专题二 一元二次方程的解法-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（人教版）

数学九年级全一册 专题二 一元二次方程的解法 类型1用指定方法解一元二次方程 类型2选择适当方法解一元二次方程 1.(2024·道县期中)若方程(x一2)2=k可以 3.用适当的方法解下列方程： 用直接开平方法解，则k的取值范围是 (1)(2.x+1)2=2x+1: ( (2)(2022·徐州)x2-2.x-1=0. A.k≤0 B.k>0 C.k<0 D.k≠0 2.用指定的方法解下列方程： (1)2.x2-4x-5=0:(公式法》 (2)(x-3)-4x(3-x)=0.(因式分解法) 类型3用换元法解一元二次方程 4.(2024·昆明模拟)已知(x2+y2一1)(x2+ y2+2)=0,则x2+y的值为 5.(2024·河南信阳月考)阅读材料： 为了解方程(x2一1)2-5(x2-1)+4=0,我 们可以将x2一1看作一个整体，设x2一1 y,那么原方程可化为y一5y十4=0①，解 得y=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,x=2,∴x=±√2： 当y=4时，.x2-1=4,.x2=5.∴.x=士√5. 故原方程的解为x=√2，.=一√2，x=√5， x=-5. 14 第二十一章 一元二次方程 上述解题过程，在由原方程得到方程①的过： 类型4含绝对值的一元二次方程的解法 程中，利用换元法达到了降次的日的，体现 6.阅读以下内容，并解答问题： 了转化的数学思想 【例】解方程：x十1x1一2=0. 解答问题： 【解】(1)当x≥0时， (1)请利用以上知识解方程：(x2+x)2一5 原方程可化为x2十x一2=0， (x2+x)十4=0： 解得x1=1,x2=一2. (2)请利用以上知识解方程：x一3x2一4=0. x≥0..x=1. (2)当x<0时， 原方程可化为x一x一2=0， 解得x1=2,x2=一1. ,x<0,x=-1. 综上所述，原方程的解是=1，x2=一1 依照上述解法，解方程：.x2一2x一2一4=0. 157.解：(1)2.x-5x-7=0,因式分解，得(2x-7)(x+1)= 7 :18.解：1)证明：4=[-(2k+1D]-4×1×(之-2) 0,于是得2x-7=0或x十1=0，解得x1=之x=-1 =4k2+4k+1-2k2+8 (2)x2-(2x+1)=0,根据平方差公式得[x-(2x十1)] =2(k+1)2+7>0. [x+(2x+1)]=0,即(-x-1)(3x+1)=0,-x-1=0 ,无论k为何实数，2(k十1)≥0， 或3r十1=0，解得=-1=-号 .2(k+1)2+7>0, ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根. (3)(x-1)(x+3)=12,整理，得x+2x-15=0,因式分 解，得(x+5)(x-3)=0,r十5=0或x一3=0，解得r1= (2)由根与系教的关系得x十=2张十1，x=号 -5,x:=3. -2. 8.D9.C x1-x2=3,.(x1-x2)2=9, 10.解：(1)原方程可以变形为(x-3)(x十1)=0， ∴.(x1十x2)2-4x1x2=9, x一3=0或x+1=0, x1=3,=-1. (2+12-4×(2-2）=9. (2)x(x-2)-(x-2)=0. 化简得2十2k=0,解得k=0或k=一2 (x-2)(x-1)=0, 核心素养练 ∴x-2=0或x-1=0, 解得x1=2,:=1. 19.解：(1)令y=x2,则有y2-5y+6=0, 能力提升练 .(y-2)(y-3)=0, 11.C12.A13.D y1=2,y=3, 14.-4或2 x2=2或3， 15.-1 ∴x1=2,x=-2,xg=3,x,=-3. 16.x1=-1,x2=-2 (2)",a≠b. 1.5或-得 a≠6或a=b, ①当a2≠b时，令a=m,b=n, 18.3 .m≠n,则2m2-7m十1=0,2n2-7n十1=0， 19.4或-1 m,n是方程2x2一7x十1=0的两个不相等的实 核心素养练 数根， 20.解：(1)x2+6x+8=x2+(2+4)x+2×4=(.x+2)(x+ 7 4).故答案为：2：4. m十n=2 (2)x2-3x-4=x2+(-4+1)x+(-4)X1,x 1 3.x-4=0即为(x-4)(x十1)=0，.x+1=0或x-4 mn =0,解得x1=一1，x2=4. 光时。+6=+=(m十m)产-2mm=想 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础巩固练 ②当a=6(a=-b0时，42=6=7±y五，此时a十b 1.A2.C3.A 4.3 =2a=2(a2)1=45±74 4 5.6 综上所迷，4+6=5我45土7v 4 4 7.C8.B9.B 3)令=a,n=b,则a十a-7=0,b+6-7=0g 10.解：(1)4=b-4ae=2-4×1×(3-k)=-8+4k, :有两个不相等的实数， n>0,心≠一，即a≠b .-8十4k>0, 解得：k>2: .a,b是方程x十x一7=0的两个不相等的实数根， (2):方程的两个根为a,3, , ∴3=￡=3-k, a .k2=3-k十3k, 故十n=2+6=(a+b)2ab=15 解得：k1=3,k2=一1（舍去）. 专题二 一元二次方程的解法 能力提升练 11.A12.B13.A14.D15.D 1.B 16.2 2.解：(1)a=2,b=-4,c=-5, 17.解：(1)根据题意得△=(2m)2一4(m2+m)≥0，解得m ∴.4=(-4)-4×2×(-5)=56>0， 0. 故m的取值范围是川≤0 x=4±2v亚_2±￥1 4 2 (2)根据题意得x1十x:=一2m,x1x2=m十m. x+x=(x1+x2)-2.x1x1=12, 2 .