精品解析：浙江省金华市义乌市稠州中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

九年级数学学科寒假作业检查 一．选择题（共10小题） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 下列计算正确的是（　　）． A. B. C. D. 3. 据国家统计局2018年1月18日公布，2017年我国GDP总量为827122亿元，首次登上80万亿元的门槛，数据827122亿元用科学记数法表示为（ ） A. 8.27122×1012 B. 8.27122×1013 C. 0.827122×1014 D. 8.27122×1014 4. 如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（   ） A. B.   C.   D. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 18 6. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 8. 如图①，在菱形，，E为的中点．动点M从点A出发，沿对角线运动至点C停止．设点M运动的路程为x，，y关于x的函数图象如图②所示．则图②中点N的横坐标为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 换元法是一种重要的转化方法，如：解方程，设，原方程转化为．已知m，n是实数，满足，则n的取值范围是（ ） A. n≤0 B. n≥4 C. n≥2 D. n≥3 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点E为小正方形的顶点，延长交于点F，分别交，于点G，H，过点D作的垂线交延长线于点K，连结．若为等腰三角形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 11. 若，则_________． 12. 如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点E，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是________． 13. 如图，四边形内接于，是的直径，，延长到E，连接．若，则______°． 14. 如图，将长、宽分别为，的长方形纸片分别沿矩形，折叠，点M，N恰好重合于点P，交矩形一边于B、C点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为_______________． 15. 在中，若O为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，点M在以半径为4的上运动，则的最大值为____________． 16. 如图，已知为等腰直角三角形，，，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为上一动点，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，则点到点B的距离为__________；的最小值是__________． 三．解答题（共8小题） 17. （1）计算：（﹣）﹣2+2sin45°+|﹣2|﹣（π+2022）0； （2）解方程：． 18. 为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为________，扇形统计图中的________； （2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数； （3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数． 19. 如图，在7×6的方格中，的顶点均在格点上．请按照下列要求，只用没有刻度的直尺画出相应的图形． （1）请在图①中画出的中线； （2）请在图②中画出，使其面积为面积的，点E、F分别在、上且． 20. 某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，支杆与悬杆之间的夹角为． （1）如图2，当支杆与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为，求的长； （2）在图2所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，如图3，求此时灯泡悬挂点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 21. 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点E，交于点F，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． 22. 某服装店老板4月份用18000元购进一批防晒衣，售完后，5月份用40000元又购进一批相同的防晒衣，数量是4月份的两倍，但每件进价涨了10元． （1）5月份进了多少件防晒衣？ （2）5月份，店老板将这批防晒衣平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价160元，甲店按标价卖出m件后，剩余的按标价的八折全部售出，乙店同样按标价卖出m件，然后将n件按标价的九折出售，再将剩余的按标价的六折全部售出，结果与甲店利润相同． ①用含m的代数式表示n； ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请求出乙店利润的最大值． 23. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）设该函数图象的顶点坐标是，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式； （3）若该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值． 24. 如图，半圆中，直径，点为弧的中点，点在弧上，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证： （2）若点为中点，求的长． （3）①面积与面积的差是定值吗？如果是，请求出该定值；若不是，请说明理由； ②若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科寒假作业检查 一．选择题（共10小题） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数的计算法则计算即可. 【详解】解：A、不能合并，错误； B、，错误； C、，正确； D、，错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查指数的计算法则，是考试的重点，应当熟练的掌握. 3. 