第六章 反比例函数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第六章 反比例函数（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2．如图，在四边形中，，，，平分．设，，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数，当，且时，则函数y的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 4．已知闭合电路的电压为定值，电流与电路的电阻是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是（　　） 5 … a … … … b … … 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A．I与R的关系式为 B． C． D．当时， 5．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   6．如图，已知反比例函数与一次函数图象在第一象限内相交于与轴相交于点，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点B的坐标（    ） A． B． C． D． 8．如图，直线与轴交于点C，与y轴交于点D，以为边作矩形，点A在x轴上．双曲线经过点B，与直线交于点E，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点在线段上，点A的横坐标为，且．若函数和的图象分别经过A，B两点，则 （1）点A的坐标为 ． （2）k的值为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，的面积为4，，反比例函数图像上，B的纵坐标为1，，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ． 12．如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点M，分别与，交于点D、E，若，，则k的值为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数，与轴交于点，与轴交于点，若，，则的值为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与原点O围成的的面积； 15．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)为轴上的一动点，连接，若的面积为面积的，求的值． 16．如图，反比例函数的图象与直线交于点，轴，与反比例函数的图象交于点．    (1)求反比例函数的解析式和的值； (2)当时，求点的坐标． 17．如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点． (1)填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________． (2)若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值． (3)直接写出满足 的的取值范围． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为 ． 20．如图，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A，C在反比例函数（）的图象上，点A的横坐标为4，点B的横坐标为6，则k的值为 ． 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，分别落在x轴和y轴上，是矩形的对角线．将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G．点P为x轴正半轴上一动点，当取最小值时，则点P的坐标为 ． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为2，则的值为 ． 23．如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点．为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A与点． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出的解集． (3)若点是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，若的面积为3，求点的坐标． 25．已知点，都在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 26．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求k的值并直接写出点B的坐标； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 反比例函数（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，先根据反比例函数的图象位于第一、三象限求出k的取值范围，再求方程根的判别式并判断其符合，从而得解． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选C． 2．如图，在四边形中，，，，平分．设，，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，通过添加辅助线证明是解本题的关键． 先证明，过点作于点，证明，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案． 【详解】解：过点作于点． ， ， 平分， ， ，则，即为等腰三角形， 则垂直平分， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：D． 3．已知函数，当，且时，则函数y的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】当时，，根据反比例函数的增减性，求出y的取值范围即可． 本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴当时，则有y的取值范围为， 当时，则有y的取值范围为； 综上所述：或； 故选：C． 4．已知闭合电路的电压为定值，电流与电路的电阻是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是（　　） 5 … a … … … b … … 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A．I与R的关系式为 B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握电流电阻电压是解决此题的关键． 【详解】解：∵闭合电路的电压为定值， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； 当时，，故B错误，不符合题意； 当时， ∴，故C错误，不符合题意； 当时， 当时，， ∴当时，，故D正确，符合题意； 故选：D． 5．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识点，利用分类讨论的数学思想解答是解题的关键． 利用一次函数和反比例函数图象的特点逐项判断即可． 【详解】解：在函数和， 当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象过第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确， 当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象过第一、二、三象限，故选项C错误． 故选：D． 6．如图，已知反比例函数与一次函数图象在第一象限内相交于与轴相交于点，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，理解一次函数图象上点的坐标特征以及菱形、矩形的性质是正确解答的前提．根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点和点的坐标，再根据勾股定理求出，由菱形、矩形的性质求出，进而得出的长即可． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ， 点， 当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点， 如图，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则， 在中，，，， 四边形是菱形，， ， 点的横坐标为， 故选：A． 7．如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点，已知点的坐标为，则点B的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象及性质，根据反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点与点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 8．如图，直线与轴交于点C，与y轴交于点D，以为边作矩形，点A在x轴上．双曲线经过点B，与直线交于点E，则点E的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象是点的坐标特征求得，然后根据相似三角形的判定和性质求得，进而根据三角形全等求得，最后联立方程，解方程即可求得． 