第二章 有理数 第2.7节 有理数的混合运算-2024-2025学年七年级数学苏科版2024上册培优全攻略

苏科2024新版第二章 有理数 2.7 有理数的混合运算 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算. 2.在有理数的混合运算中，能合理地利用运算律简化运算. 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——三种括号是谁发明的( )[ ]{ }？三种括号是谁发明的( )[ ]{ }？ 在没有发明运算符号以前，人们运算都要用很复杂的文字进行说明。随着社会的发展，与人民生活需要有密切联系的各种计算也逐渐复杂起来。这些计算常由两个或几个小题合成，而且在计算时常常需要先算出某一个小题后再算第二个小题，于是便产生了区别先后计算的符号。 大约400多年以前，在大数学家魏治德的数学运算中，首次出现了（）、[ ]和{ }。 1． “（ ）”叫小括号，又叫圆括号，是17世纪荷兰数学家吉拉特开始使用的。 2． “[ ]”叫中括号，又叫方括号；“{ }” 叫大括号，又叫花括号，这两种括号是16世纪法国数学家韦达开始使用的。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序：（三原则） 有理数混合运算的顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 名师点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率． 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 有理数的混合运算问题 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型2 有理数混合运算的新定义问题 1．现定义运算“*”：对于任意有理数a，b，满足．例如：，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．计算机课上，老师给同学们设置了一个有理数运算程序：输入一个数，加“*”，再输入一个数b，得到运算，当一位同学某次运用这个程序时，屏幕提示“该操作无法进行”，请问这位同学输入的数的数量关系是 ． 题型3 与有理数混合运算有关的程序图问题 如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程） 题型4 有理数混合运算的实际应用 为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 题型5 有理数混合运算与24点游戏 请你参加计算游戏： (1)“算24点”游戏：有四个数，可以按下面方式计算：，．利用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号），每个数必须用一次且只能用一次，最终计算结果为24．下面有四个数：，请列出一个符合要求的算式，并写出计算全过程； (2)请在内填上中的一个，使计算更加简便，然后计算． 计算：． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共8小题） 1．给出下列算式：①；②；③；④；⑤，其中正确的算式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．计算的结果等于（    ） A． B． C．1 D．11 3．已知为有理数，如果规定一种运算“”，，则的值是（　　） A． B． C． D． 4．用2，0，2，4这四个数进行如下运算，计算结果最大的式子是（    ） A． B． C． D． 5．在数学课上，老师让甲、乙，丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（    ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．定义一种新运算：，则的结果是（    ） A．15 B． C．1 D．12 7．下图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为30，则输出的结果为（    ） A．100 B．120 C．150 D．420 8．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题） 9．现规定一种新的运算：，则 ． 10．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 11．计算： ． 12．定义新运算“*”为：，则当时，计算的结果为 ． 13．在2024年“五·一”黄金周期间，哈市凤凰山旅游景区在三天假期中，每天旅游的人数变化如下表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 4月29日 4月30日 5月1日 人数变化单位：万人 －0.1 ＋0.3 －0.2 若4月30日的游客人数为1.5万人，且每张入山门票为100元，那么三天内游客管理中心一共收取门票费 万元 14．定义一种新运算，规定，则 ． 15．定义一种新运算“”，当时，；当时，．例如：，，求 ． 16．若规定用表示不超过的最大的整数，如，，计算： ． 三、解答题（本大题共6小题） 17．（1）；          （2）； （3）；     （4）． 18．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．阅读下面的解题过程： 解： ＝ ＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 回答： (1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________． (2)正确的结果是__________________． 22．学习了有理数后，为练习加、减、乘、除以及乘方混合运算，“智慧学习小组”自制了一副卡片，每天课余，小组成员会做五分钟的混合运算游戏．每次随机抽取4张卡片，根据卡片上的数字进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或者． 例如果随机抽取的四张卡片上的数为，可以列式为：． 说明：与，是交换了因数的位置，看作是相同的算式；与是交换了加数的位置，看作是相同的算式． (1)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的两个不同算式； (2)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的三个不同算式． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第二章 有理数 2.7 有理数的混合运算 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算. 2.在有理数的混合运算中，能合理地利用运算律简化运算. 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——三种括号是谁发明的( )[ ]{ }？三种括号是谁发明的( )[ ]{ }？ 在没有发明运算符号以前，人们运算都要用很复杂的文字进行说明。随着社会的发展，与人民生活需要有密切联系的各种计算也逐渐复杂起来。这些计算常由两个或几个小题合成，而且在计算时常常需要先算出某一个小题后再算第二个小题，于是便产生了区别先后计算的符号。 大约400多年以前，在大数学家魏治德的数学运算中，首次出现了（）、[ ]和{ }。 1． “（ ）”叫小括号，又叫圆括号，是17世纪荷兰数学家吉拉特开始使用的。 2． “[ ]”叫中括号，又叫方括号；“{ }” 叫大括号，又叫花括号，这两种括号是16世纪法国数学家韦达开始使用的。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序：（三原则） 有理数混合运算的顺序： (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 名师点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率． 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 有理数的混合运算问题 计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法的运算律，有理数的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把减法化为加法，再运用加法法则进行计算，即可作答 （2）分别运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先算乘方，再运算乘除，最后运算加减，即可作答． （4）先算乘方，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型2 有理数混合运算的新定义问题 1．现定义运算“*”：对于任意有理数a，b，满足．例如：，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的四则混合运算，直接利用新的运算法则将和，从而求出，读懂运算规则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：A． 2．定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则．先根据新定义的运算求出的值，再比较即可． 【详解】解： ， 故选：C． 3．计算机课上，老师给同学们设置了一个有理数运算程序：输入一个数，加“*”，再输入一个数b，得到运算，当一位同学某次运用这个程序时，屏幕提示“该操作无法进行”，请问这位同学输入的数的数量关系是 ． 【答案】相等或互为相反数 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据题意，提示为该操作无法进行，则得出除数为0，即，再得出关系即可． 【详解】解：屏幕提示“该操作无法进行”， ， 即或． 故答案为：相等或互为相反数． 题型3 与有理数混合运算有关的程序图问题 如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程） 【答案】最后输出的结果y是 【分析】此题考查了有理数的混合运算和代数式的值，根据题意得到代数式为，依次进行计算，直到结果符合要求，输出为止． 【详解】解：根据题意，得， 输入时，， 当时，， 当时，， ∴最后输出的结果y是． 题型4 有理数混合运算的实际应用 为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合计算是解题的关键； （1）根据平均数的意义，可得答案； （2）根据题意列式计算求出该班的总积分即可． 【详解】（1）解：由题意得： 答：这个小组分钟每人平均跳绳的个数个 （2）解：由题意得： 答：这个小组的总积分为分 题型5 有理数混合运算与24点游戏 请你参加计算游戏： (1)“算24点”游戏：有四个数，可以按下面方式计算：，．利用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号），每个数必须用一次且只能用一次，最终计算结果为24．下面有四个数：，请列出一个符合要求的算式，并写出计算全过程； (2)请在内填上中的一个，使计算更加简便，然后计算． 计算：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过四个数的组合运算，列出结果为24的算式即可． （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：答案不唯一，例如 方法一： ； 方法二： ； （2）内的符号应是； ． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共8小题） 1．给出下列算式：①；②；③；④；⑤，其中正确的算式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，化简绝对值等知识， 按照有理数的混合运算法则以及绝对值的意义一一计算并判断即可得出答案． 【详解】解：①，故①错误， ②，故②正确， ③，故③错误， ④，故④正确， ⑤，故⑤错误， 综上：②④正确， 故选：B 2．计算的结果等于（    ） A． B． C．1 D．11 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的混合运算．原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：A． 3．已知为有理数，如果规定一种运算“”，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义先计算括号里面的，再计算括号外面的即可得到结果． 【详解】解： 故选：D． 4．用2，0，2，4这四个数进行如下运算，计算结果最大的式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，注意计算的准确性即可 【详解】解：，，，， 故选：B 5．在数学课上，老师让甲、乙，丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（    ） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查有理数混合运算，据甲乙丙丁的式子计算出正确的结果，从而解答本题即可． 【详解】解：，故甲的做法是错误的； ，故乙的做法是错误的； ，故丙的做法正确； ，故丁的做法错误； 综上分析，做的对的是丙同学． 故选：C． 6．定义一种新运算：，则的结果是（    ） A．15 B． C．1 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的新定义运算，理解新定义运算的含义是解本题的关键；本题先根据新定义计算，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选A 7．下图是一数值转换机的示意图，若输入的x值为30，则输出的结果为（    ） A．100 B．120 C．150 D．420 【答案】C 【分析】本题考查流程图，将代入进行计算，将结果与100进行比较，若小于等于100，则将结果作为x继续代入进行计算，若大于100则输出结果即可． 【详解】解：， 则， ∵， ∴继续循环，此时， 则， ∵， ∴输出结果为150， 故选：C． 8．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的运算方法，令，则：，用，进行计算即可． 【详解】解：令， 则， ∴， 则， 即：的值为； 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题） 9．现规定一种新的运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义，根据新定义得到，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序框图与有理数的运算，根据程序列出算式进行计算是解题的关键．先将代入，根据程序进行计算得出结果为，再把代入计算程序中得到，即可求解． 【详解】解：把代入计算程序中得：， 把代入计算程序中得：， 则最后输出的结果是． 故答案为：． 11．计算： ． 【答案】9 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式利用乘方的意义，以及绝对值的代数式意义计算，相加即可求出值． 【详解】原式． 故答案为：9． 12．定义新运算“*”为：，则当时，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，能够读懂新定义并按照定义进行计算是解题关键．利用定义计算即可． 【详解】解：当时， 13．在2024年“五·一”黄金周期间，哈市凤凰山旅游景区在三天假期中，每天旅游的人数变化如下表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 日期 4月29日 4月30日 5月1日 人数变化单位：万人 －0.1 ＋0.3 －0.2 若4月30日的游客人数为1.5万人，且每张入山门票为100元，那么三天内游客管理中心一共收取门票费 万元 【答案】400 【分析】本题考查了正数和负数及有理数的混合远算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】4月29日游客为（万人）， 5月1日游客为（万人）， 则（万元）， 即三天内游客管理中心一共收取门票费400万元， 故答案为：400． 14．定义一种新运算，规定，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了新定义下的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15．定义一种新运算“”，当时，；当时，．例如：，，求 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义，有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 根据当时，，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 16．若规定用表示不超过的最大的整数，如，，计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算，根据新定义得到，据此计算求解即可。 【详解】解：规定用表示不超过的最大的整数， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题） 17．（1）；         （2）； （3）；     （4）． 【答案】（1）12；（2）；（3）8；（4） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的乘除混合运算，乘法运算律，含乘方的有理数的混合运算． （1）去括号后进行加减运算即可； （2）利用有理数加法运算律计算即可； （3）先计算乘方，然后进行乘除法运算，最后进行加减运算即可； （4）利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解：（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 18．计算： (1)； (2)； (3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法的运算律，有理数的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把减法化为加法，再运用加法法则进行计算，即可作答 （2）分别运用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （3）先算乘方，再运算乘除，最后运算加减，即可作答． （4）先算乘方，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）原式将一、三和二、四分组，分别进行加法和减法运算，最后进行加法运算即可； （2）原式根据乘除运算法则运算即可； （3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）原式先计算乘方运算，然后是绝对值，再计算乘除运算，最后算加减运算即可； 熟练掌握运算法则及性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，有理数的减法运算，有理数的乘法运算，有理数的除法运算，有理数的乘方运算，正确的计算是解题的关键． （1）先去括号，再根据有理数的加法和减法运算法则计算即可． （2）将带分数化为假分数的形式，同时去括号，再根据有理数的加法和减法运算法则计算即可． （3）根据有理数的乘法和除法，从左到右依次进行计算即可． （4）先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后加减计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 21．阅读下面的解题过程： 解： ＝ ＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） 回答： (1)解题过程中有两处错误，第一处是第______步，错误原因是______；第二处是第______步，错误的原因是____________． (2)正确的结果是__________________． 【答案】(1)二、运算顺序错误、三、符号错误(2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减，乘除运算，运算法则为先乘除，后加减，进行计算，即可． 【详解】（1）解：在解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该从左往右依次算起；第二处是第三步，错误的原因是符号错误，因为同号得正； 故答案为：二、运算顺序错误、三、符号错误． （2）解： ． 故答案为：． 22．学习了有理数后，为练习加、减、乘、除以及乘方混合运算，“智慧学习小组”自制了一副卡片，每天课余，小组成员会做五分钟的混合运算游戏．每次随机抽取4张卡片，根据卡片上的数字进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或者． 例如果随机抽取的四张卡片上的数为，可以列式为：． 说明：与，是交换了因数的位置，看作是相同的算式；与是交换了加数的位置，看作是相同的算式． (1)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的两个不同算式； (2)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的三个不同算式． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）根据题目要求，通过四个数的组合运算，列出结果为24或的算式即可； （2）根据题目要求，通过四个数的组合运算，列出结果为24或的算式即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：； ； ． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$