据国家统计局2018年1月18日公布，2017年我国GDP总量为827122亿元，首次登上80万亿元的门槛，数据827122亿元用科学记数法表示为（ ） A. 8.27122×1012 B. 8.27122×1013 C. 0.827122×1014 D. 8.27122×1014 【答案】B 【解析】 【分析】由科学记数法的定义可得答案. 【详解】解：827122亿即82712200000000，用科学记数法表示为8.27122×1013， 故选B. 【点睛】科学记数法表示数的标准形式为 (＜10且n为整数). 4. 如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（   ） A. B.   C.   D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形，进而得出答案． 【详解】主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线，画法正确的是：． 故选C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，关键是找准主视图所看的方向． 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查求代数式的值，添括号的应用，解题的关键是先求出，然后整体代入即可求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 6. 如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】要使△ABC的面积S=BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大． 【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大， 如图所示， ∵A'D⊥BC， ∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ， 在Rt△BOD中， sinθ= ，cosθ=， ∴BD=sinθ，OD=cosθ， ∴BC=2BD=2sinθ， A'D=A'O+OD=1+cosθ， ∴S△A'BC=AD•BC=•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法． 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质以及OC= OB得出OC= CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA=1，进而根据题意求得S△AOE= ，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值． 【详解】解：作AE⊥BC于E，连接OA， ∵AB=AC， ∴CE=BE， ∵OC=OB， ∴OC= BC=×2CE= CE， ∵AE∥OD， ∴△COD∽△CEA， ∴ ， ∵△BCD的面积等于1，OC=OB， ∴S△COD=S△BCD=， ∴S△CEA=4×=1， ∵OC=CE， ∴S△AOC=S△CEA=， ∴S△AOE=+1= ， ∵S△AOE=k（k＞0）， ∴k=3， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 8. 如图①，在菱形，，E为的中点．动点M从点A出发，沿对角线运动至点C停止．设点M运动的路程为x，，y关于x的函数图象如图②所示．则图②中点N的横坐标为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由E为的中点，可得，由图②可知，当重合时，，解得，，由菱形，，可得，，，如图，连接，作关于的对称点，连接，交于，连接，是等边三角形，为的中点，，由对称的性质可得，，可知当三点共线时，最小，，则，然后作答即可． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， 由图②可知，当重合时，， 解得，， ∵菱形，， ∴，，， 如图，连接，作关于的对称点，连接，交于，连接， ∴是等边三角形，为的中点，， 由对称的性质可得，， ∴当三点共线时，最小，， ∴， ∴点N的横坐标为8， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，余弦，折叠的性质．解题的关键在于从图象中获取正确的信息． 9. 换元法是一种重要的转化方法，如：解方程，设，原方程转化为．已知m，n是实数，满足，则n的取值范围是（ ） A. n≤0 B. n≥4 C. n≥2 D. n≥3 【答案】D 【解析】 【分析】先将原等式左边变形，再利用换元法思想求出n关于x的二次函数，确定x的范围后再确定n的范围即可． 【详解】解：原等式变形可得， 令， 则， 该抛物线开口向上，对称轴为， ∵， n的最小值为， ∴n的取值范围是， 故选：D． 【点睛】本题考查了用换元法的思想确定变量的取值范围，涉及到了解一元二次方程和二次函数的图象与性质，解题关键是正确运用换元法，同时能熟练运用二次函数的知识求出最值． 10. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点E为小正方形的顶点，延长交于点F，分别交，于点G，H，过点D作的垂线交延长线于点K，连结．若为等腰三角形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点K作，交的延长线于点P，与交于点O，根据正方形的性质和等腰三角形的性质证明，，利用勾股定理求得，，，，证明，可得，，即，，从而求得，证明和，求得，，从而求得，证明四边形是矩形，可得，再利用勾股定理求得，即可求出结果． 【详解】解：过点K作，交的延长线于点P，与交于点O， 由题意可知：四边形和四边形是正方形， ，，， ， 是等腰三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ，， ， 又， ， ， ∵四边形， ，， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 由题意可得：， ， ，， ， ， ，解得， ，， ， ， ∴四边形是矩形， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，利用相似三角形的性质并构造直角三角形求出、是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 12. 如图，矩形中，，．以点A为圆心，将边顺时针旋转，交于点E，得到扇形，扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆半径是________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，再由弧长公式求出的长，进一步求出该圆锥的底面圆半径． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又 ∴ ∴的长， ∴该圆锥的底面圆半径为：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键 13. 如图，四边形内接于，是的直径，，延长到E，连接．