(-2m)2-2(m2+m)=12, (2)(x一3)-4x(3-x)=0,(x-3)2十4x(x-3)=0,分解因 即m2-m一6=0， 式，得(x-3)(x-3+4x)=0,可得x-3=0或5.x-3=0,解 解得m1=一2m:=3(含去)， 故m的值为一2. 得五=3，=5 3 3 3.解：(1)：(2x+1)2-(2x+1)=0. 12.解：令个位上的数字为y,十位上的数字为x,则数为 .(2x+1)(2x+1-1)=0, 10x十y,且x一4=y,交换位置后，教为10y十r,则(10x 即2x(2x+1)=0. +y)(10y+x)=1612,即(11x-4)(11x-40)=1612, 则2x=0或2x+1=0, 解得x=6, 解得-0，=一之 10.x+y=60+(6-4)=62 .这个两位数是62. (2)方程移项得：x2-2x=1, 13.解：设这次比赛共有x名选手， 配方得：x2-2x十1=2，即(x-1)=2. 由题意可知，无论胜负，每局两名选手得分总和均为2 开方得：.x-1=土2， 分以名选手比寒的总局数为2x(x一1) 解得：x1=1十2,2=1一√2 所以得分总数为x(x一1). 4.1 5.解：(1)设y=x2+x,原方程可变为y一5y十4=0，则(y-4) 因为x是正整数，且大于1，所以x,x一1是两个连续的 正整数， (y-1)=0, 不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0,2， ∴y-4=0或y-1=0,y1=42=1. 6,故得分总数只能是2070， 当y=4时2+x=4,解得x=-1±7 2 则2xr-1)×2=2070. 当y=1时2十x=1,解得x=一1生5】 解得x1=46,x2=-45(舍去). 2 答：这次比赛的逃手共有46名」 “原方程的解为西=二1十厘 2 =1-7 核心素养练 2 14.3,6 2 2,-15 -1+5 2 第2课时变化率问题和利润问题 (2)设y=x,原方程可变为y-3y-4=0, 基础巩固练 解得y=4,=一1. 1.B2.B x≥0，x=4, 3.1501(1+x)2=1815 解得x=2,x。=一2. 4.解：(1)设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x,依 6.解：(1)当x-2≥0，即x≥2时. 题意，得100(1十x)2=144, 原方程可化为x2-2(x一2)一4=0， 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，会去）. 解得1=0,2=2.x>2.x=2. 答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%， (2)当x-2<0,即x<2时， (2)144×(1+20%)=144×1.2=172.8(万元). 原方程可化为x-2(2-x)一4=0， 答：预计2022年该县将投入“扶贫工程”172.8万元. 解得x1=2,x=一4：x<2.∴x=一4. 5.C6.A 综上所述，原方程的解是x1=2,x=一4. 7.解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x, 根据题意，得10(1十x)2=12.1,解得x1=0.1, 21.3实际问题与一元二次方程 x1=一2.1（不合题意，舍去）. 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%. 第1课时传播问题和数字问题 (2)今年6月份的快递投递任务是12.1×(1十10%)= 基础巩固练 13.31(万件). 1.C ,平均每人每月最多可投递0.6万件， 2.9 ∴.21名快递投递员能完成的快递投递任务是0.6×21 3.解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑.依题意，得 12.6<13.31, 1+x+(1+x)x=81 ∴.该公司现有的21名快道授递业务员不能完成今年6 整理，得(1十x)=81 月份的快递投递任务，设还需要增加m名业务员，0.6× .1+x=9或1十x=-9, 71 (m+210≥13.31，解得m≥6 解得x=8,=一10（不符合题意，舍去）. ,m的最小整数是2， .(1+x)2+x(1+x)=(1+x)=(1+8)3=729>700. 则至少还需要增加2名业务员. 答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染后， 能力提升练 被感染的电脑会超过700台. 8.解：(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率 4.B 为x, 5.13 依题意得1000(1+x)2=1440, 6.D7.A 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，会去. 8.解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为 答：该市改造老旧小区授入资金的年平均增长率 x-3,依题意得：10(x一3)十x=x2,解得x1=5,x=6, 为20%. 当x=5时，25<30，（不合题意，舍去）， (2)设孩市在2022年可以改造y个老旧小区， 当x=6时，36>30（符合题意）， 依题意得80×(1+15%)y≤1440×(1+20%)， 答：周瑜去世时的年龄为36岁. 能力提升练 部释铝 9.B 又y为整教， 10.126 ∴y的最大值为18. 11.144 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区.