【详解】∵直线与轴交于点C，与y轴交于点D， 分别令，得，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即 作，如图 ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵双曲线经过点B， ∴，解得： ∵ ∴ ∴直线的解析式为 令，解得：或6， ∴或3 ∴点E的坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题∶反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形的面积为1，矩形的面积是3，则矩形的面积为． 【详解】解：过点A作轴于点E，轴， 则点在同一直线上， ∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴矩形的面积为1，矩形的面积是3， ∴矩形的面积为， 故答案为：2． 10．如图，在平面直角坐标系中，点在线段上，点A的横坐标为，且．若函数和的图象分别经过A，B两点，则 （1）点A的坐标为 ． （2）k的值为 ． 【答案】 【分析】分别过点A、B作轴于D，轴于E，则，根据反比例函数图像的性质即可求出点A的坐标，根据相似三角形的判定与性质以及坐标与图形求得和，求出点B坐标即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B作轴于D，轴于E，则， ∴， ∴， ∵A点横坐标为，反比例函数经过A点， 将代入 ∴点A坐标为， 又∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， ∵的图象经过B两点， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，的面积为4，，反比例函数图像上，B的纵坐标为1，，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式与几何的综合，掌握数形集合思想成为解题的关键． 设反比例函数解析式为，则；根据已知条件可得、；然后根据可得①以及的面积为4可得②；①、②联立解得：，即；然后求出关于y轴对称的解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为，则 ∴，, ∴， ∵， ∴①， 如图：过A作轴，过B作轴， ∵的面积为4， ∴②， ①、②联立解得：， 经检验符合题意， 所以此函数图像的解析为， 所以将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为． 故答案为． 12．如图所示，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点M，分别与，交于点D、E，若，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，表示出点、的坐标是解决问题的关键． 利用矩形的性质可得，由，点是的中点，，可得出点、的横坐标，再设出的长，表示出点、的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，可求出的长，进而确定的值． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵矩形 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 点是的中点，， ， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ，， 由点、都在反比例函数的图象上， ， 解得，， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数，与轴交于点，与轴交于点，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，由可得，，即得，，进而可得，即可得，作轴于，则，可得，得到，即得到，据此可得，最后根据反比例函数系数的几何意义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴，， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴， 作轴于，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与原点O围成的的面积； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值，进而可得出反比例函数的函数关系式，再由点在反比例函数图象上可求出点的坐标，根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的函数关系式； （2）将代入一次函数的函数关系式中求出值，由此即可得出点的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求出 的面积． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、 反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键. 【详解】（1）∵在上， ∴. ∴反比例函数的解析式为 ∵点在 上， ∴. ∴. ∵经过， 解得 ， ∴一次函数的解析式为. （2）∵是直线与轴的交点， 当时，. ∴点， . ． 15．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（，）的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求与的值； (2)为轴上的一动点，连接，若的面积为面积的，求的值． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点以及一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点的坐标代入一次函数的解析式求出，再求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 把代入，得， ， 把代入，得， ，； （2）解：当时，， ， 为轴上的动点， ， ，， ，，的面积为面积的， ， 或． 16．如图，反比例函数的图象与直线交于点，轴，与反比例函数的图象交于点．    (1)求反比例函数的解析式和的值； (2)当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点 【分析】（1），将点代入，可得解析式；再将点坐标代入解析式即可； （2），过点作于点，，根据相似三角形线段成比例，求出点B的坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，然后令求出点A的坐标． 【详解】（1）∵点是反比例函数图象上的点， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ∴； （2）如图，过点作于点，   轴，， ∴轴， ， ∴， 点、的横坐标分别为、， ∴， ∴， 由得点， 点， 点， 设直线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，，解得， 点． 【点睛】这是一道关于反比例函数与一次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形． 17．如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点． (1)填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________． (2)若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后得到的点D也在反比例函数的图象上，试求m和n的值． (3)直接写出满足 的的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式.也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力． （1）根据题意，把代入得；由也在该反比例函数图象上，得，再把分别代入，利用待定系数法可得结论； （2）如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，所以，解得.将代入解析式可得，； （3）直线与关于原点对称，所以直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，结合图象可知满足不等式的x的取值范围 【详解】（1）解：若，则， 根据题意，把代入得． ∵也在该反比例函数图象上， ∴， 解得．        再把，分别代入， 得∶ ， 解得∶ ． ∴． （2）解：如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上， ∴， 解得． ∴，解得 ． （3）解：∵， 移项可得， 如图，直线与关于原点对称， ∴直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点， 结合图象可知满足不等式的的取值范围是或． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点P是第一象限反比例函数图象上一动点 (1)求k的值及点B的坐标； (2)连接，若的面积为，求点P坐标： (3)过点P作直线平行于交反比例函数于点Q，是否存在点P使得?若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)点坐标为，或 (3)，或， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，反比例函数中的几何意义，一次函数与反比例函数的图象交点坐标，三角形面积，两点间距离公式等，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键． （1）运用待定系数法即可求得的值，联立方程组可求得点的坐标； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，则，，分两种情况：当时，当时，分别利用三角形面积建立方程即可求得答案； （3）设直线的解析式为，与反比例函数解析式联立可得，则，，进而可得，根据，建立方程求解可得，即直线的解析式为，联立方程组即可求得答案． 