若，则______°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了邻补角、同弧或等弧上的圆周角相等的性质，解题的关键是找准同弧或等弧上的圆周角． 根据邻补角与圆周角的相关性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴（邻补角的定义）． ∵， ∴（等弧所对的圆周角相等）， ∵（同弧上的圆周角相等）， ∴． 故答案为：35． 14. 如图，将长、宽分别为，的长方形纸片分别沿矩形，折叠，点M，N恰好重合于点P，交矩形一边于B、C点．若，则折叠后的图案（阴影部分）面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可知，，由题意知，，，如图，作于，于，由题意知，，，可得，，根据计算求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 由题意知，，， 如图，作于，于， 由题意知，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，正弦等知识．解题的关键在于确定． 15. 在中，若O为边的中点，则必有：成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形中，已知，点M在以半径为4的上运动，则的最大值为____________． 【答案】464 【解析】 【分析】本题考查了一点到圆上一点的最值、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出的最大值是解题的关键． 设的中点为，连接、，根据题意可得，，由此可以判定的最大值，即当的值最大时，的值最大，进行求解即可． 【详解】解：设的中点为，连接、，如图： 则，， 根据题意可得，， ∴当的值最大时，的值最大， 又∵点在以半径为的上运动， ∴的最大值， 由勾股定理可得：， ∴的最大值为14， ∴的最大值为． 故答案为：464． 16. 如图，已知为等腰直角三角形，，，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为上一动点，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，则点到点B的距离为__________；的最小值是__________． 【答案】 ①. 1 ②. ## 【解析】 【分析】连接，，证明，推出，当点在线段上时，取得最小值，最小值是，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，，， ∴， ∵， ∴当点在线段上时，取得最小值，最小值是， 故答案为：1，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，推导出点在线段上时，取得最小值是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17. （1）计算：（﹣）﹣2+2sin45°+|﹣2|﹣（π+2022）0； （2）解方程：． 【答案】（1）10；（2）x= 【解析】 【分析】（1）根据负指数幂、零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的化简求解即可； （2）根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】解：（1）原式=9+2×+2--1=10； （2）方程两边都乘以2(x+3)，得： 2（2-x）=x+3+2 x= 经检验知x=是原方程的解 所以方程的解是x=． 【点睛】本题考查了负指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数、二次根式的运算，及解分式方程，熟练掌握法则和解分式方程的步骤是解题的关键． 18. 为了解我校学生本学期参加志愿服务的情况，随机调查了我校的部分学生，根据调查结果，绘制出如图统计图，若我校共有1000名学生，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为________，扇形统计图中的________； （2）求所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数； （3）学校为本学期参加志愿服务不少于7次的学生颁发“志愿者勋章”，请估计我校获“志愿者勋章”的学生人数． 【答案】（1）40，25 （2）7 （3）我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人 【解析】 【分析】（1）直接根据条形统计图和扇形统计图中的数据进行计算即可； （2）根据平均数的定义进行计算即可得到答案； （3）先求出本学期参加志愿服务不少于7次的学生人数所占的百分比，再乘以1000，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 本次接受调查的学生人数为：（人）， 扇形统计图中的的值为：， 故答案为：40，25； 【小问2详解】 解：根据题意可得： 所调查的学生本学期参加志愿服务次数的平均数为：（次）； 【小问3详解】 解：根据题意得： （人）， 答：我校获“志愿者勋章”的学生人数是700人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、平均数、由样本估计总体，熟练掌握平均数的求法是解题的关． 19. 如图，在7×6的方格中，的顶点均在格点上．请按照下列要求，只用没有刻度的直尺画出相应的图形． （1）请在图①中画出的中线； （2）请在图②中画出，使其面积为面积的，点E、F分别在、上且． 【答案】（1） 如图， 即为所求． （2） 如图， 即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，正确理解题意，运用中线的定义，三角形相似的性质画图即可． (1)根据矩形的性质，对角线的交点是中点即可画图． (2)根据三角形相似的判断和性质，判定即可画图． 【小问1详解】 连接，交于点D， ∵四边形是矩形， ∴点D是对角线的交点， ∴， 连接． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 某种落地灯如图1所示，为立杆，其高为，为支杆，它可绕点B旋转，其中长为，为悬杆，支杆与悬杆之间的夹角为． （1）如图2，当支杆与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为，求的长； （2）在图2所示的状态下，将支杆绕点B顺时针旋转，如图3，求此时灯泡悬挂点D到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）的长为 （2）此时灯泡悬挂点D到地面的距离为． 【解析】 【分析】（1）过点D作于点G，过点D作于点F，从而可求出的长度，然后利用锐角三角函数的定义即可求出答案． （2）过点D作于点F，过点C作于点H，过点D作于点M，过点B作于点N，从而可知四边形和四边形是矩形，利用锐角三角函数的定义可求出的长度即可求出答案． 