第16章 二次根式 章节测试练习卷 - 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第16章 二次根式 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 2．下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．的值一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 4．下列各根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 5．已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．下列二次根式，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7． 8．计算： ． 9．当 时，有意义． 10．化简： ． 11．计算： ． 12．若，则 ． 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 14．化简： ． 15．已知 ，，则 ． 16．若代数式 有意义，则的取值范围是 ． 17．若的最大值为，最小值为，则的值为 . 18．观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为 ． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．化简下列各式： (1)（a>0）； (2)． 20．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 21．计算： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ． 你有什么发现？请与同学交流． 22．观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 23．计算： ； 24．计算：． 25．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的周长__________（请直接写出答案）． (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则． 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 26．观察下列等式，然后解答问题： ， ， ， ， (1)计算： __________； ； (2)计算： ； ． 27．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列各式中，不是二次根式的是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的概念，形如（a≥0）的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二次根式，不符合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、2是二次根式，不符合题意； D、是二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，注意二次根式的被开方数是非负数． 2．下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式计算．根据题意逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：，故A选项正确； ，故B选项正确； ，故C选项正确； 无法计算，故D选项不正确， 故选：D． 3．的值一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．非负数 D．负数 【答案】B 【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定,，最后确定值的符号即可． 【详解】解: = ∵有意义， ∴,， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键． 4．下列各根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 5．已知是正偶数，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知是正偶数，而最小的正偶数是2，则＝2，从而得出结果． 【详解】解：当等于最小的正偶数2时， n取最大值,则n＝8， 故选：C 【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“是正偶数”的含义． 6．下列二次根式，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据化成最简式后，且被开方数相同，判定计算即可． 【详解】∵， ∴被开方数是3， A. ，是同类二次根式，能合并，不符合题意； B. ，不是同类二次根式，不能合并，符合题意；     C. ，是同类二次根式，能合并，不符合题意； D. ，是同类二次根式，能合并，不符合题意； 故选：B． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由即可作出求解． 【详解】解：， 故答案为：3． 8．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 【详解】． 故答案为：． 9．当 时，有意义． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： 故答案为：． 10．化简： ． 【答案】 【分析】利用解答即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，属于基础题，熟练掌握是解题关键． 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．先因式分解得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：，， ． 故答案为： 13．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：4． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 14．化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到，解得，根据化简即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用二次根式性质化简，涉及二次根式被开方式非负、及去绝对值运算等知识，熟练掌握二次根式是解决问题的关键． 15．已知 ，，则 ． 【答案】 【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再把a、b的值代入，利用二次根式的运算法则进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式把整式进行因式分解是解题的关键． 16．若代数式 有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据二次根式的意义、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式的被开方数大于等于零，分式的分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，解得：且． 故答案为：且． 17．若的最大值为，最小值为，则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， 将等式两边平方，得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 又∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 18．观察下列各式： ，，，…… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式运算类型的规律探究，根据已知等式将各式分别化简，得到，再将等式写成进行计算得到答案；正确分析得到等式的计算规律是解题的关键． 【详解】∵，，，， ∴ =， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．化简下列各式： (1)（a>0）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键 （1）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，进行约分； （2）被开方数是分数，要化为的形式，然后利用分式的基本性质，将分母中的根号化去； 【详解】（1）原式． （2）原式． 20．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键． （1）根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的性质计算即可； （3）根据二次根式的性质计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：（3）原式． 21．计算： （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ． 你有什么发现？请与同学交流． 【答案】（1），；（2），；（3），；发现： 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则依次进行计算即可得；熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2），； 故答案为：，； （3），； 故答案为：，； 发现：． 22．观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 23．计算： ； 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，将原式中的二次根式化简后再合并即可 【详解】解： 24．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可得出答案，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 25．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． (1)当时，的周长__________（请直接写出答案）． (2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则． 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】(1) (2)（）， 【分析】（1）利用分别计算三条边的长度，然后求和即可获得答案； （2）依据二次根式有意义的条件可得的取值范围，进而化简得到的周长；由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积． 【详解】（1）解：当时，，，， ∴． 故答案为：； （2）根据题意，可得，解得， ∴ ∴ ； ∵为整数，且有最大值， ∴或3或2或1或0或， 当时，三角形三边长分别为，，， ∵， ∴此时不满足三角形三边关系，故， 当时，三角形三边长分别为，，， 满足三角形三边关系， 可设，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三角形三边关系求解． 26．观察下列等式，然后解答问题： ， ， ， ， (1)计算： __________； ； (2)计算： ； ． 【答案】(1)；2022 (2)； 【分析】本题主要考查了二次根式运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算、积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）观察题目中的等式，即可求得答案；将原式整理为，进而可得，然后利用平方差公式进行求解即可； （2）利用积的乘方的逆运算，将原式整理为，然后利用平方差公式进行求解即可；将原式整理为，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； 原式 ； （2）原式 ； 原式 ． 27．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$