【详解】（1）把代入，得， ， 代入，得， ， 反比例函数的解析式为， 联立方程组得：， 解得：，， ； （2）设，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、， 则，， 当时，如图1，则， ，，， ， ，即， 解得：（舍去），， ，； 当时，如图2，则， ，，， ， ，即， 解得：，（舍去）， ； 综上所述，点坐标为，或； （3）存在点使得，点坐标为，或，． ， 设直线的解析式为， 联立，得， 整理得：， 则，， 又，，则， ， ，， ， ， 、均在第一象限， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：，， ，或，． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式， 一次函数与反比例函数的交点问题，先将代入得，得出，求得，然后联立一次函数与反比例函数，解方程即可求出点B的坐标． 【详解】解：将代入得，， 解得，即， ∴， ∴双曲线， 联立两方程： 解得：或 ∴， 故答案为． 20．如图，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A，C在反比例函数（）的图象上，点A的横坐标为4，点B的横坐标为6，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了反比例函数的意义、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用 首先过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，作点B作轴，作轴，交于点F，连接，根据全等三角形的判定和性质得出， 结合图形求解即可． 【详解】解：过点C作轴于点D，过点A作轴于点E，作点B作轴，作轴，交于点F，连接， ∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点A的横坐标为4，点B的横坐标为6， ∴， ∴，， 即点C的横坐标为2， 同理得：， ∴， ∴点 ∴， 故答案为8． 21．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，分别落在x轴和y轴上，是矩形的对角线．将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G．点P为x轴正半轴上一动点，当取最小值时，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据旋转和矩形的性质，易证，根据相似三角形的性质，即可求出的值，然后待定系数法求解析式，即可得到点F、G的坐标，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，点即为所求． 【详解】解：根据旋转可得， 在矩形中， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， ，， ， ， 将点代入反比例函数解析式， 可得，，， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图所示：    则，， ，， 此时取最小值， 四边形是矩形， ， ， ， 即， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点，分别与对角线，边交于点，，连接，．若点为的中点，的面积为2，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，设点坐标根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键．设，根据已知条件表示出点，点坐标，易得，，由的面积为2，得的面积为4，所以，即可求出的值． 【详解】解：设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为， 代入反比例函数解析式得， ， 点横坐标为， 点横坐标为，代入反比例函数解析式， 得， ， ， 的面积为2， 的面积为4， ， ， 解得． 故答案为：6． 23．如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点．为该反比例函数图象上的一点，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理的应用，根据直角三角形的性质，求出、两点坐标，作出辅助线，证得，利用勾股定理及待定系数法求反比例函数解析式，再求出、的解析式，再联立方程组，求得点的坐标，分两种情况讨论即可求解． 【详解】在中，，， ， ， 是的中点， ， 如图，过点作于， ∴， ， 在中，， ，． 反比例函数的图象经过斜边的中点， ， 解得． ∴反比例函数， 设直线的解析式为， 则， 解得， 的解析式为， ∵， 直线的解析式为， 点既在反比例函数图象上，又在直线上， 联立得， ∴， ∴，， ∴， ； 故答案为：4． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A与点． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出的解集． (3)若点是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接，且过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，若的面积为3，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，正确解得反比例函数的表达式是解题的关键． （1）首先求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求解； （2）求出点A的坐标，根据函数图象的位置关系即可得到答案； （3）设点的坐标为，利用三角形面积公式得到，分两种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴该反比例函数的表达式为； （2）解：由和联立得到， 解得或， ∴点A的坐标是， 由图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数上方， ∴的解集是或 （3）如下图， 设点的坐标为，则， ∴，点到直线的距离为， ∵点在第一象限， ∴， ， 当时， ， 整理得到，， 可解得或 经检验或都是分式方程的解， ∵ ∴不合题意，舍去； 当时， ， 整理得到，， 可解得或， 经检验或都是分式方程的解， ∵ ∴和不合题意，舍去； ∴， ∴点的坐标为． 25．已知点，都在反比例函数的图象上． (1)求，的值； (2)如图②，点为反比例函数第三象限上一点， ①当面积最小时，求点的坐标； ②若点和点关于原点对称，点为双曲线段上任一动点，试探究与大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质，利用直线解析式判断直线平行，平行线的性质是解题的关键； （1）根据题意，将，代入，即可求解； （2）①设直线的解析式为：，点在直线与抛物线相切的点上，进而求解即可；②设，过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称，连接，，，根据平行线的性质即可求解 【详解】（1）解：将，代入， ， 解得： （2）①，， 设直线的解析式为：， 将，坐标代入解析式中， ， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线与抛物线相切的点上，此时面积最小 ， 设， ， ， ， ， 点在第三象限，故， ， 解得：， 故的坐标为： ②， ， 设， 过点作轴，点关于直线的对称点，点关于直线的对称点， 连接，，，则， ∵点和点关于原点对称 ， 由待定系数法得：直线的解析式为：， 点在直线上， 、、共线， 由对称性可知， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， ， 解得：， ， ， 26．如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且． (1)求k的值并直接写出点B的坐标； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】将点A的坐标为代入直线中，可求得，即可求得，解方程组，即可求出点B的坐标； （2）如图1，作轴于点E，轴于点F，则，，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案； （3）分两种情况：①当点P在x轴上时，如图2，设点的坐标为，过点B作轴于点E，通过，建立方程求解即可； ②当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图2，设点的坐标为，利用，建立方程求解即可． 【详解】（1）将点A的坐标为代入直线中， 得， 解得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由，得或， ∴点B的坐标为； （2）如图1，作轴于点E，轴于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G， 则即为的最小值， ∵， ∴， ∴； （3）存在．理由如下： ①当点P在x轴上时，如图，设点的坐标为， 过点B作轴于点E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图， 设点的坐标为， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$