【小问1详解】 过点D作于点G，过点D作于点F， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 过点D作于点F，过点C作于点H，过点D作于点M，过点B作于点N，， ∴四边形和四边形是矩形， 由题意可知：， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 答：此时灯泡悬挂点D到地面的距离为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 21. 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点A为圆心，以的长为半径作，交边于点E，交于点F，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接. ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵是的半径， ∴与相切. （2） 【解析】 【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得∠DAE=∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA=∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论； （2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE=BE，∠EAB=60°，得到∠CAE=∠ACB，得到CE=BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴是等边三角形， ∴，. ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 22. 某服装店老板4月份用18000元购进一批防晒衣，售完后，5月份用40000元又购进一批相同的防晒衣，数量是4月份的两倍，但每件进价涨了10元． （1）5月份进了多少件防晒衣？ （2）5月份，店老板将这批防晒衣平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价160元，甲店按标价卖出m件后，剩余的按标价的八折全部售出，乙店同样按标价卖出m件，然后将n件按标价的九折出售，再将剩余的按标价的六折全部售出，结果与甲店利润相同． ①用含m的代数式表示n； ②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请求出乙店利润的最大值． 【答案】（1）5月份进了这种防晒衣400件； （2）①；②乙店利润的最大值为8160元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式和一次函数的应用，找准等量关系，列出分式方程是解题的关键． （1）设4月份购进x件防晒衣，则5月份进了这种防晒衣件，由题意列出分式方程，解方程即可； （2）①根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于m、n的等式，然后化简即可； ②设乙店的利润为w元，根据乙店的销售情况列出函数解析式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量和①的关系式求出m的取值范围，根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设4月份购进x件防晒衣，则5月份进了这种防晒衣件， 由题意得：，解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则， 答：5月份进了这种防晒衣400件； 【小问2详解】 ①5月份每件防晒衣的进价为：（元）， 由题意得： ， 化简，得： ， ∴； ②设乙店的利润为w元， 则 ， ∵，及， 解得：， ∵， ∴当时，w最大，最大值为8160， 答：乙店利润的最大值为8160元． 23. 已知函数（b，c为常数）的图象经过点． （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）设该函数图象的顶点坐标是，当b的值变化时，求n关于m的函数解析式； （3）若该函数的图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为40，求b的值． 【答案】（1）顶点坐标为；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）把点代入函数，可得，把代入即可得到结论； （2）根据顶点坐标写出顶点式抛物线，把（-2,4）代入即可求解； （3）把函数化为，根据图像不经过第三象限进行分类讨论，利用函数的最大值与最小值之差为40构造方程进行求解． 【详解】解：（1）由题意，将点代入，得， 又∵， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）设该函数图象的顶点坐标是，，将点代入抛物线解析式得， ∴． ∴． （3）由，得对称轴， 当时，，又函数不经过第三象限，则，， 此时，当时，函数最小值是0，最大值是16， ∴最大值与最小值之差为16，（舍去）， 当时，，又函数不经过第三象限， 则需，得， ∴， ∴． 当时，函数有最大值，即当时，． ①当时，函数有最小值；函数最大值为， 由题意，， 解得或； ∵，即， ∴； ②当时，当 x=-3时函数有最小值=；函数最大值为， 由题意，， 解得， ∵， ∴（舍）； 综上所述． 【点睛】本题主要考查二次函数综合，抛物线的顶点式，抛物线顶点轨迹函数，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，分类抓住函数的最大值与最小值之差为40构造方程． 24. 如图，半圆中，直径，点为弧的中点，点在弧上，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证： （2）若点为中点，求的长． （3）①面积与面积的差是定值吗？如果是，请求出该定值；若不是，请说明理由； ②若，求的长． 【答案】（1） 证明：点为弧的中点，为直径， ， ，即， ， ， ， 又， ； （2），理由如下： 直径，，， ，， 为的中点， ， 由（1）知， ， 即， ， ， ； （3）①是定值，4；②或 【解析】 【分析】（1）点为弧的中点，为直径，可得，即，根据，可得，问题即可得证； （2）根据，可得，即可得，进而可得，问题随之解得； （3）①证明，即，则，问题得证；②根据，设，则，由①知，，解方程即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 ①面积与面积的差是定值，理由如下： 在（2）中有：， ， ， 又， ， ， ∴， ， 故面积与面积的差为定值； ②， 设，则， 由①知， ， 解得或， ，， 当时，， 当时，， 或． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及勾股定理，一元二次方程的解法等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $