|+|+4|+|+2|+|+8|+|+5|+|-2|+|-8|+|+12|+|-5|+|-7| =10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7= 66（km）， 66×0.06 =3.96（L）， 即从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油 3.96 L. 易错点四 建立有理数运算模型解决实际问题时列式错误 错解剖析：出租车的总里程与运动方向无关，而记录的数据中"+”和"-”表示运动的方向，所以不能直接用第（1）问的结果来计算第（2）问. 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 －27 －1 技巧总结 C 技巧总结 技巧总结 A 60 技巧总结 －9 技巧总结 C 109 技巧总结 技巧总结 1.判断正误： （1）有理数分为正数和负数. （ ） （2）-a一定表示负数. （ ） （3）-|-2|=2. （ ） （4）(-3)30＞0. （ ） √ × × × 复习题A组 2.报纸上常出现进出口贸易“顺差”和“逆差”，查一查资料，说一说它们的含义. 解：贸易顺差：当出口总额大于进口总额时，其差额称为贸易顺差；贸易逆差：当出口总额小于进口总额时，其差额称为贸易逆差. -6 · -4 · -1.5 · -0.5 · 0 · 1 · 2.5 · +7 · -6＜-4＜-1.5＜-0.5＜0＜1＜2.5＜+ 7. 解：如图所示. 3.将下列各数表示在数轴上，并从小到大用“＜”号把它们连接起来： -4，0，-1.5，1，-0.5，-6，+7，2.5. 解：（1）-（ + 0.16）＞ -｜-0.161｜. （2） -（-15）＝ 15 . 4.比较下列各组数的大小： （1）-(+0.16)与-|-0.161|； （2）-(-15)与15； （3）-0.333与 ； （4）|-9|与-|+9|. 解：（3）-0.333 > . （4） ｜-9｜> -｜+9｜. 解：如图所示，由绝对值的概念可知到原点距离等于6个长度单位的点表示的数 为±6. 5.（1）在数轴上到原点距离等于6个单位长度的点表示什么数？ 6 6 （2）求满足等式|x|=|-5|的x值. 解：由绝对值的概念知 x＝±5 . 解：（1）原式=-2 . （2）原式=-43 . （3）原式=-36 . （4）原式=-6 . 6.计算： （1）(-10)+8； （2）(-13)+(-30); （3）(-15)-21； （4）(-13)-(-7)； （5）25-(-25)； （6） ； （7）(-11)×12； （8）(-91)÷13； （9） （10）2.5÷(-5). 解：（5）原式=50 . （6）原式=1 . （7）原式=-132 . （8）原式=-7 . （9）原式= . （10）原式=-0.5 . 7.判断正误： （1）两个数的积是正数，这两个数都是正数.（ ） （2）负数的任何次方都是负数. （ ） × × 8.计算： （1）7.3-8.2+5.1-1.2； （2）15-[1-(-10-4)]； 解：（1）原式＝（7.3+5.1）-（8.2+1.2）＝12.4-9.4＝3. （2）原式＝ 15-（1+14）= 0. 解：原式＝ . （3） ； （4） ； 解：原式＝ ＝ . （5） ； 解（5）原式＝ （6） ； 解：原式＝ 解：（7）原式＝（-56）÷（-4）-10 = 4. （8）原式＝ -9-4-27-8 = -48. （7）(-56)÷(-12+8)+(-2)×5； （8）-32-(-2)2+(-3)3-23. 9.填空： （1）1天文单位约为 1.496 亿千米,1.496 亿用科学记数法表示应为 . （2）截至2022年底,我国5G用户达5.61 亿户,5.61 亿用科学记数法表示应为 . 1.4944×108 5.61 ×108 10.用四舍五入法对下列各数按要求取近似值： （1）860 400（精确到千位）； （2）92.598（精确到百分位）. 解：（1）860 400 = 8.60×105 . （2）92.598 ≈ 92.60 . 解：［（-2）-（-28）］÷4＝（-2+28）÷4＝26÷4＝6.5（小时）.　 答：6.5 小时后能降到所要求的温度. 11.某冷冻厂的一个冷库的温度是-2℃，现有一批食品需要在-28℃下冷藏，如果每时能降温4℃，问经过多长时间能降到所要求的温度？ 12、某数控机床在进行高精度加工时,要求环境温度范国是(23±0.5)℃。 问(1)土0.5是什么意思? (2)环境温度最高是多少?最低是多少? 解：（1）±0.5表示它的误差不超过 0.5 .　 解：（2）23+0.5＝23.5（℃），23-0.5＝22.5（℃）， 答：环境温度最高是23.5℃，最低是22.5℃. 13.学校开运动会选拔男仪仗队员.身高以175 cm为基准，高于基准记为正，低于基准记为负.现有参选队员5人，量得他们的身高后，分别记为-5 cm，-3 cm，-1 cm，2 cm，3 cm.如果实际选拔男仪仗队员的身高标准为173~177 cm（包括173 cm和177 cm），那么上述5人中有几人可入选？ 解：5名参选队员的身高分别为： 170 cm，172 cm，174 cm，177 cm，178 cm. 故5人中有2人可以入选. 1.若A1，A2分别是有理数x1，x2表示在数轴上对应的两点，我们就把x1，x2叫做A1，A2的一维坐标.一般地，称 |x2-x1|为点A1与点A2之间的距离.根据下列x1，x2的值，试求 |x2-x1|的值. 复习题B组 （1）x1=5，x2=2； （2）x1=2，x2=-5； （3）x1=6，x2=-3； （4）x1=-3，x2=-6. 解：（1）|x2-x1|=|2-5|=3. （2）|x2-x1|=|-5-2|=7. （3）|x2-x1|=|-3-6|=9. （4）|x2-x1|=|-6-(-3)|=3. 解：当n为偶数时，原式= ； 当n为奇数时，原式= . 2.n是正整数，求 的值. 3.计算： （1）1-2+3-4+5-6+…+99-100；（2）1-2+3-4+5-6+…+99-100+101； （3）1-2+3-4+5-6+…+(-1)n+1n（n为正整数）. 解：（1）原式= （-1）×50 = -50 .（2）原式= （-1）×50+101=51. 解：（3）当n为偶数时，原式=（-1）× = . 当n为奇数时，原式=（-1）× + n= . 有 理 数 有 理 数 有理数的相关概念及分类 1．在下列数：－eq \f(5,6)，＋1，－14,0,6.2，eq \f(1,3)中，属于整数的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中，错误的是(　　) A．－3.14既是负数、分数，也是有理数 B．0是非负数，也是非正数 C．有最小的正整数，没有最小的负整数 D．一个有理数，不是正数就是负数 3．若超出标准质量0.05 g记作＋0.05 g，则低于标准质量0.03 g记作 g. 4．(1)将下列各数填入相应的圈内： 2eq \f(1,2)，5,0,1.5，＋2，－3. (2)说出这两个圈的重叠部分表示的是什么数的集合： ． 相反数、绝对值及倒数的概念及相关运算 5．(柳州中考)－eq \f(1,5) 的绝对值是(　　) A．5 B．－5 C．－eq \f(1,5) D．eq \f(1,5) 6．(南充中考)若 eq \f(1,x)＝－4，则x的值是(　　) A．4 B．eq \f(1,4) C．－eq \f(1,4) D．－4 7．如图，数轴上表示数2的相反数的点是(　　) 　 A．点N B．点M C．点Q D．点P 8．在数－(－3)，0，(－3)2，|－9|，－24中，正数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．已知|a＋3|＋(b－2)2＝0，那么ab的值为 . 10．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求eq \f(a＋b,4m)＋2m2－3cd的值． 解：由题意，可得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝2，故m2＝4，原式＝0＋2×4－3×1＝5. 有理数的大小比较 11．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，在－a、b－a、a＋b、0中，最大的是(　　) A．－a B．0 C．a＋b D．b－a 12．在有理数－eq \f(22,7)，－3.1，－eq \f(19,4)，－|－eq \f(25,8)|中最大的是 . 有理数的运算及应用 13．下列运算结果为正数的是(　　) A．－42×5 B．－(－4)2×5 C．－|－42|×(－2)3 D．－(－42)÷(－1)3 14．欢欢发烧了，妈妈带她去看医生，结果测量出体温是39.2 ℃，用了退烧药后，以每10分钟下降0.1 ℃的速度退烧，则两个小时后欢欢的体温是 ℃. (3)－32×(－eq \f(1,3))2＋(eq \f(3,4)－eq \f(1,6)＋eq \f(3,8))÷(－eq \f(1,24))． 解：原式＝－24. 15．计算： (1)－6.5＋(－3.3)－(－2.5)－(＋4.7)； 解：原式＝－12； (2)(－4)2×(－2)÷[(－2)3－(－4)]； 解：原式＝8； 16．某电动车厂一周计划生产1400辆电动车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况(超产为正，减产为负，单位：辆)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 ＋5 －2 －4 ＋13 －10 ＋16 －9 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (2)该厂实行计件工资制，一周结算一次，每辆车60元，超额完成任务每辆再奖15元，少生产一辆倒扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 解：(1)根据题意得：星期一到星期日生产的辆数分别为205,198,196,213, 190,216,191，则产量最多的一天比产量最少的一天多生产216－190＝26(辆)； (2)根据题意得：一周总产量为205＋198＋196＋213＋190＋216＋191＝1409(辆)，∵1409＞1400，∴超额完成9辆，则该厂工人这一周的工资总额是1409×60＋9×15＝84540＋135＝84675(元)． 近似数与科学记数法 17．(锦州中考)近年来，我国5G发展取得明显成效，截至2020年2月底，全国建设开通5G基站达16.4万个，将数据16.4万用科学记数法表示为(　　) A．164×103 B．16.4×104 C．1.64×105 D．0.164×106 18．用四舍五入法得到的近似数3.052万，以下说法正确的是(　　) A．它精确到千位 B．它精确到0.001 C．它精确到万位 D．它精确到十位 规律探索题 19．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是(　　) A．38 B．52 C．66 D．74 20．观察下列一组等式：32－12＝8＝8×1,52－32＝16＝8×2,72－52＝24＝8×3,92－72＝32＝8×4，… 根据你所发现的规律，猜想20212－20192＝8× . 强化技巧1：简便计算题 1．简便计算： (1)－999eq \f(17,18)×9； 解：原式＝－8999eq \f(1,2)； (2)(eq \f(2,3)－eq \f(5,6)＋eq \f(1,12)－eq \f(7,8))×(－12)； 解：原式＝11eq \f(1,2)； (3)7eq \f(1,9)×(1eq \f(1,2)－1eq \f(1,8)＋3eq \f(1,4))×(－2eq \f(1,4))； 解：原式＝－58； (4)(eq \f(7,9)－eq \f(5,6)＋eq \f(5,18))×18＋3.95×6－1.45×6. 解：原式＝19. 2.利用运算律有时能进行简便计算． 例1　98×12＝(100－2)×12＝1200－24＝1176 例2　－16×233＋17×233＝(－16＋17)×233＝233 请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： (1)999×(－15)； (2)999×118eq \f(4,5)＋999×(－eq \f(1,5))－999×18eq \f(3,5). 解：(1)原式＝(1000－1)×(－15)＝1000×(－15)＋15＝－15000＋15＝－14985； (2)原式＝999×(118eq \f(4,5)－eq \f(1,5)－18eq \f(3,5))＝999×100＝99900. (3)－32÷3＋(eq \f(1,2)－eq \f(2,3))×12－(－1)2020； 解：原式＝－6； (4)－(－0.22＋eq \f(1,25))＋[23－32×(－1)6]÷eq \f(－32,4). 解：原式＝－eq \f(4,9). 强化技巧2：混合运算题 3．计算： (1)(－15)－18÷(－3)＋|－5|； 解：原式＝－4； (2)17－8÷(－2)2＋4×(－3)； 解：原式＝3； 强化技巧3：有理数的有关概念的综合 4．已知a与2b互为倒数，－c与eq \f(d,2)互为相反数，x的绝对值为4，求4ab－2c＋d＋eq \f(x,4)的值． 解：由题意，得2ab＝1，－c＋eq \f(d,2)＝0，|x|＝4，即x＝±4，－2c＋d＝0，当x＝4时，原式＝2＋0＋1＝3，当x＝－4时，原式＝2＋0－1＝1，综上可知，原式的值为3或1. 强化技巧4：非负数的性质的综合 5．若(a－3)2＋|b＋3|＝0，则ba＝ . 6．若|m－2|＋(n＋1)2＝0，则(m＋n)2021＋2n2021＝ . 强化技巧5：纠错题 7．对于算式－24＋18×(－3)÷(－2)，下列计算过程错误的是(　　) A．－16＋[18÷(－2)]×(－3) B．－16＋(18÷2)×3 C．－16－54÷2 D．－16＋(－54)÷(－2) 8．计算6÷(－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3))，方方同学的计算过程如下，原式＝6÷(－eq \f(1,2))＋6÷eq \f(1,3)＝－12＋18＝6.请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 解：不正确．正确过程如下： 原式＝6÷(－eq \f(1,6))＝－36. 强化技巧6：程序计算题 9．如图是一个数值转换机，若输入的数x为－eq \f(1,2)，则输出的结果为(　　) A．－6 B．－3 C．0 D．3 10．如图，是一个数值转换机，若输入数3，则输出的数是 . eq \x(输入数)→eq \x(　2－1)→eq \x(　2＋1)→eq \x(减去5)→eq \x(输出数) 强化技巧7：新定义题 11．定义一种新运算a⊗b＝b2－ab，如：1⊗2＝22－1×2＝2，则(－1⊗2)⊗3＝ . 12．定义一种运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　c,b　d))＝ad－bc，如eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1　　－3,－2　0))＝1×0－(－2)×(－3)＝0－6＝－6，那么，当a＝－12，b＝(－2)2－1，c＝－32＋5，d＝eq \f(1,4)－|－eq \f(3,4)|时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a　c,b　d))的值为　 　. eq \f(25,2) 强化技巧8：规律探究题 13．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23,33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个，3个和4个连续奇数的和，即23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19；…，若63也按照此规律来进行“分裂”，则63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是(　　) A．37　　 B．39 C．41　　 D．43 14．已知：2＋eq \f(2,3)＝22×eq \f(2,3)，3＋eq \f(3,8)＝32×eq \f(3,8)，4＋eq \f(4,15)＝42×eq \f(4,15)，5＋eq \f(5,24)＝52×eq \f(5,24)，…，若10＋eq \f(b,a)＝102×eq \f(b,a)符合前面式子的规律，则a＋b＝ . 解：(1)eq \f(1,9×11)　eq \f(1,2)×(eq \f(1,9)－eq \f(1,11))； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝eq \f(1,2)×(1－eq \f(1,3))＋eq \f(1,2)×(eq \f(1,3)－eq \f(1,5))＋…＋eq \f(1,2)×(eq \f(1,199)－eq \f(1,201))＝eq \f(1,2)×(1－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,5)＋…＋eq \f(1,199)－eq \f(1,201))＝eq \f(1,2)×(1－eq \f(1,201))＝eq \f(100,201). $$